进阶训练6(范围：5.2.1～5.2.3)

一、基础达标

1.在平面直角坐标系中，若角α的终边过点P，则sin(π＋α)＝(　　)

A.－   B.－

C.   D.

答案　B

解析　由诱导公式可得sin ＝sin＝－sin ＝－，

cos ＝cos＝cos ＝，

即P.

由三角函数的定义可得sin α＝＝，

则sin(π＋α)＝－sin α＝－.

2.已知tan θ＝－，<θ<π，那么cos θ－sin θ的值是(　　)

A.－   B.

C.  D.

答案　A

解析　因为tan θ＝－，<θ<π，

所以θ＝，

则cos θ－sin θ＝cos －sin ＝－cos －sin ＝－－＝－.

3.在平面直角坐标系中，∠A的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P(，a).若∠A＝660°，则a＝(　　)

A.－3   B.3 

C.－1   D.1

答案　A

解析　由三角函数的定义得tan A＝，

即tan 660°＝，

∴－＝，解得a＝－3.故选A.

4.已知tan α＝，且α∈，则cos＝(　　)

A.－   B.

C.   D.－

答案　A

解析　sin2α＝＝＝＝，

由于角α为第三象限角，故sin α＝－，

∴cos＝sin α＝－.

5.已知sin＝，且2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则的值是(　　)

A.   B.

C.－2   D.2

答案　B

解析　∵sin＝－cos α＝，

∴cos α＝－.

又2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，

∴sin α＝－＝－，

∴＝＝，故选B.

6.已知＝2，则tan α＝________.

答案　3

解析　法一　显然cos α≠0，分子、分母同除以cos α，得＝2，解得tan α＝3.

法二　去分母得sin α＋cos α＝2sin α－2cos α，即sin α＝3cos α，所以＝3，即tan α＝3.

7.已知角θ的终边过点P(－1，－3)，则＝________.

答案　

解析　∵角θ终边上一点P(－1，－3)，

∴由三角函数的定义可得tan θ＝3，

∴＝＝＝.

8.已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是________.

答案　

解析　由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，所以tan α＝3.

又因为tan α＝，

所以9＝＝，所以sin2α＝.

因为α为锐角，所以sin α＝.

9.已知3sin x＋cos x＝0，求sin2x＋2sin xcos x＋cos2x的值.

解　因为3sin x＋cos x＝0，

所以tan x＝－.

sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝＝＝.

10.已知cos＝－cos，sin＝－sin，且<α<π，0<β<π，求α，β的值.

解　由已知条件，得两式求平方和得sin2α＋3cos2α＝2，

即cos2α＝，所以cos α＝±.

又因为<α<π，

所以cos α＝－，α＝.则cos β＝－.又0<β<π，所以β＝.

因此有α＝，β＝.

二、能力提升

11.已知角α终边上点A的坐标为，则cos(－π＋α)－cos＝(　　)

A.   B.－

C.－   D.－

答案　D

解析　∵角α终边上点A的坐标为，∴x＝－，y＝，r＝1，

∴sin α＝＝，cos α＝＝－，

∴cos(－π＋α)－cos

＝－cos α－sin α＝－－＝－.

12.已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan α＝________.

答案　

解析　由α∈(0，π)，且cos α＝－，

可得sin α＝，α∈，

故sin·tan α＝cos α·＝sin α＝.

13.已知A，B，C为△ABC的内角.

(1)求证：cos2＋cos2＝1；

(2)若cossintan(C－π)<0，求证：△ABC为钝角三角形.

证明　(1)∵在△ABC中，A＋B＝π－C，

∴＝－，

∴cos ＝cos＝sin ，

∴cos2＋cos2＝sin2＋cos2＝1.

(2)∵cossintan(C－π)<0，

∴－sin A·(－cos B)·tan C<0，

即sin Acos Btan C<0.

又A，B，C∈(0，π)，

∴sin A>0，

∴cos Btan C<0，

即cos B<0，tan C>0或tan C<0，

cos B>0，

∴B为钝角或C为钝角，

∴△ABC为钝角三角形.

三、创新拓展

14.已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根.

(1)求cos3＋sin3的值；

(2)求tan(π－θ)－的值.

解　由题意，知原方程的判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，所以a≥4或a≤0.

又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，

所以a2－2a－1＝0，所以a＝1－或a＝1＋(舍去).

所以sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.

(1)cos3＋sin3

＝sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)·(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(1－)[1－(1－)]＝－2.

(2)tan(π－θ)－＝－tan θ－

＝－＝－

＝－＝1＋.