人教版高中数学必修第一册第四章4-5-2用二分法求方程的近似解习题含答案
展开4.5.2 用二分法求方程的近似解
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有( )
A.f(x)=3x-1
B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log4x
D.f(x)=ex-2
2.(2021江西上高二中高二期末)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f(1)=-2 | f(1.5)= 0.625 | f(1.25)= -0.984 |
f(1.375)= -0.260 | f(1.437 5)= 0.162 | f(1.406 25)= -0.054 |
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A.1.4 B.1.3
C.1.2 D.1.5
3.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点,其中a>0,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在区间内可能有零点
B.函数f(x)在区间内可能有零点
C.函数f(x)在内无零点
D.函数f(x)的零点可能是
4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数解,取区间中点x0=2.5,那么下一个有解区间为 .
5.下表是连续函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值:
x | 1 | 1.25 | 1.375 | 1.406 5 | 1.438 |
f(x) | -2 | -0.984 | -0.260 | -0.052 | 0.165 |
x | 1.5 | 1.625 | 1.75 | 1.875 | 2 |
f(x) | 0.625 | 1.982 | 2.645 | 4.35 | 6 |
由此可判断,方程f(x)=0的一个近似解为 .(精确到0.1)
6.已知函数f(x)=ln x+2x-6.
(1)证明:f(x)有且只有一个零点;
(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.
B级 关键能力提升练
7.在用二分法求的近似值的过程中,可以构造函数f(x)=x2-2(x>0),我们知道f(1)·f(2)<0,所以∈(1,2),要使的近似值满足精确度为0.1,则对区间(1,2)至少二等分的次数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.用二分法求方程ln x-=0在[1,2]上的根时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为( )
A.(1,1.25) B.(1,1.5)
C.(1,2) D.(1.5,2)
9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),1,,内,则与f(0)符号不同的是( )
A.f B.f(2)
C.f(1) D.f
10.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x | 0 | 0.5 | 0.531 25 | 0.562 5 |
f(x) | -1.307 | -0.084 | -0.009 | 0.066 |
x | 0.625 | 0.75 | 1 |
|
f(x) | 0.215 | 0.512 | 1.099 |
|
由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是( )
A.0.625 B.-0.009
C.0.562 5 D.0.066
11.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600 0)≈ 0.200 | f(1.587 5)≈ 0.133 | f(1.575 0)≈ 0.067 |
f(1.562 5)≈ 0.003 | f(1.556 2)≈ -0.029 | f(1.550 0)≈ -0.060 |
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为 (精确到0.01).
12.证明函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行多少次函数值的计算.
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13.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,3)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.18,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.32,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
4.5.2 用二分法求方程的近似解
1.ACD f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值总是异号.故选ACD.
2.A 由表格中参考数据可得f(1.437 50)>0,f(1.406 25)<0,又因为题中要求精确到0.1,所以近似根为1.4,故选A.
3.ABD 根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在中,或f=0,故选ABD.
4.[2,2.5] 因为f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0,
所以f(2)f(2.5)<0,f(2.5)f(3)>0.
所以下一个有解区间应为[2,2.5].
5.1.4 由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间[1.406 5,1.438]上,由精确度可知近似解可为1.4.
6.(1)证明令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=ln+2(x1-x2),且>1,x1-x2>0.
∴f(x1)>f(x2),即f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)至多有一个零点.又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,∴f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)内有一个零点.
∴f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.
(2)解∵f(2)<0,f(3)>0,取x1=,f=ln -1<0,
∴f(3)f<0,即f(x)零点x0∈,3.
取x2=,则f=ln>0.
∴ff<0.
∴x0∈.又=,
∴满足题意的区间为.
7.B 设要计算n次,则n满足<0.1,即2n>10.故计算4次就可满足要求.
所以将区间(1,2)等分的次数为4次.故选B.
8.D 令f(x)=ln x-,因为f(1)=-1<0,f(2)=ln 2-=ln 2-ln >ln 2-ln =ln 2-ln 2=0,
f(1.5)=ln=lnln e=lnln e2=ln -ln e2<(ln 4-2)=0,所以下一个有根区间为(1.5,2).故选D.
9.BD 由二分法的步骤可知:①零点在区间(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;②零点在区间(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;③零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点;④零点在区间1,内,则有f(1)·f<0,则f(1)>0,f<0,则取中点;⑤零点在区间内,则有f·f<0,则f>0,f<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f.
10.C 设近似解为x0,
因为f(0.531 25)<0,f(0.562 5)>0,
所以x0∈(0.531 25,0.562 5).
因为0.562 5-0.531 25=0.031 25<0.05,
所以方程的近似解可取为0.562 5,故选C.
11.1.56 由表知,f(1.556 2)=-0.029,f(1.562 5)=0.003,则f(1.556 2)f(1.562 5)<0,故区间的端点四舍五入可得1.56.
12.解因为f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,
所以f(-2)·f(-1)<0,所以函数f(x)=x3-x2+5在区间[-2,-1]上有零点x0.
至少需要进行3次函数值的计算,理由如下:
取区间[-2,-1]的中点x1==-,且f-=-+5=-<0,所以x0∈-,-1.
取区间-,-1的中点x2==-,
且f-=+5>0,
所以x0∈-,-.
取区间-,-的中点x3==-,
且f-=+5>0,
所以x0∈-,-.
因为---<0.2,所以区间-,-的中点x4==-即为零点的近似值,即x0≈-,所以至少需进行3次函数值的计算.
13.解(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
理由如下:令0≤x1<x2,由于f(x1)-f(x2)=<0,即f(x1)<f(x2),
故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
(2)g(x)=+log2x-2是增函数.
∵g(1)=1+log21-2=-1<0,g(3)=+log23-2>0,g(2)=+log22-2=-1>0,
∴函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.
∵g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,∴函数的零点在(1.5,1.75)内.
∵1.75-1.5=0.25<0.3,
∴g(x)零点的近似值为1.5.(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5,1.75]中的任意一个数都可以)
