【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件进阶训练2　(范围：1.3.1～1.3.3)

进阶训练2　(范围：1.3.1～1.3.3)

一、基础达标

1.已知a，b，c均为正数，若a＋b＋c，b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c成等比数列，且公比为q，则q3＋q2＋q的值为(　　)

A.0   B.1

C.3   D.不确定

答案　B

解析　依题意，有q3＋q2＋q＝＋＋＝1.

2.已知等比数列{an}的各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝(　　)

A.3＋2   B.1－

C.1＋   D.3－2

答案　A

解析　由a1，a3，2a2成等差数列，得a3＝a1＋2a2，

在等比数列{an}中，有a1q2＝a1＋2a1q，

因为各项都是正数，所以q2＝1＋2q，得q＝1＋或1－(舍去)，

所以＝q2＝(1＋)2＝3＋2.

3.在等比数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn.若数列{an＋3}也是等比数列，则Sn＝(　　)

A.   B.3n

C.2n＋1   D.3×2n－3

答案　B

解析　设等比数列{an}的公比为q.

由数列{an＋3}是等比数列，

得(a2＋3)2＝(a1＋3)(a3＋3)，

∴(3q＋3)2＝(3＋3)(3q2＋3)，解得q＝1，

∴Sn＝3n.故选B.

4.已知甲、乙两车间的月产值在2022年1月份相同，甲以后每个月比前一个月增加的产值相同，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.而2022年7月份两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2022年4月份的月产值的大小，则有(　　)

A.甲大于乙   B.甲等于乙

C.甲小于乙   D.不确定

答案　A

解析　设甲以后每个月比前一个月增加的产值为a，乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间在2022年1月份的月产值均为m，

则m＋6a＝m×(1＋x)6　①.

在2022年4月份甲的产值为m＋3a，乙的产值为m×(1＋x)3，

由①，知(1＋x)6＝1＋ ，即在2022年4月份乙的产值为m＝，

因为(m＋3a)2－(m2＋6ma)＝9a2>0，

所以m＋3a>，

即2022年4月份甲的产值大于乙的产值，故选A.

5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝(　　)

A.8   B.12 

C.16   D.24

答案　C

解析　由等比数列前n项和的性质，知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等比数列，

∵S5＝2，S10＝6，∴S10－S5＝6－2＝4，

∴S15－S10＝＝＝8，∴a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S15＝＝＝16.

6.已知数列{an}满足＝，且a2＝2，则a4＝________.

答案　11

解析　∵＝，

∴＝2，∴数列{an＋1}是公比q＝2的等比数列，

∴a4＋1＝(a2＋1)·22＝12 ，∴a4＝11.

7.已知三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列，则原三个数的和等于________.

答案　28

解析　依题意设原三个数依次为，a，aq.

∵·a·aq＝512，∴a＝8.

又第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列，

∴＋(aq－2)＝2a，

∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，

∴原三个数为4，8，16或16，8，4.

∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原三个数的和等于28.

8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝1，S4＝－3，an＋3＝2an(n∈N＋)，则S2 020＝________.

答案　－2673－1

解析　∵a4＝S4－S3＝－4, 2 020＝3×673＋1，

∴a2 020＝a4×2672＝－2674，

∴S2 020＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a2 014＋a2 015＋a2 016)＋(a2 017＋a2 018＋a2 019)＋

a2 020＝－2674＝－2673－1.

9.已知等差数列{bn}中，bn＝log2(an－1)，且a1＝3，a3＝9.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.

解　(1)设等差数列{bn}的公差为d，由a1＝3，a3＝9，得b1＝log2(a1－1)＝log22＝1，b3＝log2(a3－1)＝log28＝3，

∴b3－b1＝2＝2d，∴d＝1，

∴bn＝1＋(n－1)×1＝n.

(2)由(1)知bn＝n，∴log2(an－1)＝n，

∴an－1＝2n，∴an＝2n＋1.

故Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(2n＋1)

＝(2＋22＋…＋2n)＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2.

10.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，a2·a4＝8，S5＝15；等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n－1.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)当{an}各项为正时，设cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Dn.

解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由题意得

∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.

当d＝1时，a1＝1，an＝n.

当d＝－1时，a1＝5，an＝6－n.

当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝2n－1，

当n＝1时，b1＝T1＝1也满足上式，所以bn＝2n－1.

(2)由题可知，an＝n，∴cn＝an·bn＝n·2n－1，

∴Dn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn

＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，①

∴2Dn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②

∴①－②，得－Dn＝1＋21＋…＋2n－1－n·2n

＝－n·2n＝2n－1－n·2n

＝(1－n)·2n－1，

∴Dn＝(n－1)·2n＋1.

二、能力提升

11.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＝，9S3＝S6，设Tn＝a1a2a3…an，则使Tn取得最小值的n的值为(　　)

A.3   B.4 

C.5   D.6

答案　C

解析　设等比数列{an}的公比为q，由9S3＝S6知，q≠1，故＝，可得q＝2.

又a1＝，所以an＝a1qn－1＝.

因为Tn＝a1a2a3·an，所以当Tn取最小值时，an≤1，且an＋1≥1，

即可得n＝5，故选C.

12.(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1，<0，则下列结论正确的是(　　)

A.0<q<1

B.0<a6a8<1

C.Sn的最大值为S7

D.Tn的最大值为T6

答案　ABD

解析　由条件a1>1，a6a7>1，<0，

可得：1<a6，0<a7<1.

∴＝q∈(0，1)，a6a8＝a∈(0，1)，Sn中没有最大值，Tn的最大值为T6.

则结论正确的是ABD.

13.设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.

解　(1)因为2Sn＝3n＋3，

所以2a1＝3＋3，故a1＝3.

当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，

所以2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，

所以an＝

(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝.

当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)×31－n.

当n＝1时，T1＝b1＝；

当n≥2时，

Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，

所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]，

两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n

＝＋－(n－1)×31－n＝－，

所以Tn＝－.

经检验，n＝1时也适合上式 .

综上可得，Tn＝－.

三、创新拓展

14.已知数列{an}满足a1＝1，数列是公比为3的等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)当n≥2时，证明：<；

(3)设数列的前n项和为Sn，证明：Sn<.

(1)解　由条件知an＋＝×3n－1＝，

∴an＝.

(2)证明　要证当n≥2时，<成立，

只要证明an>3n－1(n≥2)，

即证>3n－1，

只要证明3n－1>2×3n－1，

即证3n－2×3n－1＝3n－1>1(n≥2).

∵当n≥2时，3n－1>1显然成立，

∴当n≥2时，<成立.

(3)证明　∵当n≥2时，<，

∴Sn＝＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝

＝<.

当n＝1时，S1＝a1＝1<成立.综上可得，Sn<.