初中数学人教版七年级下册8.4 三元一次方程组的解法精练

这是一份初中数学人教版七年级下册8.4 三元一次方程组的解法精练，共42页。试卷主要包含了4 三元一次方程组，5z，，2y=0，5b=−37等内容，欢迎下载使用。

七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
8.4 三元一次方程组

题型一 三元一次方程组的识别

【例题1】下列方程组不是三元一次方程组的是（　　）
A．x+y=12y+z=−23y=6 B．x2−4=0y+1=xxy−z=−3
C．x=22y=−3x−z=1 D．y−x=−1x+z=32y−z=0

【变式1-1】下列方程组是三元一次方程组的是（　　）
A．3x+5y+z=−8x+y+m=3x−2y+z=21 B．x=5y=2z=3
C．x+y=3y+z=−1z+w=8 D．a+b=92d−ab=2a−b+d=0

【变式1-2】下列方程组中，不是三元一次方程组的是（　　）
A．x=3y=6x+y+z=0 B．x+y=3x+z=0y+z=1
C．3x+2y+z=184x−y+z=6x+y+2z=4 D．2xx+z=184xyz=6x−y−2z=4

【变式1-3】下列方程组中，是三元一次方程组的是（　 　）
A．x+z=2xy+x=4z−x=1 B．x−3y=4x+z=6y−2z=7 C．x=9x−y=4z−y=5 D．x+y=8y−m=3z−x=5

题型二 解三元一次方程组


【例题2】（2021春•普陀区期末）解方程组：x−2y=−12x+y+z=5x−3y−z=0．


【变式2-1】（2022春•南关区校级月考）解三元一次方程组x+y+z=3①3x+2y+z=10②2x−y+z=−1③，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　）
A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+②
C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③
【变式2-2】（2021春•安居区期中）解方程组3x−y+z=4①2x+3y−z=12②x+y−2z=3③，以下解法不正确的是（　　）
A．由①，②消去z，再由①，③消去z
B．由①，③消去z，再由②，③消去z
C．由①，③消去y，再由①，②消去y
D．由①，②消去z，再由①，③消去y
【变式2-3】解三元一次方程组x−y+z=−3，①x+2y−z=1，②x+y=0，③要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　）
A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③
【变式2-4】（2022春•青龙县期末）三元一次方程组x−y=1y−z=1x+z=6的解是（　　）
A．x=2y=3z=4 B．x=2y=4z=3 C．x=3y=2z=4 D．x=4y=3z=2

【变式2-5】（2022春•海口期中）已知x+y＝1，y+z＝5，x+z＝6，则xyz等于（　　）
A．0 B．7 C．8 D．9
【变式2-6】（2022春•绍兴期末）若关于x、y的二元一次方程组ax−by=−2cx+dy=4的解为x=3y=2，则方程组ax−by+2a+b=−2cx+dy−d=4−2c的解为（　　）
A．x=1y=2 B．x=1y=3 C．x=2y=2 D．x=2y=3



【变式2-7】解下列三元一次方程组：
（1）x+y=7，2y+z=6，x−z=7； （2）2x+2y+z=4，2x+y+2z=7，x+2y+2z=−6．





【变式2-8】解下列三元一次方程组：
（1）x−4y+z=−32x+y−z=18， x−y−z=7； （2）x+z−3=0，2x−y+2z=2，x−y−z=−3．





【变式2-9】解下列三元一次方程组：
（1）3x−y+2z=32x+y−3z=11x+y+z=12； （2）x：y=3：2y：z=2：1x+y+z=60


题型三 三元一次方程组---求解字母系数问题

【例题3】（2022春•荷塘区校级期中）已知代数式ax2+bx+c，当x＝﹣1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为（　　）
A．4 B．8 C．62 D．52
【变式3-1】（2022春•如东县期中）三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的值是（　　）
A．3 B．−163 C．﹣2 D．4

【变式3-2】（2022春•娄底期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝12，则a+b+c＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式3-3】（2022春•荣县校级期中）对于实数x，y定义新运算：x⊗y＝ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3⊗5＝15，4⊗7＝28，则2⊗3的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式3-4】（2022•南京模拟）若方程组x−by+4z=1x−2by+3z=3的解是x=ay=1z=c，则a+b+6c的值是（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．6


