18.2 特殊的平行四边形（课时3）同步练习 2022-2023学年人教版数学八年级下册

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《18.2　特殊的平行四边形》同步练习（课时3  菱形的性质）一、基础巩固知识点1   菱形的定义1. 如图,在菱形ABCD中,E,F,G,H分别是菱形四边的中点,连接EG,FH,两直线交于点O,则图中的菱形共有(　　)A.4个 B.5个 C.6个 D.7个知识点2    菱形的性质2. [2022河池中考]如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是 (　　)A.AB=AD  B.AC⊥BDC.AC=BD  D.∠DAC=∠BAC3. [2022河南中考]如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为(　　)A.6  B.12 C.24 D.484. [2022石家庄藁城区期末]如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在x轴正半轴上,边BC在y轴上,若点B的坐标为(0,8),点C的坐标为(0,-5),则点D的坐标为 (　　)A.(10,0)  B.(11,0)C.(12,0)  D.(13,0)5. [2021北京西城区二模]图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案,它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两部分,图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成.在菱形ABCD中,∠BAD=72°,在对角线AC上截取AE=AB,连接BE,DE,可将菱形分割为“风筝”(凸四边形ABED)和“飞镖”(凹四边形BCDE)两部分,则图2中的∠α的度数为　　　　. 6. [2022苏州期末]如图,木制活动衣帽架由三个全等的菱形构成,在A,E,F,C,G,H处安装上、下两排挂钩,可以根据需要改变挂钩间的距离,并在B,M处固定.已知菱形ABCD的边长为13 cm,要使两排挂钩间的距离AC为24 cm,则B,D之间的距离(即线段BD的长)为 　　　　cm. 7. [2022南充中考]如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.求证:(1)△ADE≌△CDF;(2)ME=NF.     知识点3    菱形的面积8. [2021荆门期中]如图,在菱形ABCD中,OA=5,OB=12,则菱形ABCD的面积为(　　)A.60 B.120 C.180 D.2409. [2022宝鸡期中]如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,则菱形ABCD的面积是(　　)A.18 B.18      C.36      D.3610. [2022北京东城区期中]如图,在菱形ABCD中,BD=8,AC=6,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,则线段DE的长为 (　　)A.  B.  C.  D.11. [2022桂林期中]如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE⊥BD交BA的延长线于点E.(1)求证:四边形ACDE是平行四边形.(2)若BE=10,BD=6,求菱形ABCD的面积.      二、能力提升1. [2022苏州姑苏区模拟]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为 (　　)A.6  B.8  C.10 D.122. [2022湘西州中考]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,OH=4,若菱形ABCD的面积为32,则CD的长为(　　)A.4  B.4 C.8  D.83. [2022广安中考]如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是 (　　)A.2  B.    C.1.5   D.4. [2021合肥期末]数学兴趣小组受到赵爽弦图启发设计了如图所示的图形:其中四边形ABCD为菱形,△ADH,△CBF,△AEB,△CGD均为直角三角形.若AH=,DH=1,CG=2,则EF的长为　　　　. 5. [2022铜仁中考]如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=80°,延长BC到E,在∠DCE内作射线CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为F.若DF=,则BD的长为　　　　.(结果保留根号) 6. [2022重庆开州区期末]如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,点M是CD的中点,连接EM并延长交菱形ABCD的外角∠DCN的平分线于点F,连接DF.(1)求证:四边形BCFE是平行四边形.(2)判断四边形ECFD的形状并说明理由.         7. [2022滨州中考]如图,菱形ABCD的边长为10,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O,点E在对角线BD上,连接AE,作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F.(1)求菱形ABCD的面积;(2)求证:AE=EF.      8. [2021十堰外国语学校期末]在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上一点,F是线段BC的延长线上一点,且CF=AE,连接BE,EF.如图1,当点E是线段AC的中点时,易证BE=EF.(1)如图2,当点E不是线段AC的中点,其他条件不变时,请你判断结论:BE=EF　　　　.(填“成立”或“不成立”) (2)如图3,当点E是线段AC的延长线上任意一点,其他条件不变时,结论BE=EF是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.      参考答案一、基础巩固1. B　根据题意,可得四边形ABCD,AEOH,BEOF,CFOG,DGOH均为菱形.2. C3. C　解法一　∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,AB=BC=CD=DA,∴△COD为直角三角形.∵OE=3,点E为线段CD的中点,∴CD=2OE=6,∴菱形ABCD的周长为4CD=4×6=24.解法二　∵四边形ABCD为菱形,∴BO=OD,AB=BC=CD=DA,又E是CD的中点,∴OE是△BCD的中位线,∴BC=2OE=6,∴菱形ABCD的周长为4BC=4×6=24.4. C　∵点B的坐标为(0,8),点C的坐标为(0,-5),∴OB=8,OC=5,∴BC=OB+OC=13,∵四边形ABCD是菱形,∴CD=BC=13.