人教版八年级上册数学讲义练习 专题11.1 与三角形有关的线段

这是一份人教版八年级上册数学讲义练习 专题11.1 与三角形有关的线段，共17页。
新人教版初中数学学科教材分析
数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 
1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 

第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段

1．三角形有关概念
（1）三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段___________组成的图形叫做三角形．
（2）三角形的基本元素：
①三角形的三条边：即组成三角形的___________．
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的___________；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的___________．
③三角形的顶点：即相邻两边的___________．
（3）三角形的特征：
①三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；
②三角形是一个___________的图形．
（4）三角形的符号：
三角形用符号“___________”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“___________”，读作“___________”．
【注意】①△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义；
②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示．
③平时所说的三角形的角是指三角形的内角．
④三角形三个顶点的字母的次序可以任意调换．△ABC也可以写成“△BAC”“△BCA”“ACB”等．
2．三角形的分类
（1）按___________分类：
（2）按___________分类：
【注意】
三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形．
3．三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和___________第三边．
推论：三角形任意两边之差___________第三边．学科网
4．三角形的高、中线、角平分线

三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
定义
如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高．

如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．

如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线．

推理语言
∵是的高，
∴，
（或）．
∵是的中线，
∴．
∵是的角平分线，
∴．
用途举例
（1）得到线段垂直；
（2）得到角相等．
（1）得到线段相等；
（2）得到面积相等．
得到角相等．
线段在图中的位置
锐角三角形
三条高全在三角形内．
三条中线全在三角形内．
三条角平分线全在三角形内．
直角三角形
三角形内一条，另外两条与两直角边重合．
钝角三角形
三角形内一条，三角形外两条．
线段（或其所在直线）的交点位置
锐角三角形
交点在三角形内．
三条中线交于三角形内一点（这一点称为三角形的重心）．
交点在三角形内．
直角三角形
交点在直角顶点处．
钝角三角形
交点在三角形外．
共同点
每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段．
5．三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的___________．
K知识参考答案：
1．（1）首尾顺次相接（2）线段，内角，外角，公共端点（3）封闭（4）△，△ABC，三角形ABC
2．（1）边（2）角 3．大于，小于 5．稳定性

K—重点
（1）三角形的高、中线与角平分线；（2）三角形的分类．
K—难点
（1）三角形的三边关系；（2）三角形的高的位置．
K—易错
三角形的高的位置．
一、三角形及其相关概念
1．三角形
（1）概念：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形用符号“△”表示．
（2）图形：顶点是，，的三角形，记作，读作“三角形”．

2．三角形的顶点、边和角
组成三角形的线段叫做三角形的边，（线段AB，线段BC，线段CA）
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，（顶点A，顶点B，顶点C）
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（，，）

的三边有时也用，，表示，如上图中，顶点所对的边用表示，顶点所对的边用表示，顶点所对的边用表示．
【例1】如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点．

（1）图中共有多少个三角形？并把它们表示出来．
（2）的三个顶点是什么？三条边是什么？
（3）以为边的三角形有哪些？
（4）以点为顶点的三角形有哪些？
（5）所对的边是什么？
【答案】详见解析．
【解析】（1）图中共有8个三角形，分别是，，，，，，，．

【名师点睛】
（1）三角形的表示方法中，“△”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点字母，字母的顺序可以自由安排．
（2）角的两边为射线，三角形的三条边为线段．
二、三角形的分类
（1）一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个直角，最多有一个钝角．
（2）从角的方面判断一个三角形的形状的方法：
①若最大内角为锐角，则该三角形是锐角三角形；
②若最大内角为直角，则该三角形是直角三角形；
③若最大内角为钝角，则该三角形是纯角三角形．
【例2】根据下列所给条件，判断的形状．
（1），，；
（2）；
（3）；
（4），．
【答案】（1）锐角三角形（2）钝角三角形（3）直角三角形（4）等腰三角形
【名师点睛】（1）按内角的大小判断一个三角形的形状时主要看三角形中最大内角的度数，若最大内角为锐角，则该三角形为锐角三角形；若最大内角为直角，则该三角形为直角三角形；若最大内角为钝角，则该三角形为钝角三角形．
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形．
（3）无论按哪一个标准对三角形进行分类，原则都是不重不漏．
三、三角形的三边关系
（1）在中，，，为三边长，则有，，．
（2）在中，，，为三边长，则有，，．
（3）应用：①判断三条线段能否组成三角形；
②已知三角形的两边，求第三边的取值范围．
【例3】已知三角形的两边长分别4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是
A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm
【答案】B
【解析】选取的第三边一定小于两边之和，而且大于两边之差的绝对值．9–4