【变式3-5】已知方程组x+y=3ay+z=5az+x=4a的解使式子x﹣2y+3z的值等于﹣10，求a的值．





【变式3-6】（2021春•崇川区校级月考）已知y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝8；当x＝0时，y＝2；当x＝﹣2时，y＝4．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＝﹣3时，求y的值．






题型四 三元一次方程组---求比值问题


【例题4】（2022春•荣县校级期中）若x=3yy+4z=0（y≠0），则xz=（　　）
A．65 B．−112 C．﹣12 D．112

【变式4-1】（2022春•巴东县期末）已知x=3yy+4z=0，且y≠0，则xz的值为（　　）
A．34 B．−34 C．﹣12 D．12

【变式4-2】（2021春•蓬溪县期中）已知3x+5y+3z=03x−5y−8z=0（z≠0），则x：y：z＝　 　．

【变式4-3】设x2=y3=z4，则x−2y+3zx+y+z的值为（　　）
A．27 B．23 C．89 D．57

【变式4-4】（2022秋•海淀区校级期末）已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则2x+y+z2x−y+z=　 　．

【变式4-5】已知x、y、z都不为零，且4x−3y−3z=02x−3y+z=0，求式子x−3y+4z6y+z的值．




题型五 三元一次方程组与非负数的结合

【例题5】若|x﹣3y+5|+（3x+y﹣5）2+x+y−3z=0，求x+y+z的值．


【变式5-1】已知x，y，z满足|x﹣2﹣z|+（3x﹣6y﹣7）2+|3y+3z﹣4|＝0．求x，y，z的值．





【变式5-2】已知|x﹣8y|+2（4y﹣1）2+3|8z﹣3x|＝0，求x+y+z的值．





【变式5-3】已知（a﹣2b﹣4）2+（2b+c）2+|a﹣4b+c|＝0，求3a+b﹣c的值．








【变式5-4】已知|a﹣c﹣2|+a−9b+（3b+3c﹣4）2＝0，求a2016b2015c2017﹣a的值．





【变式5-5】若x，y，z满足关系式|4x﹣4y+1|+152y+z+（z−12）2＝0，求x2（y﹣z）的值．





【变式5-6】已知x，y，z满足|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，求xyz的值．







题型六 列三元一次方程组解实际问题

【例题6】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍，百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数．



【变式6-1】（2022春•宜阳县期中）已知某个三角形的周长为18cm，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的13，求这个三角形三边的长度．





【变式6-2】（2021春•西湖区校级期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（　　）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6







【变式6-3】某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？





【变式6-4】甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53.4min，从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？





【变式6-5】（2022•南京模拟）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元．现在购买甲、乙、丙各1件，共需（　　）
A．105元 B．210元 C．170元 D．不能确定




【变式6-6】小红在学校商店买了3支钢笔，1本练习本，2支中性笔共花13元，小颖买了2支钢笔，4本练习本，3支中性笔共花17元，小明打算在该商店买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔寄给四川地震灾区的小朋友，他只有120元的压岁钱，请你帮他算一下，他的钱够吗？









题型七 求三元一次方程组特殊解问题

【例题7】（2022春•嘉鱼县期末）现有1元，5元，10元纸币各10张混在一起，从中任意抽取21张纸币合计100元，则抽取的纸币中10元纸币有（　　）张
A．7 B．6 C．5 D．3





【变式7-1】（2022秋•朝阳区期末）某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：
盒子型号
A
B
C
盒子容量/升
2
3
4
盒子单价/元
5
6
9
其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为 　 　元；
（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为 　 　.（写出一种即可）






【变式7-2】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案；
（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同的电视机50台，请你设计进货方案．






【变式7-3】（2022春•内江期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．


七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
8.4 三元一次方程组答案

题型一 三元一次方程组的识别

【例题1】下列方程组不是三元一次方程组的是（　　）
A．x+y=12y+z=−23y=6 B．x2−4=0y+1=xxy−z=−3
C．x=22y=−3x−z=1 D．y−x=−1x+z=32y−z=0
【分析】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．
【解答】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；
B、x2﹣4＝0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；
C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；
D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；
故选：B．
【点评】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程（有时会有特例，但是所有的三元一次方程组都有3个未知数），叫做三元一次方程组，二元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d＝0其中a、b、c不为零．

