人教版八年级上册12.1 全等三角形免费导学案

专题：全等三角形

学习目标

    1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

    2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

    3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

学习重点

    全等三角形的性质．

学习难点

    找全等三角形的对应边、对应角．

学习方法：自主学习与小组合作探究

学习过程：

一．获取概念：

阅读教材内容，完成下列问题：

（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________          叫做全等三角形。

（2）全等三角形的对应顶点：                                         、对应角：                              、对应边：                                         。

（3）“全等”符号：         读作“全等于”

（4）全等三角形的性质：                                                              

（5）如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC        △ A1B1C1..点A与 A点是对应顶点;点B与 点   是对应顶点;点C与 点   是对应顶点. 对应边：                                        

对应角：                                      。

 二  观察与思考：

1.将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

议一议：各图中的两个三角形全等吗？

即       ≌△DEF，△ABC≌        ，△ABC≌         ．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但     、     都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形　　　，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。

三、自学检测

1、如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，则这两个三角形中相等的边                               。相等的角                                      。            

 2如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其它的对应角                       

对应边：AB                   AE                   BE                  

3.已知如图3，△ABC≌△ADE，试找出对应边                                           

对应角                                      ．

4.如图4，AB与DB，AC与DE是对应边，已知：，求。

解：∵∠A+∠B+∠BCA=180  (                               ),(          )                 

∴∠BCA=            

∵(                )

∴∠BED=∠BCA=              (                                         )

5.完成教材练习

 四、评价反思  概括总结

找两个全等三角形的对应元素常用方法有：

1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。

2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．

3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

五．作业

1.  三角形全等的判定“边边边”

学习目标

    1．三角形全等的“边边边”的条件．

    2．了解三角形的稳定性．

    3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

学习重点

    三角形全等的条件．

学习难点

    寻求三角形全等的条件．

 学习方法：自主学习与小组合作探究

学习过程：

 一．回顾思考：

    1．（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

    三个角、三个边、两边一角、两角一边．

    （2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

三种：①定义__________________________________________________；

②“SAS”公理__________________________________________________

③“ASA”定理__________________________________________________

二、新课

 1. 回忆前面研究过的全等三角形．

    已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．

   图中相等的边是：AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．

    相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．

2.已知三角形△ABC你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？

    阅读教材

    归纳：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．

书写格式:     在△ABC和△A1B1C1中

      ∴   △ABC≌△A1B1C1（SSS）

3. 小组合作学习

（1）如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：△ABD≌△ACD．

      证明：∵D是BC的中点

            ∴__________________________

        在△ABD和△ACD中

     ∴△            ≌△           （       ）．

   （2）如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有一个条件：______________________，怎样才能得到这个条件？

∵__________________________

∴__________________________

∴__________________________

（3）如图,AB=AC, AD是BC边上的中线P是AD 的一点,求证：PB=PC

4.三角形的稳定性： 生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．（阅读P98）

 三、阅读教材例题: 

四．自学检测

五．评价反思  概括总结

   1. 本节课我们探索得到了三角形全等的条件，又发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

2.到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

①定义__________________________________________________；

②“SAS”公理__________________________________________________

③“ASA”定理_________________________________________________

④“SSS”定理_________________________________________________

2..  三角形全等的判定“边角边”

学习目标

   1．三角形全等的“边角边”的条件．

   2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

   3．掌握三角形全等的“SＡS”条件．

   4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

学习重点：  三角形全等的条件．

学习难点：  寻求三角形全等的条件．

学习方法：自主学习与小组合作探究

学习过程：

一、：温故知新

1．怎样的两个三角形是全等三角形？   2．全等三角形的性质？

二、读一读，想一想，画一画，议一议

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

阅读：课本

   总结：通过我们画图 可以发现只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形不一定全等；给出两个条件画出的两个三角形也不一定全等，按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．

    给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

    归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．

   在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．

 3、如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，

∠AOB＝ ∠COD，

BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD，  OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

4．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：

(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm，   AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

(2)如果把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，想一想△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

5．“边角边”公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)

