高中数学新教材必修第二册课件PPT 第8章 习题课　与球有关的内切、外接问题

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高中数学新教材同步课件必修第二册 高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。习题课　与球有关的内切、外接问题第八章　 立体几何初步1.掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.2.会求特殊几何体的内切球的相关问题.学习目标与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系.导语随堂演练课时对点练一、直接法二、构造法三、寻求轴截面圆半径法内容索引四、确定球心位置法一、直接法例1　一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3，则这个球的体积为_____.解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为h，反思感悟　本题运用公式R2＝r2＋d2，求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式.跟踪训练1　一个正方体的棱长为a，则该正方体的外接球半径为______，内切球半径为___.解析　设该正方体的外接球半径为R，内切球半径为r，正方体的体对角线长即为外接球直径，棱长即为内切球的直径，二、构造法解析　因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体，则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R.反思感悟　一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R＝解析　根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，6π设其外接球的半径为R，故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.三、寻求轴截面圆半径法解析　如图，设正四棱锥的底面中心为O1，∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O，∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.得SA2＋SC2＝AC2.∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形.反思感悟　根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.跟踪训练3　在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.解　作正方体对角面的截面，如图所示，在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，四、确定球心位置法解析　如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上，O′为外接球球心，又OO′2＋OD2＝O′D2，反思感悟　找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点.16π解析　取PC的中点O，∵△PAC为直角三角形且∠PAC＝90°，即OA＝OB＝OP＝OC，即点O到点P，A，B，C四点的距离相等，∴O为外接球的球心，∴S球＝4πR2＝16π.1.知识清单：(1)掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.(2)会求特殊几何体的内切球的相关问题.2.方法归纳：构造空间几何体法、截面圆法、定义法.3.常见误区：球心位置的确定、空间几何体的构造.课堂小结随堂演练1.体积为a3的正方体外接球的表面积为A.πa2 B.2πa2C.3πa2 D.4πa2√1234解析　由题可知，正方体的体积为a3，所以正方体的棱长为a，所以该正方体的外接球的表面积为S＝4πr2＝3πa2.2.一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2,2,3，则其外接球的表面积为A.68π B.17π C.28π D.7π√1234解析　长方体的外接球直径即为长方体的体对角线，A.6π B.12πC.8π D.16π√1234设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π.4.直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长为2，则这个三棱柱的外接球的体积为1234√解析　设三棱柱外接球的球心为O，球半径为r，三棱柱的底面△ABC的中心为D，如图，则OA＝r，因为三棱柱的高为2，∴OD＝1，又在正△ABC中，AB＝3，1234课时对点练1.已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积的数量之比为√基础巩固12345678910111213141516√解析　由题意，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体，如图所示，则该长方体的体对角线为12345678910111213141516设长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，R＝2，√解析　三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，123456789101112131415164.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝6，则其外接球的体积为√解析　由正三棱柱的底面边长AB＝6，设底面外接圆的半径为r，12345678910111213141516又正三棱柱的高AA1＝6，则球心到底面的距离为d＝3，根据球心距、底面外接圆半径与球半径的关系得，R2＝r2＋d2＝12＋9＝21，即R＝5.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60°，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的√1234567891011121314151612345678910111213141516所以圆锥的侧面积为πlr＝2πr2，√123456789101112131415167.棱长为1的正方体的内切球的半径是_____，该正方体的外接球的表面积是____.3π12345678910111213141516解析　正方体的内切球的直径为正方体的棱长，8.已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为_____.20π12345678910111213141516解析　设球的半径为r，由题意得r2＝12＋22＝5，∴S球＝4π·5＝20π.9.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是棱AA1，CC1的中点.(1)求正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球的体积与外接球的体积之比；12345678910111213141516解　正方体内切球的半径为棱长的一半，(2)求四棱锥A－MB1ND的体积.1234567891011121314151610.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现.(1)求圆柱的体积与球的体积之比；12345678910111213141516解　设圆柱的高为h，底面半径为r，球的半径为R，由已知得h＝2R，r＝R，解　∵S圆柱＝S侧＋2S圆＝2πrh＋2πr2＝6πr2，(2)求圆柱的表面积与球的表面积之比.1234567891011121314151611.(多选)正四棱锥P－ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P－ABCD的体积为√12345678910111213141516综合运用√解析　因为正四棱锥P－ABCD的底面积为3，因为外接球的表面积为8π，①当球心在线段PO上时，12345678910111213141516②当球心在线段PO的延长线上时，12345678910111213141516A.2π B.4π C.6π D.8π√解析　如图所示，该四面体的顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a，b，c，12345678910111213141516所以该四面体的外接球的直径为长方体的体对角线长，故外接球的表面积为4πR2＝6π.13.若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球的表面积的比值为√12345678910111213141516解析　设球的半径为r，则圆锥的高为3r，设圆锥的底面圆的半径为R，取圆锥的轴截面如图所示，12345678910111213141516解析　取△ABC的中心为E，连接SE，记球心为O.如图，1234567891011121314151664π∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长R，∴OB＝R，OE＝6－R.在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π.拓广探究12345678910111213141516解析　由题意，折叠后的四面体A－EFG如图所示，设正方形边长为a，四面体A－EFG外接球的半径为r，12345678910111213141516易知折叠后的四面体A－EFG中，GA，GE，GF两两垂直，所以四面体A－EFG的外接球半径(1)求AB的长度；12345678910111213141516如图乙的最短路程为12345678910111213141516∵x>1，∴x2＋2x＋2>x2＋2＋2＝x2＋4，即AB的长度为2.(2)求该长方体外接球的表面积.12345678910111213141516解　设长方体外接球的半径为R，则(2R)2＝12＋12＋22＝6，即该长方体外接球的表面积为6π.