7年级数学上册同步培优题典 专题2.7 数与图形的变化规律（人教版）

初中数学培优措施和方法

1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想

2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。

3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。

4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备

5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。

6、主动思考，全心投入。听课过程中，要主动思考，这样遇到实际问题时，会应用所学的知识去解答问题。

专题2.7数与图形的变化规律

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020•郑州一模）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是1，﹣1的差倒数是，如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，那么a2020的值是（　　）

A．﹣2 B． C． D．

【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，用2020除以3，再根据余数可求a2020的值．

【解析】∵a1＝﹣2，

∴a2，a3，a42，……

∴这个数列以﹣2，，依次循环，

∵2020÷3＝673…1，

∴a2020的值是﹣2．

故选：A．

2．（2020•玉林）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000，则n等于（　　）

A．499 B．500 C．501 D．1002

【分析】观察得出第n个数为2n，根据最后三个数的和为3000，列出方程，求解即可．

【解析】由题意，得第n个数为2n，

那么2n+2（n﹣1）+2（n﹣2）＝3000，

解得：n＝501，

故选：C．

3．（2020•云南）按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（　　）

A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）na C．2n﹣1a D．2na

【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为（﹣2）的幂，其指数为比序号数少1，字母为a．

【解析】∵a＝（﹣2）1﹣1a，

﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，

4a＝（﹣2）3﹣1a，

﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，

16a＝（﹣2）5﹣1a，

﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，

…

由上规律可知，第n个单项式为：（﹣2）n﹣1a．

故选：A．

4．（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（　　）

A．135 B．153 C．170 D．189

【分析】分析前三个正方形可知，规律为左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方数大1，右上方数是左下方数的2倍，右下方数为左下方数的平方数的2倍加上序号数，由此解决问题．

【解析】根据规律可得，2b＝18，

∴b＝9，

∴a＝b﹣1＝8，

∴x＝2b2+a＝162+8＝170，

故选：C．

5．（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（　　）

A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2

【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．

【解析】∵2100＝S，

∴2100+2101+2102+…+2199+2200

＝S+2S+22S+…+299S+2100S

＝S（1+2+22+…+299+2100）

＝S（1+2100﹣2+2100）

＝S（2S﹣1）

＝2S2﹣S．

故选：A．

6．（2020•德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（　　）

A．148 B．152 C．174 D．202

【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．

【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，

第2个图案有22枚棋子，

第3个图案有34枚棋子，

…

第n﹣1个图案有2（1+2+…+n+1）+2（n﹣2）＝n2+5n﹣2枚棋子，

第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，

故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．

故选：C．

7．（2020•重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（　　）

A．10 B．15 C．18 D．21

【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．

【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，

第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，

第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，

……

∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，

故选：B．

8．（2020•重庆）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21

【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第n个图形中实心圆点的个数为2n+n+2，据此求解可得．

【解析】∵第①个图形中实心圆点的个数5＝2×1+3，

第②个图形中实心圆点的个数8＝2×2+4，

第③个图形中实心圆点的个数11＝2×3+5，

……

∴第⑥个图形中实心圆点的个数为2×6+8＝20，

故选：C．

9．（2019秋•沙坪坝区期末）按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是（　　）

A．28 B．30 C．36 D．42

【分析】观察图形变化，得出n张餐桌时，椅子数为4n+2把（n为正整数），代入n＝7即可得出结论．

【解析】1张桌子可以摆放的椅子数为：2+1×4＝6，

2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2×4＝10，

3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3×4＝14，

…，

n张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n，

令n＝7，可得2+4×7＝30（把）．

故选：B．

10．（2019秋•九龙坡区校级期末）如图所示，下列图案均是由完全相同的“太阳型图标按一定规律拼搭而成，第（1）个图中有2个图标，第（2）个图中有4个图标，第（3）个图中有7个图标，…，按此规律，第（8）个图中“太阳型”图标的个数为（　　）

A．264 B．136 C．128 D．37

【分析】两层图标放在一起不好找规律，可将其分开寻找规律，根据图形的变化找到“第一层：每次增加1个图标；第二层：后面一个图形的图标为前面一个图形图标的2倍”，结合规律即可得出结论．

【解析】将上面图案分两层研究：

第一层：1，2，3，4，5…，每次增加1个图标；

第二层：1，2，4，8，16…，后面一个图形的图标为前面一个图形图标的2倍，即20，21，22，23，…．

结合规律可知：第8个图案需要图标的个数＝8+27＝136，

故选：B．

二．填空题（共10小题）

11．（2020春•邕宁区校级期末）如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由5个圆组成，第3个图由11个圆组成，…按照这样的规律排列下去，则第20个图形由　419　个圆组成．

