进阶训练4(范围：4.1.1～4.2.2)

一、基础达标

1.化简a的结果是(　　)

A.a   B.a 

C.a   D.a

答案　B

解析　＝a，

a＝a·a＝a，

＝＝a，

a·＝a·a＝a，

＝＝a，

a·＝a·a＝a.

2.(多选)下列运算结果中，正确的是(　　)

A.a2·a3＝a5

B.(－a2)3＝(－a3)2

C.(－a2)3＝a6

D.()m＝(m，n∈N*，n>1，为既约分数，有意义)

答案　AD

解析　对A：a2·a3＝a2＋3＝a5，正确；

对B：(－a2)3＝(－1)3·a6＝－a6，(－a3)2＝(－1)2a6＝a6，不正确；

对C：(－a2)3＝－a6，不正确；

对D：当有意义时，a＝()m＝，正确.

3.(多选)下列结论中，正确的是(　　)

A.函数y＝2x－1是指数函数

B.函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是[1，＋∞)

C.若am>an(a>0，a≠1)，则m>n

D.函数f(x)＝ax－2－3(a>0，a≠1)的图象必过定点(2，－2)

答案　BD

解析　选项A.根据指数函数的定义，可得y＝2x－1不是指数函数，故A不正确.

选项B，当a>1时，y＝ax2＋1≥1，故B正确.

选项C.当0<a<1时，函数y＝ax单调递减，由am>an，则m<n，故C不正确.

选项D.由f(2)＝a2－2－3＝－2，可得f(x)的图象恒过点(2，－2)，故D正确.

4.已知函数f(x)＝2ax－4(a>0，且a≠1)满足f(2)<f(3)，当x∈[－1，1]时，f(x)的最大值为2，则a的值为(　　)

A.   B.3 

C.   D.9

答案　B

解析　∵f(x)＝2ax－4，f(2)<f(3)，∴a>1.

∴当x＝1时，f(x)取得最大值2a－4＝2，解得a＝3.

5.已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)

A.a<0，b<0，c<0  B.a<0，b≥0，c>0

C.2－a<2c  D.2a＋2c<2

答案　D

解析　作出函数f(x)＝|2x－1|的图像，如图，

∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图像知，0<f(a)<1，a<0，c>0，

∴0<2a<1.

∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，

∴f(c)<1，∴0<c<1.

∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，

又∵f(a)>f(c)，

∴1－2a>2c－1，

∴2a＋2c<2，故选D.

6.把a根号外的a移到根号内等于________.

答案　－

解析　要使有意义，需a<0.

∴a＝－|a|

＝－＝－.

7.函数y＝的定义域为________，值域为________.

答案　　[0，＋∞)

解析　要使函数有意义，

则应满足32x－1－≥0，即32x－1≥3－2.

∵y＝3x在R上是增函数，

∴2x－1≥－2，

解得x≥－.

故所求函数的定义域为.

当x∈时，32x－1∈.

∴32x－1－∈[0，＋∞).

∴原函数的值域为[0，＋∞).

8.已知函数f(x)＝2|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________.

答案　(－∞，1]

解析　由函数f(x)＝2|x－a|＝可得，当x≥a时，函数f(x)为增函数，而已知函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a≤1，即a的取值范围为

(－∞，1].

9.已知函数f(x)＝b·ax(a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断函数g(x)＝＋的单调性(不需要证明)；

(3)求函数g(x)在(－∞，1]上的值域.

解　(1)由题意得∴

∴f(x)＝3·2x.

(2)由(1)得g(x)＝＋＝＋，

则g(x)在R上单调递减.

(3)由(2)知，当x≤1时，

g(x)≥g(1)＝＋＝，

∴函数g(x)在(－∞，1]上的值域为.

10.若定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.

(1)求a，b的值；

(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；

(3)若对于任意t∈R，不等式f(2t2－t)<f(－t2＋t＋k)恒成立，求k的取值范围.

(1)解　因为f(x)为R上的奇函数，

所以f(0)＝0，得b＝1.

又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.

此时f(x)＝，满足f(－x)＝－f(x)，

即f(x)是奇函数，∴a＝1，b＝1.

(2)证明　由(1)知，f(x)＝.

任取x1，x2∈R，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝.

因为x1<x2，所以2x2－2x1>0，

又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).

所以f(x)为R上的减函数.

(3)解　因为t∈R，

不等式f(2t2－t)<f(－t2＋t＋k)恒成立，

又f(x)为R上的减函数，

所以2t2－t>－t2＋t＋k，即k<3t2－2t恒成立，

而3t2－2t＝3－≥－，

所以k<－，即k的取值范围是.

二、能力提升

11.(多选)已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x.若存在x∈

[－1，1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的值可以 (　　)

A.－1   B. 

C.1   D.2

答案　AB

解析　因为g(x)－h(x)＝2x　①，

所以g(－x)－h(－x)＝2－x，

又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，

所以g(x)＋h(x)＝2－x　②，

联立①②，

得g(x)＝，h(x)＝.

由m·g(x)＋h(x)≤0得

m≤＝＝1－，

因为y＝1－为增函数，所以当x∈[－1，1]时，＝1－＝，所以m≤，结合选项知m的值可以为－1，，选AB.

12.已知f(x)＝其中a>0且a≠1.若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是________；若f(x)在R上不单调，则实数a的取值范围是________.

答案　[4，8)　(0，1)∪(1，4)∪[8，＋∞)

解析　若f(x)在R上是增函数，则需解得4≤a<8.

若f(x)在R上是减函数，

则需解得a∈∅.

∴若f(x)在R上不单调，则a的取值范围是(0，1)∪(1，4)∪[8，＋∞).

13.设函数f(x)＝，a是不为零的常数.

(1)若f(3)＝，求使f(x)≥4的x的取值范围；

(2)当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值是16，求a的值.

解　(1)由f(3)＝得a＝3，

∴不等式f(x)≥4可化为23x－10≥22.

由此可得3x－10≥2，∴x≥4.

故x的取值范围是[4，＋ ∞).

(2)当a>0时，f(x)＝＝2ax－10是增函数，

则当x∈[－1，2]时，

f(x)max＝f(2)＝22a－10＝16.

解得a＝7.

当a<0时，f(x)＝＝2ax－10是减函数，

则当x∈[－1，2]时，

f(x)max＝f(－1)＝2－a－10＝16.

解得a＝－14.

综上，a＝－14或a＝7.

三、创新拓展

14.已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝.

(1)求a，b的值；

(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围.

解　(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，

因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故解得

(2)由(1)可得f(x)＝x＋－2，

所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，

化为1＋－2·≥k.

令t＝，则k≤t2－2t＋1.

因x∈[－1，1]，故t∈.

记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈，

故h(t)max＝h(2)＝1，

所以实数k的取值范围是(－∞，1].