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人教版高中数学必修第一册第四章4-5-1函数的零点与方程的解习题含答案
展开4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=ln 2x-1的零点位于区间( )
A.(2,3) B.(3,4) C.(0,1) D.(1,2)
2.(2022江西赣州高一期末)若函数f(x)=2x+x-4的零点所在区间为(k,k+1)(k∈Z),则k=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.函数f(x)=x3-的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.无数个
5.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点
C.f(x)在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(1,2)上一定有零点
6.若方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0<x1<1<x2<2,则实数k的取值范围是 .
7.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.
B级 关键能力提升练
8.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则m的取值范围为( )
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.(-∞,-4]∪[0,+∞)
D.[-4,0)
9.(2021北京丰台高一期末)已知函数f(x)=则f(x)的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.已知实数x0是函数f(x)=的一个零点,若0<x1<x0<x2,则( )
A.f(x1)<0,f(x2)<0
B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0
D.f(x1)>0,f(x2)>0
11.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,有如下的对应值表:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 123.56 | 21.45 | -7.82 | 11.45 | -53.76 | -128.88 |
则下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点
B.函数y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点
C.函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点
D.函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点
12.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是( )
A.a<α<b<β B.a<α<β<b
C.α<a<b<β D.α<a<β<b
13.已知函数f(x)=若f(x)恰有两个零点,则正数a的取值范围是 ( )
A.0, B.,2
C.,1 D.(1,2)
14.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 .
15.已知函数f(x)=若f(x0)=-1,则x0= ,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围为 .
16.(2021河南洛阳高一期末)已知函数f(x)=
(1)若f(a)=1,求实数a的值;
(2)若关于x的方程f(x)-m=0恰有三个解,求实数m的取值范围.
C级 学科素养创新练
17.已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.
(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;
(2)若函数的两个零点分别是α和β,求α2+β2的取值范围.
4.5.1 函数的零点与方程的解
1.D f(x)=ln 2x-1在定义域上是增函数,并且是连续函数,且f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 4-1>0,根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上,故选D.
2.A 因为函数f(x)=2x+x-4在R上单调递增,且f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,
所以函数的零点在区间(1,2)内.又因为函数的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,所以k=1,故选A.
3.C 根据题意,令x2-2x+3x=0,解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;
令1++3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.
4.B 作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个公共点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.
5.AC 因为f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,
所以f(0)f(1)<0,
因为函数f(x)的图象在R上连续不断,
由零点存在定理,可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点.
又f(1)f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.
6. 因为方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0<x1<1<x2<2,
所以设f(x)=x2-(k+2)x+1-3k,画出函数f(x)的大致图象,如图所示.
结合图象知f(0)=1-3k>0,且f(1)=-4k<0,
且f(2)=1-5k>0,所以0<k<.
故实数k的取值范围为.
7.解令x2-mx+a-m=0,
因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,
故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,
即Δ=(-m)2-4(a-m)≥0,
即a≤+m对任意的实数m恒成立.
∵+m=(m+2)2-1≥-1,
∴a≤-1.
∴实数a的取值范围是(-∞,-1].
8.D 由题意,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m是定义域上的增函数,
又由函数f(x)在区间(0,1]上存在零点,则满足
解得-4≤m<0,即实数m的取值范围为[-4,0),故选D.
9.C ∵f(x)=
令f(x)=0,
当x≤0时,x2-2x=0,解得x=0或x=2(舍去);
当x>0时,-1=0,解得x=1.
所以f(x)=0有2个实数解,即函数f(x)的零点个数为2.故选C.
10.B 因为y=与y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=在(0,+∞)上单调递增,且f(x0)=0,所以当0<x1<x0<x2时,有f(x1)<f(x0)<f(x2),即f(x1)<0,f(x2)>0.故选B.
11.B 由题中表格可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.
由函数零点存在定理知,函数y=f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在1个零点,所以函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.
虽然f(1)f(2)>0,但函数y=f(x)在[1,2]上也有可能存在一个或多个零点.同理,在[5,6]上也如此.
12.C ∵α,β是函数f(x)的两个零点,
∴f(α)=f(β)=0.
又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.
13.C 函数f(x)=若f(x)恰有两个零点,
可得2x-1=0,解得x=0<1;(x-a)(x-2a)=0,可得x=a或x=2a,
由a≥1,2a<1,可得a∈⌀;由2a≥1,a<1,可得≤a<1,
综上可得a的取值范围是,1.故选C.
14.a<b<c 画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示.
观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a<b<c.
15.-1 (0,1) 由方程f(x0)=-1得解得x0=-1.关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根等价于y=f(x)的图象与y=k的图象有两个不同的交点,观察图象可知,当0<k<1时,符合题意.
16.解(1)当a>0,f(a)=1,即a2-3a+2=1,解得a=,均满足条件.当a≤0时,∵ea>0,ea+1>1,
∴f(a)=1无解.故a=.
(2)在同一坐标系内分别作出y1=f(x)和y2=m的图象如图所示.
当x≤0时,f(x)单调递增,1<f(x)≤2;
当x>0时,f(x)在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,f=-.
故当1<m<2时,方程f(x)-m=0恰有三个解,即实数m的取值范围是(1,2).
17.解(1)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,
∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解.则解得k=-2.
(2)由题意知α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解,∴则
∴α2+β2在区间内的取值范围为.故α2+β2的取值范围为.