数学北师大版4 分式方程第3课时教案及反思

5.4分式方程（第3课时分式方程的应用）

教学目标

1.引导学生掌握解分式方程的基本思路和方法.

2.了解分式方程增根产生的原因并能解决与增根有关的问题.

教学重点难点

重点：解分式方程的基本方法和步骤.

难点：检验分式方程的解.

教学过程

复习巩固

1.解分式方程的基本思路是什么？

2.解分式方程有哪几个步骤？

一化、二解、三检验.

3.验根有哪几种方法？

有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.

导入新课

【创设情境，课堂引入】

若某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5 m3,求该市今年居民用水的价格.

探究新知

【实践探究，交流新知】

【教师引导，解决问题】

【提问】此题包含怎样的等量关系？

【学生活动】先独立思考，再踊跃回答.

小丽家今年7月的用水量-小丽家去年12月的用水量＝5m3.

【提问】请根据得到的等量关系列式解答本题.

【学生活动】先独立思考，再小组交流，踊跃回答.

【板书总结】

解：设该市去年居民用水的价格为元/m3,则今年的用水价格为元/m3,根据题意，得

-＝5.

解这个方程，得

x＝.

经检验，x＝是所列方程的根.

＝2（元/m3）.

所以，该市今年居民用水的价格为2元/m3.

【师生总结】列分式方程解应用题的一般步骤：

(1)审清题意，并设未知数；

(2)找相等关系；

(3)列出方程；

(4)解这个分式方程；

(5)验根（包括两方面 :①是否是分式方程的根；②是否符合题意）；

(6)写答案.

【巩固练习】朋友们开着2辆车去玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200 km时，发现小轿车只行驶了180 km，若面包车的行驶速度比小轿车快10 km/h,请问：面包车、小轿车的速度分别为多少？

【分析】设小轿车的速度为 km/h，

列表格如下：

等量关系：面包车行驶的时间＝小轿车行驶的时间.

【解】设小轿车的速度为 km/h，则面包车速度为（km/h，

依题意得

，

解得＝90.

经检验，＝90是原方程的解，

且＝90，+10＝100，符合题意.

答：面包车的速度为100 km/h，小轿车的速度为90 km/h.

【注意】这里检验两次:(1)是不是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.

【合作探究，解决问题】

【小组讨论，师生互学】

例1  两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.问：哪个队的施工速度更快？

【思考】若设乙队单独完成这项工程需要天，等量关系为甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量＝“1”，这个问题怎样解答？

【分析】列表如下：

【解】设乙队单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲队的工作效率是，根据题意，得

即

方程两边都乘2,得,解得 .

检验：当时，

所以，原分式方程的解为.

由上可知，若乙队单独施工，则1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度更快.

【思考】若根据等量关系：甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量＝“1”，此时表格怎么列，方程又怎么列呢？

【分析】

设乙队单独完成这项工程需要天.则乙队的工作效率是,甲队的工作效率是，合作的工作效率是.        

【总结】工程问题中的三个量，两个对象，一个等量关系.

三个量：工作效率、工作时间、工作量；

两个对象：指问题中的“两个主人公”，甲队和乙队，或“甲队单独和两队合作”；

一个等量关系：工程问题中等量关系是两个主人公工作总量之和＝全部工作总量.

此时方程是

×1+×＝1.

【拓展延伸】

例2某果品店在批发市场购买某种水果进行销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完.由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果.

(1)第一次购买水果的单价为多少元？

(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？

【分析】(1)根据第二次购买水果比第一次多20千克，可列出方程，解方程即可得出答案；(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价-当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了.

【解】(1)设第一次购买的单价为元，则第二次购买的单价为元.

根据题意，得-＝20.

解得＝6.

经检验，＝6是原方程的解.

故第一次购买水果的单价为6元.

(2)第一次购买水果1 200÷6＝200(千克).

第二次购买水果200+20＝220(千克).

第一次赚了200×(8-6)＝400(元)，

第二次赚了100×(9-6.6)+120×(9×0.5-6.6)＝-12(元).

所以总体上盈利400-12＝388(元).

课堂练习

1.某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是(　　)

A.＝B.＝

C.＝              D.＝

2.某商场用50 000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元.求第一次购进  件T恤衫.

3.一艘渔船在河中逆流而上，于某桥下遗失救生圈，被水冲走，渔船继续向前行驶了15min发现救生圈遗失，立即返回，在距该桥2 km处追到救生圈，由此可知水流速度为    km/h.

4.一列火车从车站开出，预计行程为450千米，当它出发3小时后，因特殊

情况而多停一站，因此耽误30分钟，后来把速度提高了20%，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度.

5.甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分钟才能完工.

(1)乙单独整理需要多少分钟完工？

(2)若乙因工作需要，他的整理时间不能超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？

参考答案

1.B   2.1 000     3.4

4.解：设这列火车原来的速度为千米/时.

根据题意，得＝3++.

解得＝75.

经检验，＝75是原方程的解.

所以这列火车原来的速度为75千米/时.

5.解：(1)设乙单独整理需要分钟完工.

根据题意，

得＝1.

解得＝80.

经检验，＝80是原分式方程的解.

故乙单独整理需要80分钟完工.

(2)设甲至少整理y分钟才能完工.根据题意，

得≥1.

解得y≥25.故甲至少整理25分钟才能完工.

课堂小结

列分式方程解应用题的一般步骤:

(1)审:分析题意,找出数量关系和相等关系；

(2)设:直接设法与间接设法；

(3)列:根据等量关系,列出方程;

(4)解:解方程,得未知数的值；

(5)检:有两次检验.①是否是所列方程的解;②是否满足实际意义.

(6)答:注意单位和答案完整.

布置作业

请完成本课时对应练习！

板书设计

分式方程的应用

1.列分式方程解应用题的一般步骤

(1)审清题意，并设未知数；

(2)找相等关系；

(3)列出方程；

(4)解这个分式方程；

(5)验根；

(6)写答案.

2.

3.

4.

×1+×＝1