【变式1-1】下列方程组是三元一次方程组的是（　　）
A．3x+5y+z=−8x+y+m=3x−2y+z=21 B．x=5y=2z=3
C．x+y=3y+z=−1z+w=8 D．a+b=92d−ab=2a−b+d=0
【分析】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．
【解答】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．
A、含有四个未知数，不满足三元一次方程组的定义，错误；
B、满足三元一次方程组的定义，故选项正确；
C、含有四个未知数，不满足三元一次方程组的定义，错误；
D、ab，未知数的次数为2次，∴不是三元一次方程，故D选项错误；
故选：B．
【点评】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程（有时会有特例，但是所有的三元一次方程组都有3个未知数），叫做三元一次方程组，二元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d＝0其中a、b、c不为零．

【变式1-2】下列方程组中，不是三元一次方程组的是（　　）
A．x=3y=6x+y+z=0 B．x+y=3x+z=0y+z=1
C．3x+2y+z=184x−y+z=6x+y+2z=4 D．2xx+z=184xyz=6x−y−2z=4
【分析】根据三元一次方程组的定义判断求解．
【解答】解：A：含有三个未知数x，y，z，且最高次数是1，都是整式方程，所以A是三元一次方程组；
B：含有三个未知数x，y，z，且最高次数是1，都是整式方程，所以B是三元一次方程组；
C：含有三个未知数x，y，z，且最高次数是1，都是整式方程，所以C是三元一次方程组；
D：含有三个未知数x，y，z，但是4xyz的次数是3，所以D不是三元一次方程组；
故选：D．
【点评】本题考查了三元一次方程组的定义，理解三元一次方程的定义是解题的关键．
【变式1-3】下列方程组中，是三元一次方程组的是（　 　）
A．x+z=2xy+x=4z−x=1 B．x−3y=4x+z=6y−2z=7 C．x=9x−y=4z−y=5 D．x+y=8y−m=3z−x=5
【答案】C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
【解答】解：A选项：方程的次数为2，错误；
B选项：有分式方程，错误；
C选项，有三个未知数，每个方程的次数是1，均为整式方程，正确；
D选项，有4个未知数，错误；
故选：C．
【点评】本题考查了三元一次方程组的定义，理解三元一次方程的定义是解题的关键．




题型二 解三元一次方程组


【例题2】（2021春•普陀区期末）解方程组：x−2y=−12x+y+z=5x−3y−z=0．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：x−2y=−1①2x+y+z=5②x−3y−z=0③，
②+③得：3x﹣2y＝5④，
由④和①组成一个二次一次方程组x−2y=−13x−2y=5，
解得：x=3y=2，
把x=3y=2代入③3﹣6﹣z＝0，
解得：z＝﹣3，
所以原方程组的解是：x=3y=2z=−3．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

【变式2-1】（2022春•南关区校级月考）解三元一次方程组x+y+z=3①3x+2y+z=10②2x−y+z=−1③，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　）
A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+②
C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③
【分析】观察z的系数，利用加减消元法消去z即可．
【解答】解：解三元一次方程组x+y+z=3①3x+2y+z=10②2x−y+z=−1③，如果消掉未知数z，
则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③．
故选：C．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式2-2】（2021春•安居区期中）解方程组3x−y+z=4①2x+3y−z=12②x+y−2z=3③，以下解法不正确的是（　　）
A．由①，②消去z，再由①，③消去z
B．由①，③消去z，再由②，③消去z
C．由①，③消去y，再由①，②消去y
D．由①，②消去z，再由①，③消去y
【分析】根据解三元一次方程组的思路，把三元转化为二元，即可解答．
【解答】解：解方程组3x−y+z=4①2x+3y−z=12②x+y−2z=3③，
利用加减法消去一个未知数，组成二元一次方程组，
故以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y．
故选：D．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式2-3】解三元一次方程组x−y+z=−3，①x+2y−z=1，②x+y=0，③要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　）
A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③
【分析】观察发现：第三个方程不含z，故前两个方程相加消去z，可将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解．
【解答】解：解三元一次方程组x−y+z=−3①x+2y−z=1②x+y=0③要使解法较为简便，首先应进行的变形为①+②．
故选：A．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

