第二课时　频率分布直方图和频率分布折线图

课标要求　1.会用频率分布直方图展示数据的分布规律.2.会画频率分布直方图.

素养要求　在绘制频率分布直方图的过程中，掌握应用频率分布直方图展示数据的分布规律，发展学生的数据分析素养.

自 主 梳 理

1.频率分布直方图和频率分布折线图

(1)频率分布直方图

把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为组距，然后以此段为底作矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了直方图，我们将这种直方图称为频率分布直方图.

(2)频率分布折线图

如果将频率分布直方图中的左边和右边各延长一个分组，取各相邻小矩形上底边的中点，用线段顺次连接各点，就得到频率分布折线图.

2.画频率分布直方图的步骤

(1)计算极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差.

(2)确定组距和组数：组数＝，当样本量为n时，可参考经验公式K＝1＋4lg n将数据分成K组.

　(3)将数据分组.

(4)列频率分布表：一般分三列，即分组、频数、频率.其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.

(5)画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示.每个小矩形的面积＝组距×＝频率.各小矩形的面积和等于1.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)频率分布直方图中小矩形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值.(√)

(2)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数.(×)

提示　频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的频率.

(3)同一组数据，组距和组数不同，画出的频率分布直方图也不同.(√)

2.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15，20]内的频数为(　　)

A.20   B.30 

C.40   D.50

答案　B

解析　样本数据落在[15，20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.

3.观察新生婴儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在[2 700，3 000)内的频率为(　　)

A.0.001   B.0.01 

C.0.003   D.0.3

答案　D

解析　频率＝×组距，

组距＝3 000－2 700＝300，＝0.001，

∴频率＝0.001×300＝0.3.

4.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.

答案　60

解析　设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝1，

解得x＝，

所以前三组数据的频率分别是，，，

故前三组数据的频数之和为＋＋＝27，解得n＝60.

题型一　频数与频率的关系

例1 某中学记载了近五年(2018～2022)学生高考本科上线人数及相应比例如下表，请根据表中数据说明频数与频率的不同之处.

解　从2018年到2022年本科上线人数逐年递增，

从频数来看，2019年较上一年增加了79人，2020年较上一年增加了62人，2021年较上一年增加了33人，2022年较上一年增加了36人，

容易得到2018年到2019年增加的人数最多，2020年到2021年以及2021年到2022年增加的人数较少，

但从这五年的频率来看，2018年到2019年的频率增长了1.8%，是增长最少的，2019年到2020年的频率增长了3.8%，是增长最大的，

这说明只从频数一个角度分析实际问题是远远不够的，实际过程中，应从频数和频率两方面参考.

思维升华　频率反映了相对总数而言的相对强度，其携带的总体信息要超过频数，频数受总体数量影响较大，所以频率能客观地反映总体分布，在生活中，经常用样本的频率分布去估计总体的频率分布.

训练1 (多选)肥胖不仅影响了个人形象，还会增加各种疾病发生的机率，近几年，减肥行业风生水起.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房跟踪调查了20名肥胖者，把健身前后他们的体重(单位：kg)制成如下表格.

对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是(　　)

A.健身后，体重在区间[90，100)内的频数增加值为2

B.健身后，原来体重在区间[110，120]内的肥胖者体重都有减少

C.原来体重在[80，90)和[90，100)内的人减肥失败

D.原来体重在区间[100，110)内的人减肥没有效果

答案　AB

解析　原来体重在区间[90，100)内的频数为20×30%＝6，健身后体重在此区间内的频数为20×40%＝8，频数增加值为2，A正确；

原来体重在区间[110，120]内的频数为20×20%＝4，而健身后在此区间内的频数为0，说明此前的肥胖者体重都有减少，B正确；

健身后体重在区间[100，110)内的频数没有变化，但是并不能说原来体重在区间[100，110)内的人减肥没有效果，因为健身前后这个区间的人不一定是相同的，同理，也不能说原来体重在[80，90)和[90，100)内的人减肥失败，CD均不正确.