书写格式:     在△ABC和△ A1B1C1中

∴   △ABC≌△ A1B1C1（SAS）         

 用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SAS”是证明三角形全等的一个依据．．

三、小组合作学习

(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

四、阅读例题: 

五、评价反思  概括总结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．

六、作    业：

七、深化提高

1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．

求证：△ABE≌△ACF．

2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．

求证：△ABE≌△CDF．

    3、已知：  AD∥BC，AD＝ CB，AE=CF(图3)．

求证：△ADF≌△CBE

3.三角形全等的判定 “角边角”“角角边”

学习目标       

1.探索三角形全等的“角边角”和“角角边”的条件

2.应用“角边角”和“角角边”证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等.

学习重点：应用“角边角”和“角角边”证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等.

学习难点：理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”

学习过程

一、学习准备

1．复习尺规作图

(1)作线段AB等于已知线段a，

(2)作∠ABC，等于已知∠α

2．我们已经知道的判定三角形全等的方法有哪些?

二、合作探究

探究4：

    先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B(即使两角和它们的夹边对应相等)．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

结论：两角和          分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“       ”）．

例题讲解：

例3   如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：AD=AE．

例4   在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?

结论：两角和               分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“   ”）．

再次探究：

    三角对应相等的两个三角形全等吗?   

   结论：三个角对应相等的两个三角形     全等．

 现在为止，判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?

    结论：                                  

三、巩固练习

教材练习

四、课堂小结

我们有五种判定三角形全等的方法：

    1．全等三角形的定义

    2．判定定理：边边边（SSS）  边角边（SAS）  角边角（ASA）  角角边（AAS）

五、当堂清

1.满足下列用哪种条件时，能够判定ΔABC≌ΔDEF（   ）

(A)AB=DE,BC=EF, ∠A=∠E      (B)AB=DE,BC=EF ∠A=∠D          

(C) ∠A=∠E,AB=DF, ∠B=∠D   (D) ∠A=∠D,AB=DE, ∠B=∠E

2.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ）

（A）带①去  （B）带②去   （C）带③去  （D）带①和②去 

3．下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（　　）

A．①和②　　B．②和③　　C．①和③　　D．①②③

4. 图中全等的三角形是                                      （    ）

A.Ⅰ和Ⅱ   B.Ⅱ和Ⅳ   C.Ⅱ和Ⅲ    D.Ⅰ和Ⅲ

5．已知：如图 , AC⊥BC于C , DE⊥AC于E ,

AD⊥AB于A , BC=AE．若AB=5 , 则AD=___________．

6、.如图，AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.

求证：AB=AD

4.三角形全等的判定  “斜边、直角边”

学习目标：掌握三角形全等的判定HL

学习方法：自我学习，小组合作学习

一、自主学习

（一）复习小测

1、如图，在□ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E,CF⊥BD于F，求证BE=DF.

（二）阅读书本，并思考下列几个问题.

1、如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△,使∠=90°，

   ,,那么全等吗？

   得出判定直角三角形全等的方法：                                        的两个直角三角形全等.

2、如图，已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证BC=AD.

二、研学释疑

1、如图，BE,CD是△ABC的高，要证明△BCD≌△CBE,还需增加一个条件             ，理由是                              ，或增加一个条件             ，理由是                               .

2、要将图中的∠MON平分，小明设计了如下方案：在射线OM,ON上分别取OA=OB,过点A作DA⊥OM交ON于D,过点B作EB⊥ON交OM于E,AD,EB交于C,过点O,C作射线OC,即为∠MON的平分线，试说明这样做的理由.

三、实践探究

1、在中，∠C=∠=90°，下列条件中能判定两三角形全等的有（  ）

①,∠A=∠；      ②，；

③， ；   ④,∠A=∠.

A. 1个       B. 2个      C. 3个      D. 4个

2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC,FD=CD.

求证：（1）△BFD≌△ACD；（2）BE⊥AC.

四、拓展延伸

如图，在△ABC中，已知D是BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB,垂足非别是E，F，DE=DF，求证AB=AC.