【变式2-4】（2022春•青龙县期末）三元一次方程组x−y=1y−z=1x+z=6的解是（　　）
A．x=2y=3z=4 B．x=2y=4z=3 C．x=3y=2z=4 D．x=4y=3z=2
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：x−y=1①y−z=1②x+z=6③，
②+③得：x+y＝7④，
①+④得：2x＝8，即x＝4，
把x＝4代入①得：y＝3，
把x＝4代入③得：z＝2，
则方程组的解为x=4y=3z=2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，解三元一次方程组的基本方法是利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到二元一次方程组，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值，再求出第三个未知数的值．

【变式2-5】（2022春•海口期中）已知x+y＝1，y+z＝5，x+z＝6，则xyz等于（　　）
A．0 B．7 C．8 D．9
【分析】①+②+③得出2x+2y+2z＝12，求出x+y+z＝6④，④﹣①求出z，④﹣②求出x，④﹣③求出y，再求出答案即可．
【解答】解：由题意得：x+y=1①y+z=5②x+z=6③，
①+②+③，得2x+2y+2z＝12，
x+y+z＝6④，
④﹣①，得z＝5，
④﹣②，得x＝1，
④﹣③，得y＝0，
所以xyz＝1×0×5＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组或一元一次方程是解此题的关键．
【变式2-6】（2022春•绍兴期末）若关于x、y的二元一次方程组ax−by=−2cx+dy=4的解为x=3y=2，则方程组ax−by+2a+b=−2cx+dy−d=4−2c的解为（　　）
A．x=1y=2 B．x=1y=3 C．x=2y=2 D．x=2y=3
【分析】先将所求的方程组化简为a(x+2)−b(y−1)=2c(x+2)+d(y−1)=4，再结合已知方程组的解可得x+2=3y−1=2，求解即可．
【解答】解：化简方程组ax−by+2a+b=−2cx+dy−d=4−2c为方程组a(x+2)−b(y−1)=2c(x+2)+d(y−1)=4，
∵二元一次方程组ax−by=−2cx+dy=4的解为x=3y=2，
∴x+2=3y−1=2，
解得x=1y=3，
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，利用整体思想解题是关键．

【变式2-7】解下列三元一次方程组：
（1）x+y=7，2y+z=6，x−z=7； （2）2x+2y+z=4，2x+y+2z=7，x+2y+2z=−6．
【分析】各方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）x+y=7①2y+z=6②x−z=7③，
②+③得：x+2y＝13④，
④﹣①得：y＝6，
把y＝6代入④得：x＝1，
把x＝1代入③得：z＝﹣6，
则方程组的解为x=1y=6z=−6；
（2）2x+2y+z=4①2x+y+2z=7②x+2y+2z=−6③，
②﹣③得：x﹣y＝13④，
①×2﹣②得：2x+3y＝1⑤，
③×3+④得：5x＝40，
解得：x＝8，
把x＝8代入④得：y＝﹣5，
把x＝8，y＝﹣5代入①得：z＝﹣2，
则方程组的解为x=8y=−5z=−2．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

