初中数学北师大版八年级下册4 分式方程课后复习题

第10讲  解分式方程

知识点1 分式方程的解法

解分式方程的一般步骤：

（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程

（2）解这个整式方程

（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母：

如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原方程的解；

如果最简公分母的值为，则整式方程的解是原方程的增根，即不是原方程的解.

【典例】

例1（2020秋•西宁期末）解方程：1．

【解答】解：方程两边乘（2x+5）（2x﹣5），

得2x（2x+5）+2x﹣5＝（2x+5）（2x﹣5），

解得x，

检验：当x时，（2x+5）（2x﹣5）≠0，

所以原分式方程的解为x．

【方法总结】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

例2（2020秋•武都区期末）解分式方程：

（1）2；

（2）0．

【解答】解：（1）去分母得：1+2（x﹣3）＝x﹣4，

解得：x＝1，

经检验x＝1是分式方程的解；

（2）去分母得：3x﹣（x+2）＝0，

解得：x＝1，

经检验x＝1是分式方程的增根，原分式方程无解；

【方法总结】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 

【随堂练习】

1．（2020秋•绥中县期末）解下列方程：

（1）2；

（2）1．

【解答】解：（1）方程两边同时乘（2x﹣1），得：x﹣5＝2（2x﹣1），

解得：x＝﹣1，

检验：当x＝﹣1时，2x﹣1≠0，

所以，原分式方程的解是x＝﹣1；

（2）去分母得：x2+2x﹣x2+4＝8，

解得：x＝2，

检验：当x＝2时，x2﹣4＝0，

经检验x＝2是增根，

所以，原分式方程无解．

2．（2020秋•西丰县期末）解方程：2．

【解答】解：去分母得：3﹣4（x﹣1）＝2x，

去括号得：3﹣4x+4＝2x，

移项合并得：6x＝7，

解得：x，

经检验x是分式方程的解．

3．（2020秋•连山区期末）解下列分式方程

（1）1．

（2）．

【解答】解：（1）去分母得：1﹣a＝a﹣1，

解得：a＝1，

经检验a＝1是增根，分式方程无解；

（2）去分母得：2x﹣1﹣6＝1，

解得：x＝4，

经检验x＝4是分式方程的解．

知识点2  分式方程的解

1、类型：给出分式方程的解的限制条件，求分式方程的字母系数，例如：“关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围．”

2、此类问题的步骤

（1）解方程：用含字母系数的式子表示分式方程的解；

（2）根据“解的限制条件”和“最简公分母不为0”，来列所求系数的关系式；

（3）解（2）中的关系式，取公共部分，即为系数的取值范围.

【典例】

例1（2020秋•连山区期末）已知关于x的分式方程3的的解为正数，则k的取值范围为　k且k　．

【解答】解：去分母，得x﹣3（x﹣1）＝2k，

解得x．

∵分式方程的解为正数，

∴0且1．

解得，k且k．

故答案为：k且k．

【方法总结】 

本题考查了解分式方程、解一元一次不等式．掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．本题易错，只关注不等式的解，而忽略了分式方程的分母不为0条件．