题型二　频率分布直方图的绘制

例2 一个农技站为了考察某种大麦穗生长的分布情况，在一块试验田里抽取了100株麦穗，量得长度如下(单位：cm)：

6.5　6.4　6.7　5.8　5.9　5.9　5.2　4.0　5.4　4.6

5.8　5.5　6.0　6.5　5.1　6.5　5.3　5.9　5.5　5.8

6.2　5.4　5.0　5.0　6.8　6.0　5.0　5.7　6.0　5.5

6.8　6.0　6.3　5.5　5.0　6.3　5.2　6.0　7.0　6.4

6.4　5.8　5.9　5.7　6.8　6.6　6.0　6.4　5.7　7.4

6.0　5.4　6.5　6.0　6.8　5.8　6.3　6.0　6.3　5.6

5.3　6.4　5.7　6.7　6.2　5.6　6.0　6.7　6.7　6.0

5.6　6.2　6.1　5.3　6.2　6.8　6.6　4.7　5.7　5.7

5.8　5.3　7.0　6.0　6.0　5.9　5.4　6.0　5.2　6.0

6.3　5.7　6.8　6.1　4.5　5.6　6.3　6.0　5.8　6.3

根据上面的数据列出频率分布表、绘制出频率分布直方图，并估计在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗所占的百分比.

解　(1)计算极差：7.4－4.0＝3.4；

(2)确定组距与组数：

若取组距为0.3，因为≈11.3，需分为12组，组数合适，所以取组距为0.3，组数为12；

(3)确定分点：使分点比数据多一位小数，并且把第1小组的起点稍微减小一点，那么所分的12个小组可以是3.95～4.25，4.25～4.55，4.55～4.85，…，7.25～7.55；

(4)列频率分布表：

(5)绘制频率分布直方图如图.

从表中看到，样本数据落在5.75～6.35之间的频率是0.28＋0.13＝0.41，

于是可以估计，在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗约占41%.

思维升华　在xOy坐标平面内画频率分布直方图时，x＝样本数据，y＝，这样每一组的频率可以用该组的组距为底，为高的小矩形的面积来表示.其中，矩形的高＝＝×频数.

训练2 某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验，其得分如下(单位：分)：

48　64　52　86　71　48　64　41　86　79

71　68　82　84　68　64　62　68　81　57

90　52　74　73　56　78　47　66　55　64

56　88　69　40　73　97　68　56　67　59

70　52　79　44　55　69　62　58　32　58

根据上面的数据，回答下列问题：

(1)这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少？

(2)将区间[30，100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图和频率分布折线图.

解　(1)这次测验成绩的最低分是32分，最高分是97分.

(2)根据题意，列出样本的频率分布表如下：

频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.

题型三　频率分布直方图的应用

例3 某汽车站在2022年春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了若干名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布直方图(如图所示).

已知购票用时在区间[5，10)内的频数为10，请解答下列问题：

(1)这次抽样的样本量是多少？

(2)分别求出购票用时在区间[10，15)，[15，20)，[20，25]内的频数与频率，并补全频率分布直方图；

(3)早在两年前，客运总公司对春运工作就做了明确要求，凡是旅客购票用时20(含20)min以上的超过20%，为旅客轻微滞留，需各客运站点立即采取相应措施.如果你是汽车站站长，面对今年的春运现状，你该怎么做？

解　(1)由频率分布直方图知，购票用时在区间[5，10)内的频率为0.02×5＝0.1，因为此区间内的频数为10，所以样本量为＝100.

(2)由题图可知，购票用时在区间[5，10)，[15，20)，[20，25]内的频率分别为0.1，0.5，0.3，所以购票用时在区间[10，15)内的频率为1.00－0.30－0.50－0.10＝0.10.各区间的频数依次为10，10，50，30，如下表：

所补频率分布直方图如图中的阴影部分.

(3)由以上计算可知，旅客购票用时20(含20)min以上的频率为30%，超过了20%，客运站点应立即采取相应措施，如果我是汽车站站长，应当立即增开购票窗口.

思维升华　(1)频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各个小组内的频率大小.

(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.

(3)＝样本容量.

(4)在频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之比，各矩形的高度之比也等于频率之比.

训练3 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？

解　(1)第二小组的频率为

＝0.08.

因为第二小组的频率＝，

所以样本容量＝＝＝150.

(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为×100%＝88%.

[课堂小结]

1.每个小矩形的面积等于对应数据的频率.

2.频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式，用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息.

一、基础达标

1.已知样本数据：10，8，6，10，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，12，11.那么频率为0.2的是(　　)

A.[5.5，7.5)   B.[7.5，9.5)

C.[9.5，11.5)   D.[11.5，13.5]

答案　D

解析　列出频率分布表，依次对照就可以找出答案，频率分布表如下：

从表中可以看出频率为0.2的是[11.5，13.5]，故选D.

2.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)

A.6   B.8 

C.12  D.18

答案　C

解析　志愿者的总人数为＝50，

所以第三组人数为50×0.36×1＝18，有疗效的人数为18－6＝12.

