18.2 特殊的平行四边形（课时4）同步练习 2022-2023学年人教版数学八年级下册

这是一份18.2 特殊的平行四边形（课时4）同步练习 2022-2023学年人教版数学八年级下册，共7页。
《18.2　特殊的平行四边形》同步练习（课时4  菱形的判定）一、基础巩固知识点1    有一组邻边相等的平行四边形是菱形1. [2022信阳三模]下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是 (　　)A.AB=CD      B.AB=BCC.∠BAD=90° D.AC=BD2. [2021淮安中考]已知:如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,且BE平分∠ABC,EF∥AB.求证:四边形ABFE是菱形.     知识点2    对角线互相垂直的平行四边形是菱形3. [2022海口期末]如图,四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,则下列条件能判定该四边形是菱形的是(　　)A.AB=BC  B.AC=BDC.AB∥CD D.AC,BD互相平分4. [2022北京中考]如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,AE=CF.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形.(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.      知识点3   四边都相等的四边形是菱形5. [2022开封期末]在数学活动课上,为探究四边形瓷砖是否为菱形,以下拟定的测量方案,正确的是 (　　)A.测量一组对边是否平行且相等B.测量四个内角是否相等C.测量两条对角线是否互相垂直D.测量四条边是否相等6. [2022嘉兴中考]小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD,求证:四边形ABCD是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.      二、能力提升1. 如图,BD,AC是▱ABCD的对角线,过点A作AE⊥AC,交CD的延长线于点E,则添加下列条件不能使▱ABCD成为菱形的是 (　　)A.CD=ED  B.∠EAD=∠CADC.AC⊥BD D.∠ADE=2∠CAD2. [2022北京海淀区二模]如图,在平行四边形ABCD中,过AC的中点O的直线分别交边BC,AD于点E,F,连接AE,CF.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形,这个条件可以是 　　　　.(写出一个即可) 3. [2022德州九中]如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是AD,BC的中点,G,H分别是BD,AC的中点,当四边形ABCD的边满足　　　　时,四边形EGFH是菱形. 4. [2022阜新实验中学期末]如图,A(0,4),B(8,0),点C是x轴正半轴上一点,D是平面内任意一点,若以A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为　　　　. 5. [2022连云港一模]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.(1)求证:△ADE≌△CBF.(2)连接AF,CE.当BD与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?请说明理由.       6. [2022保定十三中期中]如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动.设点D,E运动的时间是t s(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.(1)求证:AE=DF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.      参考答案一、基础巩固1. B2. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.又EF∥AB,∴四边形ABFE是平行四边形.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE.∵AD∥BC,∴∠AEB=∠FBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∴平行四边形ABFE是菱形.3. D　当AC,BD互相平分时,四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.4. 证明:(1)在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠BAC=∠DCA.解法一　∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴DA=DC,∵OA=OC,∴DB⊥EF,∴平行四边形EBFD是菱形.解法二　∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴DA=DC,∴▱ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴DB⊥EF,∴平行四边形EBFD是菱形.5. D6. 解:赞成小洁的说法.补充条件:AB=CB.证明:由小惠的证法得,AB=AD,CB=CD.又AB=CB,∴AB=AD=CB=CD,∴四边形ABCD是菱形.(答案不唯一,正确即可)二、能力提升1. B　当CD=ED时,∵△AEC是直角三角形,∴AD=CD,又四边形ABCD是平行四边形,∴▱ABCD是菱形,故加上选项A中条件,能使▱ABCD成为菱形;当AC⊥BD时,▱ABCD是菱形,故加上选项C中条件,能使▱ABCD成为菱形;当∠ADE=2∠CAD时,∵∠ADE=∠DAC+∠DCA,∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC,∴▱ABCD是菱形,故加上选项D中条件能使▱ABCD成为菱形.2. AE=AF(答案不唯一)　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠OAF=∠OCE,∠OFA=∠OEC,∵O是AC的中点,∴OA=OC.在△AOF和△COE中,∴△AOF≌△COE,∴OF=OE,∴四边形AECF是平行四边形,∴当添加的条件是AE=AF时,平行四边形AECF是菱形.3. AB=CD　∵点E,G分别是AD,BD的中点,∴EG∥AB,EG=AB.同理,HF∥AB,HF=AB,∴EG∥HF,EG=HF,∴四边形EGFH是平行四边形.∵EG=AB,易证得EH=CD,∴当AB=CD时,EG=EH,此时四边形EGFH是菱形.4. (5,4)或(4,4)　①当AB为菱形的对角线时,如图1,设菱形的边长为m,∵A(0,4),B(8,0),∴OA=4,OB=8.∵四边形ACBD为菱形,∴CA=AD=BC=m,AD∥BC.在Rt△AOC中,由勾股定理,得42+(8-m)2=m2,解得m=5,∴D(5,4).②当AB为菱形的边时,如图2,AB==4,∵四边形ABCD为菱形,∴BC=AB=AD=4,AD∥BC,∴D(4,4).综上,点D的坐标为(5,4)或(4,4).5. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ADE=∠CBF.在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF.(2)解:当AC⊥BD时,四边形AFCE是菱形.理由如下:∵△ADE≌△CBF,∴AE=CF,∠AED=∠CFB,∴AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形,∵AC⊥BD,即AC⊥EF,∴平行四边形AFCE是菱形.6. (1)证明:依题意,得CD=4t,AE=2t.在Rt△ABC中,∠C=90°-∠A=30°.在Rt△CDF中,∠C=30°,∴DF=CD=2t,∴AE=DF.(2)解:能.∵DF⊥BC,∠B=90°,∴DF∥AB,由(1)知DF=AE,∴四边形AEFD是平行四边形.当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,则60-4t=2t,解得t=10,∴当t=10时,四边形AEFD是菱形.(3)解:当t=时,△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).理由如下:当∠EDF=90°时,DE∥BC,∴∠ADE=∠C=30°,∴AD=2AE.∴60-4t=2×2t,解得t=(符合题意).当∠DEF=90°时,DE⊥EF.∵四边形AEFD是平行四边形,∴AD∥EF,∴DE⊥AD.∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°.∵∠A=60°,∴∠DEA=30°,∴AD=AE,∴60-4t=×2t,解得t=12(符合题意).综上,当t=时,△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).