例2 （2020秋•沂源县期中）若关于x的分式方程无解，求a的值．

【解答】解：去分母可得：3（x+3）+ax＝4（x﹣3）

∴3x+9+ax＝4x﹣12

∴（a﹣1）x＝﹣21，

当a﹣1≠0时，

∵该方程无解，

∴x代入x2﹣9＝0

∴3或

解得：a＝﹣6或a＝8

当a﹣1＝0时，

此时0＝﹣21，符合题意，

∴a＝1，

综上所述，a＝1或a＝﹣6或a＝8

【方法总结】 

本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于中等题型．

【随堂练习】

1．（2020秋•丛台区期末）若关于x的分式方程2a无解，则a的值为　0.5或1.5　．

【解答】解：2a，

去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），

整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，

当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；

当1﹣2a≠0时，x3时，分式方程无解，则a＝1.5，

则a的值为0.5或1.5．

故答案为：0.5或1.5．

2．（2020•浙江自主招生）已知关于x的方程恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．

【解答】解：两边同乘x2﹣x，得2kx2+（3﹣4k）x+4k﹣7＝0，

若k＝0，3x﹣7＝0，x，

若k≠0，由题意，知△＝（3﹣4k）2﹣8k（4k﹣7）＝0，

解得k1，k2，

当k1时，x1＝x2，当k2时，x1＝x2＝4，

若方程有两不等实根，则其中一个为增根，

当x1＝1时，k＝2，x2，

当x1＝0时，k，x2．

知识点3  分式方程的增根

概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根

【典例】

 例1 （2020春•文圣区期末）当m＝　﹣10或﹣4　时，解关于x的分式方程会产生增根．

【解答】解：分式方程去分母得：2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m，

由分式方程有增根，得到x2﹣1＝0，即x＝±1，

把x＝±1分别代入整式方程得：m＝﹣10或m＝﹣4，

故答案为﹣10或﹣4．

【方法总结】 

此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

例2（2020秋•平江县期中）当m为何值时，方程会产生增根．

【解答】解：去分母得：6x+4＝m，

由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）＝0，

解得：x＝﹣1或x＝1，

当x＝1时，m＝10，

当x＝﹣1时，m＝﹣2，

故当m＝﹣2或10时，方程有增根．

【方法总结】 

此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

【随堂练习】

1．（2020春•郫都区校级期中）已知关于x的分式方程．若方程有增根，则m的值为　±4　．

【解答】解：若原分式方程有增根，则（x+2）（x﹣2）＝0，

所以 x＝﹣2 或 x＝2，

当 x＝﹣2 时，﹣2m＝﹣8．得m＝4，

当 x＝2 时，2m＝﹣8．得m＝﹣4，

所以若原分式方程有增根，则m＝±4；

故答案为：±4．

2．（2020秋•海淀区校级月考）关于x的方程去分母转化为整式方程后产生增根，求m的值．

【解答】解：方程两边同乘以x2﹣1，得2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m，

当x2﹣1＝0时，x＝±1，

∴关于x的方程的增根为±1，

当x＝1时，m＝2（1﹣1）﹣5（1+1）＝﹣10；

当x＝﹣1时，m＝2（﹣1﹣1）﹣5（﹣1+1）＝﹣4，

故m的值为﹣10或﹣4．

知识点4 分式方程无解

分式方程无解的情况：

（1）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解.

（2）解出的整式方程的根是增根.

【典例】

例1（2020春•九龙坡区校级月考）从﹣1，0，1，2，3，4，5这7个数中随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程的解为非负数，那么这7个数中所有满足条件的a的值之和是（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10

【解答】解：解不等式x﹣1＜a得：x＜a+1，

解不等式2x+5≤3x得：x≥5，

由不等式组无解，得到5≥a+1，即a≤4，

a的值为﹣1，0，1，2，3，4，

分式方程，

去分母得：2x﹣2a＝x﹣2，

解得：x＝2a﹣2，且2a﹣2≠2，

∵x≥0，

∴2a﹣2≥0，

解得：a≥1，且a≠2，

∴a＝1，3，4，

∴所有满足条件的a的值之和是8，

故选：B．

【方法总结】

此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式（组），熟练掌握运算法则是解本题的关键．             

【随堂练习】

1．（2020•浦城县二模）如果关于x的方程0无解，则m的值是（　　）

A．2 B．0 C．1 D．﹣2

【解答】解：去分母得：﹣m﹣1+x＝0，

由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，

把x＝3代入整式方程得：﹣m﹣1+3＝0，

解得：m＝2，

故选：A．

综合运用

1．（2020秋•潮州期末）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是　m＞﹣6且m≠﹣3　．

【解答】解：解得x＝6+m，

∵关于x的分式方程的解为正数，

∴6+m＞0，

∴m＞﹣6，

∵x﹣3≠0，

∴x≠3，

∴m+6≠3，

∴m≠﹣3，

∴m的取值范围是m＞﹣6且m≠﹣3，

故答案为：m＞﹣6且m≠﹣3．

2．（2020秋•集贤县期末）若分式方程有增根，则m的值是　4或﹣8　．

【解答】解：去分母得，m﹣2（x﹣2）＝x+2，

∵方程有增根，

∴x＝±2，

当x＝2时，m＝4；

当x＝﹣2时，m＝﹣8；

故答案为4或﹣8．

3．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知关于x的分式方程3的解为正数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的和是（　　）

A．11 B．10 C．8 D．6

【解答】解：解不等式组，得，

∵不等式组无解，

∴，

∴a≤4．

解分式方程3，得x，

∵x为正数，

∴a＞﹣2，

∴﹣2＜a≤4，

∴a＝﹣1、0、1、2、3、4，

∵a＝1时，x＝1，原分式方程无解，故将a＝1舍去，

∴所有满足条件的整数a的和是﹣1+0+2+3+4＝8，

故选：C．

4．（2020•九龙坡区自主招生）若关于x的分式方程有正数解，且关于y的不等式组无解，则满足条件的所有整数a的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

【解答】解：解方程，得：x，

∵分式方程的解为正数，

∴2a﹣1＞0，即a，

又x≠1，

∴1，即a≠3，

则a且a≠3，

∵关于y的不等式组无解，

∴2﹣a≥﹣2，

解得：a≤4，

综上，a的取值范围是a≤4，且a≠3，

则符合题意的整数a的值有1，2，4共3个，

故选：C．

5．（2020秋•永年区期中）解下列分式方程：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）去分母得：2x＝x﹣2﹣1，

解得：x＝﹣3，

经检验x＝﹣3是分式方程的解；

（2）方程两边同时乘以（x2﹣9）得：4（x+3）﹣（x+9）＝x﹣3，

去括号得：4x+12﹣x﹣9＝x﹣3，

移项合并得：2x＝﹣6，

解得：x＝﹣3，

经检验：当x＝﹣3时，x2﹣9＝（﹣3）2﹣9＝9﹣9＝0，x＝﹣3是方程的增根，

∴原分式方程无解．

6．（2020秋•遵化市校级月考）解分式方程：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）分式方程整理得：2，

去分母得：1+2x﹣4＝x﹣1，

解得：x＝2，

经检验x＝2是增根，分式方程无解；

（2）去分母得：4＝9+12（x﹣2），

去括号得：4＝9+12x﹣24，

移项合并得：12x＝19，

解得：x，

经检验x是分式方程的解．

7．（2020•潍坊三模）关于x的方程：1．

（1）当a＝3时，求这个方程的解；

（2）若这个方程有增根，求a的值．

【解答】解：（1）当a＝3时，原方程为1，

方程两边同时乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1，

解这个整式方程得：x＝﹣2，

检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，

∴x＝﹣2是原方程的解；

（2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，

当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，

解得：x＝1，

将x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0，

解得：a＝﹣3，

综上，a的值为﹣3．