人教版数学选择性必修一第一章测试

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人教版数学选择性必修一第一章测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．如图，直四棱柱的底面是正方形，且，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ）．A．平面截此四棱柱所得截面是菱形，且截面面积为B．平面截此四棱柱所得裁面是矩形，且截面面积为C．直线与平面所成角的正弦值是D．直线与平面所成角的余弦值是2．如图，在直三棱柱中，，，，D、E分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ）A． B． C． D．3．已知向量，，且，其中、，则（    ）A． B． C． D．4．在空间四边形中，，，，P在线段上，且，Q为的中点，则（    ）A． B．C． D．5．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，，，直线AC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为，则异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．6．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（    ） A．20° B．40°C．50° D．90° 二、多选题7．在正方体中，点在线段上运动，则（    ）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为8．在边长为1正方体ABCD­A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则（    ）A．二面角A1­AC1­B的大小为90°B．C．直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于D．FG⊥BC1 三、填空题9．已知，，则向量的坐标为______.10．如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为________．11．已知P是所在的平面外一点，，，，给出下列结论：①；②；③是平面的一个法向量；④，其中正确结论的个数是__________．12．长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合中元素的个数为____________个. 四、解答题13．如图，直棱柱底面是菱形，点E，F分别在棱，上，且，.(1)求证：，，，四点共面；(2)若，求平面和平面的夹角的余弦值.14．如图，且，，且，且，平面ABCD，.若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；15．四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面.(1)证明：；(2)若，且PA与平面ABCD成角为60°，在棱PC上是否存在点E，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由.16．如图，在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，且，E是棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．
参考答案：1．D【分析】作出截面并求出截面面积即可判断A、B；利用空间向量法求线面角可判断C、D.【详解】连接、，则，，即四点共面，且, 所以平面截此四棱柱所得截面是菱形，连接，则，故A、B不正确；以为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，,设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，设直线与平面所成角为，，所以，则直线与平面所成角的余弦值是.故选：D2．C【解析】根据题意可分别以，，三直线为，，轴，建立空间直角坐标系，从而可得出，，，的坐标，进而得出向量的坐标，从而可求出的值，进而得出异面直线与所成的角的余弦值．【详解】可知，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：，0，，，4，，，0，，，2，，，2，，，，异面直线与所成的角的余弦值为．故选：C3．B【解析】由列等式可求出、的值，进而可求得的值.【详解】向量，，且，，解得，因此，.故选：B.4．A【分析】利用向量加法的几何意义即可求解.【详解】由则，，，所以.故选：A【点睛】本题考查了空间向量的加法运算，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.5．A【分析】建立空间直角坐标系，由直线AC1与平面A1B1C1所成的角的正弦值得，计算，得异面直线BA1与B1C所成角的余弦值.【详解】取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC，以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴，过点O且平行于AA1的直线为z轴建立空间直角坐标系．设a＝1，则，易知AA1⊥平面A1B1C1，则直线AC1与平面A1B1C1所成的角为，得，得，则，．则，，，，所以，，则，故异面直线BA1与B1C所成角的余弦值为．故选：A．6．B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.7．ABD【分析】利用线面垂直的定义和线面垂直的判断定理可确定选项A正确，转化顶点，确定底面积和高度均为定值可得三棱锥的体积为定值，考虑极限的情况可得异面直线与所成角的取值范围，建立空间直角坐标系，利用空间向量得到直线与平面所成角的正弦值的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最大值.【详解】如图所示，由正方体的性质可得，平面，平面，则，平面，平面，故平面，平面，则，同理可得，且平面,平面,从而直线平面，选项A正确；，因为点在线段上运动，所以，面积为定值，且到平面的距离即为到平面的距离，也为定值，故体积为定值，选项B正确；由，当点与线段的端点重合时，与所成角为；设的中点为，当点由的端点向中点运动时，为异面直线与所成角，在中，，所以在中，不变，逐渐变小．所以逐渐增大，当点与重合时，异面直线与所成角为所以异面直线与所成角的取值范围是．所以C不正确．