八年级数学 培优竞赛 专题15 全等三角形 讲义学案

专题15　全等三角形

阅读与思考

两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法．

我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的．了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：

例题与求解

【例1】考查下列命题：

①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；

②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；

③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；

④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等．

其中正确命题的个数有（　　）

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

（山东省竞赛试题）

解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例．

【例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．

求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．

（第十六届江苏省竞赛试题）

解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠PAQ＝90°．

【例3】如图，已知为AD为△ABC的中线，求证：AD＜．

（陕西省中考试题）

解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB，AC，AD集中到同一个三角形中，从构造2AD入手．

【例4】如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E．

求证：AB＝AC＋BD．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB上截取AF，使AF＝AC，以下只要证明FB＝BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等．

【例5】如图1，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠．

（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图2，若∠BCA＝90°，∠＝90°，则BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；

②如图3，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；

（2）如图4，若直线CD经过∠BCA的外部，∠＝∠BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

（台州市中考试题）

解题思路：对于②，可用①进行逆推，寻找△BCE≌△CAF应满足的条件．对于（2）可用归纳类比方法提出猜想．

【例6】如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝105°，∠ABC＝∠ADC＝45°．

求证：CD＝AB．

（天津市竞赛试题）

解题思路：由已知易得∠CAB＝30°，∠GAC＝75°，∠DCA＝60°，∠ACB＋∠DAC＝180°，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．

能力训练

A级

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC︰DB＝3︰5，则点D到AB的距离是＿＿＿＿．

2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过B，C作经过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝3cm，CE＝4cm，则DE＝＿＿＿＿．

3．如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外的等腰直角三角形，CE和BF相交于O，则∠EOB＝＿＿＿＿．

4．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝AD．有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）

（天津市中考试题）

5．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，则（　　）

A．△ABD≌△AFD      B．△AFE≌△ADC

C．△AFE≌△DFC      D．△ABC≌△ADE

6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（　　）

A．5cm    B．6cm    C．7cm    D．8cm

7．如图，从下列四个条件：①BC＝B'C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

（北京市东城区中考试题）

8．如图1，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，且BF＝AC．

（1）求证：ED平分∠FEC；

（2）如图2，若△ABC中，∠C为钝角，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明．

9．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，连AD，M为AD中点，连OM．

（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；

（2）将图1中的△COD旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．

10．如图，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M．

求证：∠M＝．                                       （天津市竞赛试题）

11．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，P为BE，CD的交点．

求证：BD＋CE＝BC．

12．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．

（日照市中考试题）

B级

1．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝＿＿＿＿．

（武汉市竞赛试题）

2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是＿＿＿＿．

（“希望杯”竞赛试题）

3．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是角平分线，P是AD上任意一点，在ABAC与BPPC两式中，较大的一个是＿＿＿＿．

4．如图，已知AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有（　　）

A．5对    B．6对    C．7对    D．8对

5．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，则（　　）

A．BE＋CF＞EF       B．BE＋CF＝EF

C．BE＋CF＜EF       D．BE＋CF与的大小关系不确定

（第十五届江苏省竞赛试题）

6．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（　　）

A．相等    B．不相等   C．互余    D.互补或相等

（北京市竞赛试题）

7．如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．

已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

（荆州市中考试题）

8．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE＝，求∠ABC＋∠ADC的度数．                                             （上海市竞赛试题）

9．在四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝6，且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问与的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画出图形并证明你的结论．

（河北省竞赛试题）

10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE：分别平分∠BAC，∠ACB．

求证：AC＝AE＋CD．

（武汉市选拔赛试题）

11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AP，CQ分别平分∠BAC，∠BCA．AP交CQ于I，连PQ．

求证：为定值．

12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD丄MN于O，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD＋BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝ADBE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出这个等

量关系，并加以证明．                                           （海口市中考试题）

13．CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠．

（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA＝90°，∠＝90°，则BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠＝∠BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

（台州市中考试题）