苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质5.4 函数的奇偶性精练

苏教版（2019）必修第一册《5.4 函数的奇偶性》2022年同步练习卷1

一 、单选题（本大题共7小题，共35分）

1.（5分）已知偶函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则，，的大小关系是

A.
B.
C.
D.

2.（5分）已知定义域为的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是

A.  B.
C.  D.

3.（5分）设偶函数满足，则

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

4.（5分）已知，其中a+b为常数，若f(-1)=2，则f(1)=（    ）

A. -10 B. -2 C. 10 D. 2

5.（5分）符号函数是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为若定义在上的奇函数，当时，，则的图象是

A.  B.
C.  D.

6.（5分）双曲余弦函数是高等数学中重要的函数之一．定义在上的函数的图像关于点对称，且当时，，则不等式的解集为

A.  B.
C.  D.

7.（5分）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是

A.    B.
C.    D.

二 、多选题（本大题共1小题，共4分）

8.（4分）在中国传统文化中，有很多内容都体现了对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”．下列说法中正确的是
 

A. 对于一个半径为的圆，其“优美函数”仅有个
B. 函数可以是某个圆的“优美函数”
C. 若函数是“优美函数”，则函数的图象一定是中心对称图形
D. 函数可以是某个圆的“优美函数”

三 、填空题（本大题共1小题，共5分）

9.（5分）函数，的单调递增区间是 ______，单调递减区间是 ______.

四 、解答题（本大题共1小题，共12分）

10.（12分）已知函数． 
Ⅰ判断函数的奇偶性，并加以证明； 
Ⅱ用定义证明在上是减函数； 
Ⅲ函数在上是单调增函数还是单调减函数？直接写出答案，不要求写证明过程．

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】 
本题综合考查了函数的周期性，偶函数的对称性及单调性比较函数值的大小，解答该题的关键是性质的灵活应用． 
由已知可得，周期，再由在区间上是单调递增，结合偶函数的性质即可比较大小． 
 
解：函数对于任意都有， 
，即周期， 
为偶函数，且在区间上是单调递增， 
，， 
， 
故 
故选：． 

 

2.【答案】B;

【解析】解：因为是偶函数，所以关于对称， 
又在上单调递减， 
所以在上单调递增， 
画出的草图如下所示， 
 
因为，所以， 
又不等式对任意的恒成立， 
由图可知，， 
所以，解得， 
所以实数的取值范围是 
故选： 
由题意知关于对称，且在上单调递增，作出的草图，结合图形分析，可将原问题转化为，解该不等式，即可． 
此题主要考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，熟练运用函数的单调性与奇偶性的性质是解答该题的关键，考查数形结合思想，运算求解能力，属于中档题．
 

3.【答案】B;

【解析】 
由偶函数满足，可得，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．这道题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算． 
 
解：由偶函数满足，可得， 
则，要使，只需，， 
解得或． 
应选B． 
 

 

4.【答案】A;

【解析】略
 

5.【答案】C;

【解析】解：，定义在上的奇函数， 
当时，， 
由，得；由，得； 
又是定义在上的奇函数， 
当时，，令，得， 
，其图象如下图： 
 
则的图象如下图： 
 
故选： 
可求得的解析式，作出的图象，依题意，可求得的图象，得到答案． 
此题主要考查函数奇偶性的性质与判断，考查转化化归思想与数形结合思想的应用，解题时要认真审题，属于中档题．
 

6.【答案】A;

【解析】解：定义在上的函数的图像关于点对称， 
可得的图像关于点对称， 
即有， 
当时，即， 
，即有在递增， 
而的图像关于点对称，可得在上递增， 
则不等式即， 
即， 
所以，解得， 
故选： 
由图像的平移变换可得的图像关于点对称，即有，结合导数判断在上的单调性，得到在上的单调性，将原不等式转化为，由单调性可得所求解集． 
此题主要考查函数的对称性、单调性和运用，以及不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

7.【答案】C;

【解析】 
这道题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同偶函数对称区间上的单调性相反的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础题． 
由题意可先判断出在上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，在上单调递增，从而可比较与的大小，解不等式可求的范围 
 
解：在上单调递增， 
又是定义在上的奇函数， 
根据奇函数的对称区间上的单调性可知，在上单调递增， 
在上单调递增， 
， 
， 
解不等式可得，， 
故选：． 

 

8.【答案】BD;

【解析】解：对于，过圆心的任一直线都可以满足要求，故错误； 
对于，函数为奇函数，图象关于原点对称，可以是某个圆的“优美函数”，故正确； 
对于，函数 的图象是中心对称图形，函数一定是“优美函数”， 
但“优美函数”不一定是中心对称函数，如图，故错误； 
对于，函数，由，若时，不等式显然成立； 
若，则，两边平方可得恒成立，所以的定义域为， 
又， 
则为奇函数，其图象关于原点对称，所以可以是某个圆的“优美函数”，故正确． 
故选： 
根据“优美函数”的含义可判断；根据函数的奇偶性可判断；利用反例可判断；由函数的性质可判断 
此题主要考查函数的奇偶性和对称性，以及圆的“优美函数”的理解和运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

 

9.【答案】[0，1]  [1，3];

【解析】解：的对称轴为，且开口向下， 
函数，的单调递增区间为，单调递减区间是 
故答案为：， 
先求出函数的对称轴和开口方向，再利用二次函数的图象与性质求解即可． 
此题主要考查二次函数的图象与性质，属于基础题．
 

10.【答案】证明：（I）函数为奇函数 
（II）设，∈（0，1）且＜ 
= 
∵0＜＜＜1，∴＜1，-1＜0， 
∵＞∴-＞0． 
∴f（）-f（）＜0，f（）＜f（） 
因此函数f（x）在（0，1）上是减函数 
（III）f（x）在（-1，0）上是减函数．;

【解析】 
用函数奇偶性定义证明，要注意定义域．先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号，由函数图象判断即可． 
这道题主要考查函数奇偶性和单调性定义，要注意奇偶性要先判断，单调性变形要到位．