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，则，，，，，，，，，与选项A的方法同理可得平面，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角的正弦值为，则：，当时，有最大值，即直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确．故选：ABD.8．BC【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算平面和平面的法向量，计算得到A错误，，D错误，根据向量运算和向量夹角运算得到BC正确，得到答案.【详解】如图所示以分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，.设平面的法向量为，则，即，取，得到平面的一个法向量为；设平面的法向量为，则，即取，得到平面的一个法向量为.，故A错误；，B正确.，直线FG与平面A1ACC1所成角为，则，C正确；，D错误.故选：BC.9．【分析】空间向量线性运算的坐标表示，直接求值.【详解】已知，，则.故答案为：10．【分析】做交于可得平面，连接，以点为原点，为轴，过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，设，由射影定理可得，由得，求出，利用基本不等式可得直线与平面所成角最大时的值，取的中点，连接，可得四棱锥外接球的球心为点，球心到平面的距离等于到平面的距离的，求出，设截面半径为，由可得答案．【详解】做交于，因为半圆面平面，所以平面，连接，以点为原点，为轴，过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，设，则，在直角三角形内，由射影定理可得，即，所以，，，，，， ，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以，当且仅当即等号成立，且取得最小值，直线与平面所成角最大，取的中点，连接，则，所以四棱锥外接球的球心为点，因为，，，平面，所以平面，设球心到平面的距离为，所以等于到平面的距离的，因为，，所以，设截面半径为，则有，所以截面的面积．故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键是熟悉四棱锥的性质，即外接球的球心在DB上，根据勾股定理，可求得外接球半径r，再根据球的几何性质，求解即可，考查空间想象，计算求解的能力，属于难题．11．【分析】只需验证两组空间向量的数量积为即可判断垂直，可判断①②的正误；由①②及线面垂直的判定可判断③的正误；由空间向量的减法的坐标运算可得的坐标，由空间向量共线定理可判断④的正误．【详解】解：，，，①，所以，故①正确；②，所以，故②正确；③由①②知，，，平面，所以，是面的一个法向量，故③正确；④，因为，故④错误．故答案为：．12．1【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积可得，即可得答案.【详解】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，，，，因为，则对任意，，均有，所以集合，只有一个元素.故答案为：113．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）在BB1上取一点G，使得，连结EG，，通过证明四边形是平行四边形，以及四边形是平行四边形得到，进而可得结论；（2）连接AC，BD交于点O，如图建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，求其夹角的余弦值即可得答案.(1)证明：在上取一点G，使得，连结EG，，因为且，所以四边形是平行四边形，则且，又因为且，则且所以四边形是平行四边形，则，由，则且，所以四边形是平行四边形，则，所以，故，，，四点共面；(2)连接AC，BD交于点O，如图建立空间直角坐标系，则，，设面平面的法向量为，平面的法向量为，则，，不妨设，则，，所以平面和平面的夹角的余弦值为.14．证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量判断位置关系【详解】因为，，平面ABCD，而AD､平面ABCD，所以，，因此以D为坐标原点，分别以､､的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.因为且，且，，所以，，，，，，，，.设为平面CDE的法向量，，，则，不妨令，可得；又，所以.又∵直线平面CDE，∴平面CDE；15．(1)证明见解析；(2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得线面垂直，进而可得线线垂直；（2）根据空间直角坐标系，利用法向量的夹角求二面角，确定点的位置即可求解.【详解】（1）因为平面平面，且交线为,又四边形为菱形，所以,故 平面 , 平面,故（2）因为， 是 的中点，所以 ,又平面平面，且交线为，所以平面，为PA与平面ABCD所成角，故，由于四边形为边长为，的菱形，所以 因为 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系； , ,设 ,其中 ，所以 , , ,设平面的法向量为 ，则： ，取 则；设平面的法向量为 ，则： ，取 则，故 ，整理得： ；解得 或者 （舍去）故存在，且满足，即点 是 的三等分点，且靠近 端，故 .16．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先利用勾股定理逆定理证得，进而结合长方体的性质，利用线面垂直的判定定理证得平面；（2）以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得二面角的两个半平面所在平面的法向量的坐标，求得法向量所成角的余弦值，根据二面角的平面角为钝角，得到二面角的大小.【详解】（1）证明：在长方形中，E是中点，，所以，在长方体中，平面，且平面，所以，又，所以平面；（2）如图，以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设是平面BCE的一个法向量，则，所以，令得，，即，同理可得平面的一个法向量，所以，又因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的平面角为．【点睛】本题考查线面垂直的证明，利用空间向量求二面角问题，属基础题.第一问的证明中,要注意线面垂直的判定定理的条件要摆全；第二问中，建立空间坐标系要注意建立右手直角坐标系，求法向量的坐标要注意运算的准确性，从法向量的余弦值到二面角的大小要注意二面角是钝角还是锐角.