高中人教A版 (2019)1.5 全称量词与存在量词教学设计及反思

1.5全称量词和存在量词综合提升

一、选择题

1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

2．命题“∃x∈R，x2>3”不可以表述为(　　)

A．有一个x∈R，使得x2>3

B．对有些x∈R，使得x2>3

C．任选一个x∈R，使得x2>3

D．至少有一个x∈R，使得x2>3

3．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是(　　)

A．a<1　　　　　　 B．a≤1

C．－1<a<1　 D．－1<a≤1

4．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1，0},2x＋1>0；③∃x0∈N，使x≤x0；④∃x0∈N*，使x0为29的约数．其中真命题的个数为(　　)

A．1　 B．2

C．3　 D．4

5．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,4] 

B．[0,4]

C．(－∞，0]∪[4，＋∞) 

D．(－∞，0)∪(4，＋∞)

二、填空题

6．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________．

①正方形的四条边相等；

②有些等腰三角形是正三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

7．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∃x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．

8．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)．若对任意x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)<1恒成立，则实数a的取值范围是________．

9．下列特称命题是真命题的序号是________．

①有些不相似的三角形面积相等；

②存在一实数x0，使x＋x0＋1<0；

③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；

④有一个实数的倒数是它本身．

10．下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；③存在实数a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等且不互相平分．其中是全称命题且为真命题的序号是________．

三、解答题

11．若全称命题“任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥0恒成立”为真命题，求a的取值范围.

参考答案

1. 答案：B　

解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．

2. 答案：C　

解析：本题主要考查特称命题．“∃”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同，但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确，故选C.

3. 答案：A　

解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0；

当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，

解得－1<a<1，故0<a<1.

综上所述，实数a的取值范围是a<1.

4. 答案：C　

解析：对于①，这是全称命题，由于

Δ＝(－3)2－4×2×4<0，

所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；

对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；

对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；

对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，成以④为真命题．故选C.

5. 答案：D　

解析： 命题p的否定是¬p：∃x∈R，ax2＋ax＋1<0成立，即不等式ax2＋ax＋1<0有解．当a＝0时，1<0，不等式无解；当a≠0时，要使不等式有解，则a2－4a>0，解得a>4或a<0，综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．故选D．

6. 答案：①③　②④

解析：①③是全称命题，②④是特称命题．

7. 答案：　0

解析：　x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．

当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，

对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，

4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，

∴④为假命题．

∴①②③④均为假命题．

8. 答案：　(－，)

解析：　由x⊙y＝x(1－y)，得(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)＝－(x－a)[x－(1－a)]<1，

整理得x2－x－a2＋a＋1>0恒成立，则Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，解得－<a<.

9. 答案：　①③④

解析：　①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以不存在实数x0，使x＋x0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.

10. 答案：　④

解析：　①是全称命题，但为假命题，②不是命题，③是特称命题．

11. 解析：当x∈[－1，＋∞)时，x2－2ax＋2≥0恒成立，等价于二次函数y＝x2－2ax＋2的图象在x轴的上方，只需满足Δ<0或即4a2－8<0或所以－<a<或－≤a≤－，

所以a的取值范围是[－，)．