【变式2-8】解下列三元一次方程组：
（1）x−4y+z=−32x+y−z=18， x−y−z=7； （2）x+z−3=0，2x−y+2z=2，x−y−z=−3．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）x−4y+z=−3①2x+y−z=18②x−y−z=7③，
①+②得：3x﹣3y＝15，即x﹣y＝5④，
①+③得：2x﹣5y＝4⑤，
④×5﹣⑤得：3x＝21，
解得：x＝7，
把x＝7代入④得：7﹣y＝5，
解得：y＝2，
把x＝7，y＝2代入③得：7﹣2﹣z＝7，
解得：z＝﹣2，
则方程组的解为x=7y=2z=−2；
（2）x+z−3=0①2x−y+2z=2②x−y−z=−3③，
②﹣③得：x+3z＝5④，
④﹣①得：2z＝2，
解得：z＝1，
把z＝1代入①得：x+1﹣3＝0，
解得：x＝2，
把x＝2，z＝1代入③得：2﹣y﹣1＝﹣3，
解得：y＝4，
则方程组的解为x=2y=4z=1．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，以及解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式2-9】解下列三元一次方程组：
（1）3x−y+2z=32x+y−3z=11x+y+z=12； （2）x：y=3：2y：z=2：1x+y+z=60
【分析】（1）由①+②和①+③分别消去y，再解关于x和z的二元一次方程组，再将解得的x和z值代入③，解出y即可；
（2）先将①和②分别用y表示出x和z，再代入③即可解出y，进而求出x和z即可．
【解答】解：（1）3x−y+2z=3①2x+y−3z=11②x+y+z=12③
①+②得5x﹣z＝14 ④
①+③得4x+3z＝15 ⑤
④×3+⑤得19x＝57
∴x＝3 ⑥
将⑥代入④得15﹣z＝14
∴z＝1 ⑦
将⑥⑦代入③得y＝8
∴原方程组的解为：x=3y=8z=1．
（2）x：y=3：2①y：z=2：1②x+y+z=60③
由①得x=32y④
由②得z=y2⑤
将④⑤代入③得32y+y+y2=60
∴y＝20 ⑥
将⑥分别代入④⑤得x＝30，z＝10
∴原方程组的解为：x=30y=20z=10．
【点评】本题是三元一次方程组的求解问题，分别可以用加减消元法和代入消元法化简成二元一次方程组，进而得解．


题型三 三元一次方程组---求解字母系数问题

【例题3】（2022春•荷塘区校级期中）已知代数式ax2+bx+c，当x＝﹣1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为（　　）
A．4 B．8 C．62 D．52
【分析】根据已知条件可知a+b+c=8②a−b+c=4①4a+2b+c=25③，由此解方程组求出a、b、c的值即可得到答案．
【解答】解：由题意得知a+b+c=8②a−b+c=4①4a+2b+c=25③，
用①+②得：a+c＝6④，
用①×2+③得：2a+c＝11⑤，
用⑤﹣④得：a＝5，
把a＝5代入④得：5+c＝6，
解得c＝1，
把a＝5，c＝1代入①得：5﹣b+1＝4，
解得b＝2，
∴ax2+bx+c＝5x2+2x+1，
∴当x＝3时，ax2+bx+c＝5×32+2×3+1＝45+6+1＝52．
故选：D．
【点评】本题主要考查了代数式求值，解三元一次方程，正确建立三元一次方程组求出a、b、c的值是解题的关键．
【变式3-1】（2022春•如东县期中）三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的值是（　　）
A．3 B．−163 C．﹣2 D．4
【分析】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1组成方程组，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k值．
【解答】解：3x−y=7①2x+3y=1②，
把①式两边乘3，得9x﹣3y＝21③，
②+①得11x＝22，得x＝2，
把x＝2代入①得6﹣y＝7，
解得y＝﹣1，
将x=2y=−1代入y＝kx﹣9得2k﹣9＝﹣1，
解得k＝4．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．