3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图.由图可知，这一批电子元件中寿命在100～300 h的电子元件的数量与寿命在300～600 h的电子元件的数量的比是(　　)

A.1∶2   B.1∶3 

C.1∶4   D.1∶6

答案　C

解析　由题意，知数量的比即为所对应的小矩形的面积和之比，即1∶4.

4.为了解学生参加体育锻炼的情况，现抽取了n名学生进行调查，结果显示这些学生每月的锻炼时间(单位：小时)在[10，50]内，其中锻炼时间在[30，50]内的学生有134人，频率分布直方图如图所示，则n＝(　　)

A.150   B.160 

C.180   D.200

答案　D

解析　由频率分布直方图得锻炼时间在[30，50]对应的频率为1－(0.010＋0.023)×10＝0.670，所以n＝＝200.

5.为了解某幼儿园儿童的身高情况，抽查该园120名儿童的身高绘制成如图所示的频率分布直方图，则抽查的120名儿童身高大于或等于98 cm且小于104 cm的有(　　)

A.90名   B.75名 

C.65名   D.40名

答案　A

解析　由图可知身高大于或等于98 cm且小于104 cm的儿童的频率为(0.1＋0.15＋0.125)×2＝0.75，抽查的120名儿童有120×0.75＝90(名)儿童的身高大于或等于98 cm且小于104 cm.

6.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.则频率分布直方图中x的值为________.

答案　0.004 4

解析　∵(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，∴x＝0.004 4.

7.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数，单位：分)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，第四小组的频率为________.

答案　0.3

解析　第四小组的频率为1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.

8.如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5，22.5)，[22.5，23.5)，[23.5，24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________.

答案　9

解析　最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.

9.为加强中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局将举办全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表解答问题：

(1)求a，b，c，d，e的值；

(2)作出频率分布直方图.

解　(1)根据题意，得分在[60.5，70.5)内的频数是a＝50×0.26＝13，在[90.5，100.5]内的频数是b＝50－13－15－18＝4，在[70.5，80.5)内的频率是c＝＝0.30，在[90.5，100.5]内的频率是d＝＝0.08，频率和e＝1.

(2)根据频率分布表作出频率分布直方图，如图所示.

10.为了了解学校高一年级男生的身高情况，选取一个容量为60的样本(60名男生的身高)，分组情况如下(单位：cm)：

(1)求出表中a，m的值；

(2)画出频率分布直方图.

解　(1)由题意得：6＋18＋30＋m＝60，

∴m＝6，a＝＝0.5.

(2)作出频率分布直方图如图所示：

二、能力提升

11.(多选)为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10 000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图.

下列说法正确的是(　　)

A.月收入低于5 000元的职工有5 500名

B.如果个税起征点调整至5 000元，估计有50%的当地职工会被征税

C.月收入高于或等于7 000元的职工约为当地职工的5%

D.根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于[5 000，6 000)内

答案　ACD

解析　月收入低于5 000元的职工有10 000×(0.000 1＋0.000 2＋0.000 25)×

1 000＝5 500(名)，A正确；

如果个税起征点调整至5 000元，

由(0.000 25＋0.000 15＋0.000 05)×1 000×100%＝45%，可估计有45%的当地职工会被征税，B不正确；

月收入高于或等于7 000元的职工约占0.000 05×1 000×100%＝5%，C正确；

月收入低于5 000元的频率为0.55，低于6 000元的频率为0.8，D正确.

12.某市共有5 000名高三学生参加联考，为了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：

根据上面的频率分布表，可知①处的数值为________，②处的数值为________.

答案　3　0.025

解析　由位于[110，120)的频数为36，频率为＝0.300，得样本容量n＝120，所以[130，140)的频率为＝0.1，②处的数值＝1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.1－0.050＝0.025；①处的数值为0.025×120＝3.

13.从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下：

[40，50)，2；[50, 60)，3；[60, 70), 10；[70, 80), 15；[80，90)，12；[90，100]，8.

(1)列出样本的频率分布表；

(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图.

解　(1)频率分布表如下：

(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.

三、创新拓展

14.某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽到100名学生的笔试成绩(满分200分)，按成绩分组，得到的频率分布表如下：

(1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据，并在下图中画出频率分布直方图；

(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试.

解　(1)由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35，第3组的频率为＝0.30，

故①处应填35，②处应填0.30.

频率分布直方图如图.

(2)因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，抽样比为＝，故第3组应抽取30×＝3(名)学生，

第4组应抽取20×＝2(名)学生，

第5组应抽取10×＝1(名)学生，

所以第3，4，5组应抽取的学生人数分别为3，2，1.