2021学年5.4 函数的奇偶性教学设计

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通过函数知识的学习，使学生进一步感受函数是探索自然现象、社会现象基本规律的工具和语言，学会用函数的思想、变化的观点分析问题、解决问题，达到培养学生的创新思维的目的．同时要让学生体会数学之美，让学生学习数学的过程是一种享受。本节函数的奇偶性，其图像就有一种对称之美。可以以此作为契入点，对学生美学熏陶的同时，激发学习兴趣。
1.教学重点：掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
2.教学难点：会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
1.如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象，则y＝f(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
答案：[－2,1]和[3,5] [－5，－2]和[1,3]
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的序号是________．
(1)y＝－eq \f(1,x)；(2)y＝2x－1；
(3)y＝－x2；(4)y＝(2x－1)2.
答案：(1)(2)
3．函数y＝2x2＋x－1的单调递增区间为________．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞))
4．若f(x)＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是单调减函数，则k的取值范围是________．
解析：若f(x)在R上是单调减函数，
则2k＋1＜0，k＜－eq \f(1,2).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))
预习课本P41～43，思考并完成以下问题
题型一 函数奇偶性的判断
[典例] 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝2x＋eq \f(1,x)； (2)f(x)＝2－|x|；
(3)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)； (4)f(x)＝eq \f(x,x－1).
[解] (1)∵函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－2x＋eq \f(1,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)))＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，
且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
点评：判断函数奇偶性的步骤
(1)看函数的定义域是否关于原点对称(若不对称则为非奇非偶函数)；
(2)判断f(－x)与f(x)的关系；
(3)根据定义，写出结论，
①若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数．
②若f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数．
③若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．
④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
(4)对能化简的解析式要先化简再判断．
题型二 奇(偶)函数的图象性质
[典例] (1)定义在[－4,4]上的偶函数y＝f(x)在[－4,0]上的图象如图．作出y＝f(x)的图象并比较f(1)和f(3)的大小；
(2)已知奇函数f(x)定义域为[－5,5]且在[0,5]上的图象如图所示，求使f(x)<0的x的取值范围．
[解] (1)根据偶函数图象关于y轴对称的性质画出函数在y轴右侧的图象如图，由图象可知f(3)>f(1)．
(2)根据奇函数图象关于原点对称的性质画出函数在[－5,0]上的图象如图，由图象可知使f(x)<0的x取值范围是(－3,0)∪(3,5]．
点评：给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．
题型三 函数奇偶性的应用
题点一：根据函数的奇偶性求参数
1．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.
解析：∵f(x)是偶函数的定义域关于原点对称，
∴a－1＋2a＝0，解得a＝eq \f(1,3)，
∴f(x)＝eq \f(1,3)x2＋bx＋1＋b，
又f(－x)＝f(x)，
∴eq \f(1,3)x2－bx＋1＋b＝eq \f(1,3)x2＋bx＋1＋b，
∴b＝0，∴a＋b＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
题点二：利用函数奇偶性求函数解析式
2．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．
解析：设x<0，则－x>0，
∵x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，
∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
又f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x－3，
取x＝0，则f(0)＝0.
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＋3， x>0，,0， x＝0，,－x2－2x－3， x<0.))
答案：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＋3， x>0，,0， x＝0，,－x2－2x－3， x<0))
题点三：函数奇偶性和单调性的综合应用
3．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
解：由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，又函数f(x)为奇函数，
∴f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,1－m＞m.))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m＜\f(1,2).))
解得－1≤m＜eq \f(1,2).
故实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
点评：
(1)利用函数奇偶性求函数解析式的步骤：
①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
②转化到已知区间上，代入已知的解析式；
③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
(2)由奇函数的定义可知，奇函数f(x)在x＝0处有定义时，一定有f(0)＝0.
(3)解决有关奇偶性与单调性的综合问题，要注意利用奇偶性进行化简，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，同时不能漏掉函数定义域对参数的影响．

几个关键点：
(1)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
(2)如果函数的定义域不关于原点对称，那么该函数就不具有奇偶性．所以函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
(3)若函数y＝f(x)图象关于原点(y轴)对称，则f(x)必是奇(偶)函数．课程目标
学科素养
1.理解函数奇偶性的定义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
a数学抽象: 理解函数奇偶性的定义.
b逻辑推理: 函数奇偶性的判断与证明.
c数学运算:根据奇偶性求函数的解析式和参数的范围问题.
d直观想象:会根据图像判断函数的奇偶性.
奇函数
偶函数
定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A
如果对任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数
如果对任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数
图象特点
图象关于原点对称
图象关于y轴对称
奇偶性
如果函数是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性