在Rt△ODC中,由勾股定理得OD===12,∵点D在x轴正半轴上,∴D(12,0).5. 144°　∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=72°,∴∠DAC=∠BAC=36°,AD=AB,∴AE=AB=AD,∴∠DEA=∠AEB=×(180°-36°)=72°,∴∠α=72°+72°=144°.6. 10　∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,∵AC=24 cm,∴AO=12 cm,∵AB=13 cm,∴由勾股定理求得BO=5 cm,∴BD=2BO=10 cm.7. 证明:(1)因为四边形ABCD是菱形,所以DA=DC,∠DAE=∠DCF,AB=CB,因为BE=BF,所以AE=CF.在△ADE和△CDF中,所以△ADE≌△CDF.(2)由(1)知△ADE≌△CDF,所以∠ADM=∠CDN,DE=DF,因为四边形ABCD是菱形,所以∠DAM=∠DCN,因为∠ADM=∠CDN,所以∠DMA=∠DNC,所以∠DMN=∠DNM,所以DM=DN,所以DE-DM=DF-DN,所以ME=NF.8. B　∵四边形ABCD是菱形,∴AC=2OA=10,BD=2OB=24,∴菱形ABCD的面积为AC×BD=120.9. B　如图,过点A作AE⊥BC于点E,在菱形ABCD中,BC=AB=6,∠ABC=60°,所以∠BAE=30°,所以BE=AB=3,所以AE==3,所以菱形ABCD的面积为BC×AE=6×3=18.10. B　如图,设AC与BD的交点为O,∵四边形ABCD是菱形,∴AO=OC=AC=3,BO=DO=BD=4,AC⊥BD,∴AB==5,∵S菱形ABCD=AB·DE=AC·BD, DE===.11. (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD,∠AOB=90°.∵DE⊥BD,∴∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB,∴DE∥AC,∴四边形ACDE是平行四边形.(2)解:在Rt△BDE中,BE=10,BD=6,∴DE==8.∵四边形ACDE是平行四边形,∴AC=DE=8,∴菱形ABCD的面积为AC×BD=24.二、能力提升1. C　∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC=AC=2,OB=OD=BD=8.∵△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O',点A'与点C重合,∴O'C=OA=2,O'B'=OB=8,∠CO'B'=90°,∴AO'=AC+O'C=6,∴AB'===10.2. C　因为四边形ABCD是菱形,所以OD=BD,OC=AC,AC⊥BD,因为DH⊥AB,所以∠BHD=90°,所以OH=BD=OD,所以OD=4,BD=8,由AC× BD=32得,×8×AC=32,所以AC=8,所以OC=AC=4,所以 CD==8.3. A　如图1,取AB的中点G,连接PG,∵四边形ABCD是菱形,且边长为2,∴AD=DC=AB=BC=2.点E,G分别为AD,AB的中点,根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC对称,∴PE=PG,∴PE+PF=PG+PF,当G,P,F三点共线时,PG+PF最小,且为线段FG.如图2,G,P,F三点共线,∵点F是DC的中点,点G为AB的中点,∴DF=DC=AB=AG,在菱形ABCD中,DC∥AB,即DF∥AG,∴四边形AGFD是平行四边形,∴FG=AD=2,故PE+PF的最小值为2.4. 1　由△ADH,△CBF,△AEB,△CGD均为直角三角形,易得四边形EFGH是矩形,∴HG=EF.∵AH=,DH=1,∴AD==2.∵四边形ABCD是菱形,∴CD=AD=2,∴DG==2,∴EF=HG=DG-DH=1.5. 2　如图,连接AC,交BD于点H,由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°,AB∥CD,AC⊥BD,所以∠DCE=∠ABC=80°,∠DHC=90°,又∠ECM=30°,所以∠DCF=50°,因为DF⊥CM,所以∠CFD=90°,所以∠CDF=40°,又四边形ABCD是菱形,所以BD平分∠ADC,所以∠HDC=∠ADC=40°,所以∠HDC=∠FDC,在△CDH和△CDF中,所以△CDH≌△CDF,所以DH=DF=,所以DB=2DH=2.6. (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴DE=BE,∠ACD=∠BCD,AC⊥BD,∵点M是CD中点,∴EM是△BCD的中位线,∴EM∥BC.∵CF平分∠DCN,∴∠DCF=∠DCN,∴∠ACD+∠DCF=(∠BCD+∠DCN)=×180°=90°,即∠ACF=90°,∴AC⊥CF,∴BD∥CF,又EF∥BC,∴四边形BCFE是平行四边形.(2)解:四边形ECFD是矩形.理由如下:∵四边形ABCD是菱形,∴BE=DE,由(1)可知,四边形BCFE是平行四边形,∠ACF=90°,∴BE=CF,BE∥CF,∴DE=CF,DE∥CF,∴四边形ECFD是平行四边形,又∠ACF=90°,∴平行四边形ECFD是矩形.7. (1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AC⊥BD,且AO=CO,BO=DO.∵∠ABC=60°,∴∠ABO=30°.又AB=10,∠AOB=90°,∴CO=AO=AB=5,OD=OB==5,∴AC=2AO=10,BD=2BO=10,∴S菱形ABCD=AC·BD=×10×10=50.(2)证明:如图,连接EC, 易知AE=CE.设∠AEO=α,易知∠CEO=α,∴∠CEF=120°-2α,∠ECF=∠DEC+∠EDC=α+30°,∴∠F=180°-∠ECF-∠CEF=30°+α,∴∠F=∠ECF,∴CE=EF,∴AE=EF.8. 解:(1)成立过点E作EG∥BC交AB于点G,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,又∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°,又∠BAC=60°,∴△AGE是等边三角形,∴AG=AE=GE,∴BG=EC.∵CF=AE,∴GE=CF,又∠BGE=∠ECF=120°,∴△BGE≌△ECF,∴BE=EF.(2)结论BE=EF成立.证明如下:过点E作EG∥BC交AB的延长线于点G,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,又∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°,又∠BAC=60°,∴△AGE是等边三角形,∴AG=AE=GE,∴BG=EC.∵CF=AE,∴GE=CF,又∠BGE=∠ECF=60°,∴△BGE≌△ECF,∴BE=EF.