高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性教学设计

第5章   函数概念与性质

5.4函数的奇偶性

1.理解函数奇偶性的定义．

2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法．

3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．

教学重点：掌握函数奇偶性的判断和证明方法．

教学难点：利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．

PPT课件．

一、新课导入

大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命．被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥．它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩．一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的奇偶性．（板书：5.4函数的奇偶性）

设计意图：情境导入，引入新课．

【探究新知】

先观察下列函数的图象，再回答问题．

①f(x)＝x2－1　②f(x)＝－　③f(x)＝2x

阅读教材116-117页结合上述情境回答下列问题：

(1)这三个函数的图象具有怎样的对称性？

(2)这三个函数的定义域分别是什么？它们有什么共同特点？

(3)对于定义域内的每一个x，f(－x)与f(x)有怎样的关系？

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)①中函数的图象关于y轴对称；②③中函数的图象关于原点对称．

(2)②中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；①③中函数的定义域都为R．它们都关于原点对称．

(3)①中函数，对于定义域内的每一个x，都有f(－x)＝f(x)；②③中函数，对于定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)．

问题：阅读教材，完成表格．

师生活动：学生阅读，给出答案．

预设的答案：原点，y轴．

追问1：如果函数的f(x)定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，那么函数f(x)是偶函数吗？

预设的答案：不一定．必须对定义域内的任意一个x都有f(－x)＝f(x)成立，函数f(x)才是偶函数．

追问2：如果奇函数在x＝0处有定义，则其图象有什么特征？

预设的答案：其图象过原点，即f(0)＝0．

追问3：函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是什么？

预设的答案：定义域关于原点对称．

设计意图：培养学生分析和归纳的能力．

【巩固练习】

例1. 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝2－|x|；        (2)f(x)＝；

(3)f(x)＝；        (4)f(x)＝

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，

所以f(x)为偶函数．

(2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，

所以f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，

所以f(x)是非奇非偶函数．

(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；

当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．

综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．

设计意图：利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性．

例2. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x．现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．

(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；

(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；

(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)由题意作出函数图象如图：

(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．

(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．

设计意图：利用函数的奇偶性作出函数的图象．

例3. 若f(x)是定义在上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，

由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3．

即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3．

故f(x)＝

设计意图：利用函数的奇偶性求函数的解析式．

【课堂小结】

1.板书设计：

5.4函数的奇偶性

1. 函数奇偶性的判断            例1

2. 奇偶函数的图象及应用        例2

3. 利用奇偶性求函数的解析式    例3

2．总结概括：

问题：1.判断函数的奇偶性有哪些？

2.利用奇偶性作函数图象的步骤是什么？

3.利用函数奇偶性求解析式的方法是什么？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．

预设的答案：

1. （1）定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．

（2）图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．

2. （1）确定函数的奇偶性；

（2）作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象；

（3）根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．

3. （1）“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．

（2）要利用已知区间的解析式进行代入．

（3）利用f(x)的奇偶性写出f(－x)或－f(x)，从而解出f(x)．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的奇偶性的有关知识．

布置作业：

【目标检测】

1. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

设计意图：巩固函数的奇偶性的判断方法．

2. 函数在上的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

设计意图：巩固利用函数的奇偶性判断函数的图象．

3. 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；(2)f(x)＝

设计意图：巩固利用函数的奇偶性判断函数的奇偶性．

4. 已知是定义在R上的奇函数，当时时，

（1）求解析式；

（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）．

设计意图：巩固利用函数的奇偶性求函数的解析式．

参考答案：

1. 对于A：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A错误；

对于B：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故B错误；

对于C：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为偶函数；当时，为增函数，故C正确；

对于D：的定义域为R，关于原点对称，但是，而，所以，所以为非奇非偶函数，故D错误．故选：C．

2. ，

则，

所以为奇函数，图象关于原点对称，排除A、C，

又当x=1时，，排除D．故选：B．

3. (1)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为R．

因为对于任意的x∈R，都有f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，

所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．

(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－＝＝f(x)；

当x<0时，－x>0，则f(－x)＝＝－＝f(x)．

综上可知，函数f(x)＝是偶函数．

4.（1）当时，，

当时，，，

所以，

（2）的图像为：

单调递增区间为：，，

单调递减区间为：，．