18.2 特殊的平行四边形（课时5）同步练习 2022-2023学年人教版数学八年级下册

《18.2　特殊的平行四边形》同步练习

（课时5  正方形）

一、基础巩固

知识点1   正方形的性质

1. [2022佳木斯期中]如图,在正方形ABCD中, E是对角线AC上的一点.连接BE,且AB=AE.则∠EBC的度数是 (　　)

A.45°   B.30°   C.22.5°   D.20°

2. [2022长沙广益实验中学期中]如图,正方形ABCD的边长为,对角线AC,BD交于点O,E是AC延长线上一点,且CE=CO,则BE的长度为(　　)

A. B. C. D.2

3. [2022北京朝阳区期中]如图,点E,F分别是正方形ABCD的边AD,CD上的点,且OE⊥OF,已知AD=6,则图中阴影部分的面积是　　　　. 

4. [2022恩施州中考]如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.

求证:DF=BE+EF.

知识点2   正方形的判定

5. [2021玉林中考]一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:

a.两组对边分别相等

b.一组对边平行且相等

c.一组邻边相等

d.一个角是直角

顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.则正确的是(　　)

A.仅① B.仅③ C.①② D.②③

6. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件:　　　　,使矩形ABCD是正方形. 

7. [2022邵阳中考]如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.

求证:四边形AECF是正方形.

二、能力提升

1. [2022重庆中考A卷]如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为 (　　)

A.45°   B.60°   C.67.5°  D.77.5°

2. [2022合肥蜀山区期末]如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,给出4个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③OA=OB;④AC⊥BD.从所给的4个条件中任意选择2个为一组,能判定▱ABCD是正方形的有 (　　)

A.3组    B.4组    C.5组    D.6组

3. [2022合肥期末]如图,正方形ABCD中, AB=3,点E在边CD上,若CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF,则GF的长度为(　　)

A. 　B. C. D.

4. [2022安阳期中]如图,在四边形ABCD中,点E是线段AD上的任意一点(点E与点A,D不重合),G,F,H分别是BE,BC,CE的中点.

(1)证明:四边形EGFH是平行四边形.

(2)在(1)的条件下,若EF⊥BC,且EF=BC,证明:四边形EGFH是正方形.

5. [2022苏州期末]如图,在正方形ABCD中,AB=,E为正方形ABCD内一点,DE=AB,∠EDC=α(0°<α<90°),连接CE,AE,过点D作DF⊥AE,垂足为点F,交CE的延长线于点G,连接AG.

(1)当α=20°时,求∠DAE的度数;

(2)判断△AEG的形状,并说明理由;

(3)当GF=1时,求CE的长.

参考答案

一、基础巩固

1. C　∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=45°,∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB=(180°-45°)=67.5°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.

2. C　 ∵四边形ABCD是正方形,且边长为,∴OB⊥OC,OB=OC=1.∵CE=OC,∴OE=2.在Rt△OBE中,BE==.

3. 9　∵四边形ABCD是正方形,∴∠EDO=∠FCO,AC⊥BD,OD=BD,OC=AC,AC=BD,∴∠DOC

=∠COF+∠DOF=90°,OD=OC,∵OE⊥OF,∴∠EOF=∠DOE+∠DOF=90°,∴∠DOE=∠COF,∴△ODE≌△OCF,∴图中阴影部分的面积=S△AOD=S正方形ABCD,∵AD=6,∴图中阴影部分的面积为×62=9.

4. 证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴BC=CD,∠BCD=90°.

∵CE⊥BG,DF⊥CE,

∴∠BEC=∠DFC=90°,

∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF,

∴∠CBE=∠DCF.

在△CBE和△DCF中,

∴△CBE≌△DCF,

∴BE=CF,CE=DF,

∴DF=CE=CF+EF=BE+EF.

5. C

6. AB=AD(或AC⊥BD,答案不唯一)

7. 证明:∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.

又BE=DF,

∴OE=OF,

∴四边形AECF是菱形.

∵OE=OA,

∴AC=2OA=2OE=EF,

∴菱形AECF是正方形.

二、能力提升

1. C　∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°,AB=DA,∠DAF=∠B=90°.又AF=BE,∴△DAF≌△ABE,∴∠ADF=∠BAE.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠BAC=22.5°,

∴∠ADF=22.5°,∴∠CDF=90°-22.5°=67.5°.

2. B　∵AB=BC,∠ABC=90°,∴▱ABCD是正方形,故①②为一组,能判定▱ABCD是正方形;∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形,∵AC⊥BD,∴矩形ABCD是正方形,故②④为一组,能判定▱ABCD是正方形;在▱ABCD中,AC=2OA,BD=2OB,∵OA=OB,∴AC=BD,又AC⊥BD,∴▱ABCD是正方形,故③④为一组,能判定▱ABCD是正方形;∵OA=OB,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形,∵AB=BC,∴矩形ABCD是正方形,故①③为一组,能判定▱ABCD是正方形.①④或②③为一组,不能判定▱ABCD是正方形.

3. B　在正方形ABCD中,AB=3,∴CD=AD=BC=3,∵CD=3DE,∴DE=×3=1,CE=3-1=2,∵△ADE沿AE对折至△AFE,∵AF=AD,EF=DE=1,∠AFE=∠D=90°,∴AB=AF,∠AFG

=90°.在Rt△ABG和Rt△AFG中,∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),∴BG=FG,设BG=FG=x,则EG=EF+FG=1+x,CG=3-x,在Rt△CEG中,EG2=CG2+CE2,即(1+x)2=(3-x)2+22,解得x=,∴GF=.

4. 证明:(1)∵G,F分别是BE,BC的中点,

∴GF是△BCE的中位线,

∴GF∥EC且GF=EC.

∵H是EC的中点,∴EH=EC,∴GF=EH,

又GF∥EH,

∴四边形EGFH是平行四边形.

(2)如图,连接GH.

∵G,H分别是BE,EC的中点,

∴GH是△EBC的中位线,

∴GH∥BC且GH=BC.

又EF⊥BC且EF=BC,

∴EF⊥GH,EF=GH,

∴平行四边形EGFH是正方形.

5. 解:(1)∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ADC=90°,AB=AD,

∵∠CDE=20°,∴∠ADE=70°,

∵DE=AB,∴AD=DE,

∴∠DAE=∠DEA=×(180°-70°)=55°.

(2)△AEG是等腰直角三角形.理由如下:

∵AD=DE,DF⊥AE,∴AF=FE,∴DG是AE的垂直平分线,

∴AG=GE,∴∠GAE=∠GEA,

易知DE=DC=AD,∴∠DAE=∠DEA,∠DEC=∠DCE,

∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC=360°,

∴∠DEA+∠DEC=135°,∴∠GEA=45°,

∴∠GAE=∠GEA=45°,∴∠AGE=90°,

∴△AEG为等腰直角三角形.

(3)如图,连接AC,

∵四边形ABCD是正方形,∴AC==,

∵△AEG为等腰直角三角形,GF⊥AE,

∴GF=AF=EF=1,∴AG=GE=,

∵AC2=AG2+GC2,即10=2+GC2,

∴GC=2,∴CE=GC-GE=.