【分析】首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．

【解析】根据图形的变化，发现第n个图形的最上边的一排是1个圆，第二排是2个圆，第三排是3个圆，…，第n排是n个圆；

则第n个图形的圆的个数是：

2（1+2+…n﹣1）+（2n﹣1）

＝n2+n﹣1．

当n＝20时，

202+20﹣1＝419，

故答案为：419．

12．（2020•白银模拟）如图，用火柴棒按如图所示的方式搭一行三角形，搭1个三角形需3枝火柴棒，搭2个三角形需5枝火柴棒，搭3个三角形需7枝火柴棒，照这样的规律搭下去，搭2020个三角形需要火柴棒　4041　枝．

【分析】此题关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间与第一个图形的相互联系，探寻其规律．

【解析】第一个三角形需要3枝火柴棒；

第二个三角形需要（3+2）枝火柴棒；

第3个三角形需要（3+2×2）枝火柴棒．

…

第n个三角形需要[3+（n﹣1）×2]＝2n+1枝火柴棒．

所以，第2020个三角形需要火柴棒＝2×2020+1＝4041（枝）．

故答案为：4041．

13．（2020•大庆）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为　440　．

【分析】观察图形可得前几个图需要黑色棋子的个数，发现规律即可得第20个图需要黑色棋子的个数．

【解析】观察图形可知：

第1个图需要黑色棋子的个数为：3＝1×3；

第2个图需要黑色棋子的个数为：8＝2×4；

第3个图需要黑色棋子的个数为：15＝3×5；

第4个图需要黑色棋子的个数为：24＝4×6；

…

发现规律：

第n个图需要黑色棋子的个数为：n（n+2）；

所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20（20+2）＝440．

故答案为：440．

14．（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多　2n+3　个小正方形．

【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．

【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，

第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，

第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，

…，

∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，

第n个正方形有（n+1）2个小正方形，

故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．

故答案为：2n+3．

15．（2020春•绥棱县期末）摆一个△用3根小棒，摆两个△用5根小棒，摆三个△用7根小棒，照这样，摆5个△用　11　根小棒．用21根小棒可以摆　10个　△．

【分析】设第n个图形需要an（n为正整数）根火柴棒，根据给定图形找出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an＝2n+1”，依此规律即可得出结论．

【解析】设第n个图形需要an（n为正整数）根火柴棒，

观察发现规律：a1＝3，a2＝5，a3＝7，a4＝9，…，

则an＝2n+1．

当n＝5时，a5＝2×5+1＝11；

当2n+1＝21时，解得：n＝10．

故答案为：11；10个．

16．（2020•绥化）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是　119　．

【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，据此求解可得．

【解析】∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，

图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，

图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，

……

∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，

∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．

故答案为：119．

17．（2020春•新都区期末）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3“分裂”后，其中有一个奇数是135，则m的值是　12　．

【分析】观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解．

【解析】∵23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，

…

∴m3分裂后的第一个数是m（m﹣1）+1，共有m个奇数，

∵12×（12﹣1）+1＝133，13×（13﹣1）+1＝157，

∴奇数135是底数为12的数的立方分裂后的一个奇数，

∴m＝12．

故答案为：12．

18．（2020•青海）观察下列各式的规律：

①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1．

请按以上规律写出第4个算式　4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1　．

用含有字母的式子表示第n个算式为　n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1　．

【分析】按照前3个算式的规律写出即可；

观察发现，和算式序号相等的数与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于﹣1，根据此规律写出即可．

【解析】④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．

第n个算式为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．

故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．

19．（2020春•肇源县期末）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是　74　．

【分析】观察四个正方形，可得到规律，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2、右上角的数比左上角的数大4，右下角的数＝对角线上两个数的乘积﹣左上角的数，依此计算即可求解．

【解析】m＝8×10﹣6

＝80﹣6

＝74．

故答案为：74．

20．（2020春•东海县期末）观察等式：2+22＝23﹣2：2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100，若250＝a，则用含a的式子表示这组数的和是　2a2﹣a　．

【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．

【解析】∵2+22＝23﹣2；

2+22+23＝24﹣2；

2+22+23+24＝25﹣2；

…

∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，

∴250+251+252+…+299+2100

＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249）

＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）

＝2101﹣250，

∵250＝a，

∴2101＝（250）2•2＝2a2，

∴原式＝2a2﹣a．

故答案为：2a2﹣a．