高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质5.4 函数的奇偶性图文课件ppt

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1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.
通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升学生的直观想象和逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考　(1)①观察下列两个函数的图象，它们有什么共同特征？
提示　从图象上可以看出，它们的图象都是关于y轴对称的.
②上述特征能否用数量间的关系来体现？试着填下表：
③通过上面对应值表你发现了什么？提示　当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
(2)①观察下列两个函数图象，它们有什么共同特征？
提示　从图象上可以看出，它们的图象都是关于原点对称的.
③通过上面对应值表你发现了什么？提示　当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数.
2.填空　(1)定义：设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝_______，那么称函数y＝f(x)是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝________，那么称函数y＝f(x)是奇函数.(2)偶函数的图象关于______对称，奇函数的图象关于______对称.
温馨提醒　由函数奇偶性的定义知，若x在定义域内，则－x一定也在定义域内(若－x不在定义域内，则f(－x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称.
3.做一做　(1)下列函数是偶函数的是(　　)
解析　利用偶函数的定义，定义域关于原点对称，满足f(－x)＝f(x).故选B.
解析　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴f(x)为奇函数.∴其图象关于原点对称.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一　函数奇偶性的判断
角度1　一般函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：
解　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.(2)由x2－1≥0且1－x2≥0，得x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
解　f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)＋1＝－x＋1＝f(x).综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数.
判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.分段函数奇偶性的判断，要分别从关于原点对称的区间上来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当关于原点对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有奇偶性.
解　(1)函数的定义域为R.又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R.因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数.
题型二　奇、偶函数的图象特征
利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
训练2 (1)如图给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值为(　　)
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值范围为(　　)
A.(2，5) 　　　B.(－5，－2)∪(2，5)C.(－2，0) 　　　D.(－2，0)∪(2，5)
解析　因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于坐标原点对称.由y＝f(x)在[0，5]上的图象，知它在[－5，0]上的图象，如图所示，由图象知，使函数值y<0的x的取值范围为(－2，0)∪(2，5).
题型三　利用函数的奇偶性求值
角度1　利用奇偶性求函数值例4 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)A.－3 B.－1 C.1 D.3
解析　因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1.
(2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)A.21 B.－21 C.26 D.－26
解析　设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.
利用函数的奇偶性求值利用函数奇偶性的定义式f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)进行转化求值，或者构造方程组求值.
即f(x)＋f(－x)＝10.所以f(－3)＋f(3)＝10，又f(－3)＝2，所以f(3)＝8.
角度2　利用奇偶性求参数值例5 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a，2a＋1]，则a＝________，b＝________.(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝0，即2ax2＝0，又x∈R使其恒成立，故a＝0.
利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
1.理解1个概念——函数奇偶性①定义域关于原点对称.②偶函数满足f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，奇函数满足f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0.③偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.2.掌握2种方法①定义法.②图象法.3.注意1个误区忽略函数定义域，只有定义域关于原点对称才可能具有奇偶性.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下列函数中奇函数的个数为(　　)
解析　由定义知①②③都是奇函数，④是偶函数.
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中不一定正确的是(　　)
4.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)
A.当a＝0时，f(x)是偶函数B.当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数C.当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上是增函数D.当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上的最小值为12
解析　因为当a＝0时，f(x)＝2x2，所以f(x)是偶函数.A正确；当a≠0时，f(－1)＝2－3a，f(1)＝2＋3a，所以f(－1)－f(1)＝－6a≠0，即f(－1)≠f(1)，所以f(x)不是偶函数，因为f(－1)＋f(1)＝4，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函数，所以f(x)是非奇非偶函数.B正确；
所以f(x)在(－∞，0)上是减函数.C错误；当a＝2时，f(1)＝8<12，所以f(x)在(0，＋∞)上的最小值为12是错误的.D错误.
6.下列函数为偶函数的是________(只填序号).
7.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－2g(x)＝3x3－3x2＋4，则f(1)＋2g(1)＝________.
解析　在f(x)－2g(x)＝3x3－3x2＋4中，令x＝－1，得f(－1)－2g(－1)＝－2，又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，∴f(1)＋2g(1)＝－2.
8.已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx.若f(2)＝－3，则m的值为________.
解　(1)f(x)＝x4－3x2的定义域是R，关于原点对称.又f(－x)＝(－x)4－3(－x)2＝x4－3x2＝f(x)，∴f(x)＝x4－3x2是偶函数.
10.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，求证：g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)为奇函数.证明　∵f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，∴b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx，其定义域为R，又g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－(ax3＋cx)＝－g(x).∴g(x)为奇函数.
显然，g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
由题设可得f(－1)＝g(－1)＋1＝2，求得g(－1)＝1，于是f(1)＝g(1)＋1＝－g(－1)＋1＝－1＋1＝0.
12.已知f(x)＝ax2＋bx＋2a－b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＋b＝________，单调递减区间是____________.
13.定义域为R的奇函数f(x) 在 [0，＋∞)上的图象如图所示.
(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解　(1)先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象如图.
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2).
14.(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是(　　)A.y＝x＋f(x) B.y＝xf(x)C.y＝x2＋f(x) D.y＝x2f(x)解析　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x).令y＝g(x).对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，∴y＝x＋f(x)是奇函数；对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，∴y＝xf(x)是偶函数；对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，由于g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，∴y＝x2＋f(x)既不是奇函数也不是偶函数；对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，∴y＝x2f(x)是奇函数.