初中数学北师大版八年级下册第五章 分式与分式方程4 分式方程第2课时教案

5.4分式方程（第2课时分式方程的解法）

教学目标

1.引导学生掌握解分式方程的基本思路和方法.

2.了解分式方程增根产生的原因并能解决与增根有关的问题.

教学重点难点

重点：解分式方程的基本方法和步骤.

难点：检验分式方程的解.

教学过程

复习巩固

1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.

2.解一元一次方程的步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.

导入新课

【创设情境，课堂引入】

有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种,分别收获小麦9000kg和15000kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg,分别求这两块试验田每公顷的产量.

如果设第一块试验田每公顷的产量为kg,那么第二块试验田的产量是kg.

根据题意,可得方程＝.

探究新知

【实践探究，交流新知】

【教师提问】这个方程是我们学过的分式方程，这类方程该如何解呢？

【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃回答.

【示例展示】

解方程＝.

解：方程两边都乘x（x-2），得

x＝3(x-2).

解这个方程，得x＝3.

检验：将x＝3代入原方程，得

左边＝1，右边＝1，左边＝右边.

所以，x＝3是原方程的根.

【师生总结】解分式方程.

关键：将分式方程转化为整式方程.

步骤：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)检验；(4)写出方程的解.

简记为：“一化、二解、三检验”.

检验有两种方法：一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母.一般是代入最简公分母检验.

去分母的方法：⑴把各分母分解因式;

⑵找出各分母的最简公分母;

⑶方程两边各项乘最简公分母.

【巩固练习】解分式方程:

-＝45.

解：方程的两边同乘2x，得

960-600＝90x.

解这个方程，得x＝4.

经检验，x＝4是原方程的根.

【合作探究，解决问题】

【小组讨论，师生互学】

在解方程＝-2时，小亮的解法如下：

解：方程的两边同乘x-2，得

1-x＝-1-2（x-2）.

解这个方程，得x＝2.

【教师提问】是原方程的根吗？为什么？

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流，踊跃回答.

答：在上面的方程中,不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零.

【师生总结】

产生增根的原因:在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式.

注意：解分式方程一定要验根！

【示例展示】

当m为何值时，分式方程+ ＝4会产生增根？

解：方程两边都乘x-3，

得1-m＝4（x-3），

解这个方程，得x＝.

∵x＝是原方程的增根，

且原方程的增根是x＝3，

∴＝3，

解得m＝1.

【拓展延伸】

【例1】若关于的方程＝1的解是正数，则的取值范围是.

【解析】去分母，得2+a＝-1，解得＝-a-1.

∵关于的方程＝的解是正数，

∴＞0且≠1，∴-a-1＞0且-a-1≠1，

解得a＜-1且a≠-2.

【答案】a＜-1且a≠-2

方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.

【例2】若关于的分式方程无解，求的值.

【思考】无解说明什么？两种情况：一是所化成的整式方程无解；二是解得整式方程的解使最简公分母为0.

解：方程两边都乘(+2)(-2)，得2(+2)+m＝3(-2)，   

即(m-1)＝-10.

①当m-1＝0时，此方程无解，此时m＝1；

②原方程的解使最简公分母为0，则＝2或＝-2，

当＝2时，代入(m-1)＝-10，得(m-1)×2＝-10，解得m＝-4；

当＝-2时，代入(m-1)＝-10，得(m-1)×(-2)＝-10，

解得m＝6，∴m的值是1，-4或6.

【总结】分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义不一样：分式方程有增根仅仅是指求得的整式方程的解使最简公分母为0；分式方程无解不但包括求得的整式方程的解使最简公分母为0，而且还包括分式方程化为整式方程后无解.

课堂练习

 1.以下是方程去分母后的结果，其中正确的是(　　)

A. B.

C. D.

2.若方程＝+有增根，则增根为(　　)

A.0　B.2　　C.0或2　 D.1

3.解方程：

(1)；

(2)；

(3).

参考答案

1.D

2.A

3.解：(1).　(2)-.  (3)原分式方程无解.

课堂小结

1.解分式方程的一般步骤：

（1）在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.

（2）解这个整式方程.

（3）把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整

式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.

（4）写出原方程的根.

2.方程的增根：

若求出的解使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根.

产生增根的原因:在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式.

注意：解分式方程一定要验根！

布置作业

请完成本课时对应练习！

板书设计

分式方程的解法

1.解分式方程的基本思路

2.解分式方程的一般步骤

3.方程的增根

若求出的解使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根.