【变式3-2】（2022春•娄底期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝12，则a+b+c＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】先把x＝0时，y＝2；x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2+bx+c，得到一个三元一次方程组解这个方程组即可求出a，b，c的值，进而求得结果．
【解答】解：把x＝0时，y＝2；x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2+bx+c，得
2=c0=a−b+c12=4a+2b+c，
解得，a=1b=3c=2，
∴a+b+c＝1+3+2＝6，
故选：C．
【点评】此题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组解的步骤是本题的关键，把三元一次方程组通过消元转化成二元一次方程组再进行求解．
【变式3-3】（2022春•荣县校级期中）对于实数x，y定义新运算：x⊗y＝ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3⊗5＝15，4⊗7＝28，则2⊗3的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据所给的条件，可得到3a+5b+c＝15，4a+7b+c＝28，从而可求得a+2b＝13，7a+12b+2c＝43，整理可求得b﹣c＝24，从而可求解．
【解答】解：∵3⊗5＝15，4⊗7＝28，
∴3a+5b+c＝15①，4a+7b+c＝28②，
②﹣①得：a+2b＝13，
①+②得：7a+12b+2c＝43，
则7（a+2b）﹣2（b﹣c）＝43，
整理得：b﹣c＝24，
∴2⊗3
＝2a+3b+c
＝2（a+2b）﹣（b﹣c）
＝2×13﹣24
＝26﹣24
＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查解三元一次方程组，整体思想，解答的关键是由所给的条件得出：a+2b＝13，b﹣c＝24．
【变式3-4】（2022•南京模拟）若方程组x−by+4z=1x−2by+3z=3的解是x=ay=1z=c，则a+b+6c的值是（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
【分析】先把x=ay=1z=c代入原方程组，可得a−b+4c①a−2b+3c②，由①﹣②可得b＝﹣2﹣c，再把b＝﹣2﹣c代入①，可得a+5c＝﹣1，然后代入，即可求解．
【解答】解：∵方程组x−by+4z=1x−2by+3z=3的解是x=ay=1z=c，
∴a−b+4c=1①a−2b+3c=3②，
由①﹣②得：b+c＝﹣2，
∴b＝﹣2﹣c，
把b＝﹣2﹣c代入①，得：a﹣（﹣2﹣c）+4c＝1，
∴a+5c＝﹣1，
∴a+b+6c＝a+5c+b+c＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值是解题的关键．
【变式3-5】已知方程组x+y=3ay+z=5az+x=4a的解使式子x﹣2y+3z的值等于﹣10，求a的值．
【分析】把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入x﹣2y+3z＝﹣10中计算即可求出a的值．
【解答】解：x+y=3a①y+z=5a②z+x=4a③，
①+②+③得：x+y+z＝6a，
解得：z＝3a，x＝a，y＝2a，
代入x﹣2y+3z＝﹣10得：a﹣4a+9a＝﹣10，
解得：a=−53．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．



【变式3-6】（2021春•崇川区校级月考）已知y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝8；当x＝0时，y＝2；当x＝﹣2时，y＝4．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＝﹣3时，求y的值．
【分析】（1）把x、y的值分别代入y＝ax2+bx+c，得出关于a、b、c的方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出y=73x2+113x+2，再把x＝﹣3代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：a+b+c=8①c=2②4a−2b+c=4③，
把②代入①，得a+b+2＝8④，
把②代入③，得4a﹣2b+2＝4⑤，
由④和⑤组成方程组a+b+2=84a−2b+2=4，
解得：a=73，b=113，
所以a=73，b=113，c＝2；
（2）由（1）得：y=73x2+113x+2，
当x＝﹣3时，y=73×（﹣3）2+113×（﹣3）+2＝12．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．

题型四 三元一次方程组---求比值问题


【例题4】（2022春•荣县校级期中）若x=3yy+4z=0（y≠0），则xz=（　　）
A．65 B．−112 C．﹣12 D．112
【分析】先观察所给方程组与所求代数式的特点可发现，所求代数式中不含未知数y，故可用代入法把y消去，直接求出x、z的比值．
【解答】解：①可变形为y=x3⋯③，
把③代入②得，x3+4z＝0，
去分母、移项得，x＝﹣12z，
两边同除以12得xz=−12．
故选：C．
【点评】本题考查三元一次方程组，解答此题的关键是注意观察方程组中的方程与所求代数式之间的关系，消去所求代数式中不含有的未知数，利用等式的性质直接求出x、z的比值．
【变式4-1】（2022春•巴东县期末）已知x=3yy+4z=0，且y≠0，则xz的值为（　　）
A．34 B．−34 C．﹣12 D．12
【分析】由②得出y＝﹣4z③，把③代入①得出x＝3×（﹣4z），求出x＝﹣12z，再等式两边都除以z即可．
【解答】解：x=3y①y+4z=0②，
由②，得y＝﹣4z③，
把③代入①，得x＝3×（﹣4z），
即x＝﹣12z，
等式两边都除以z得：xz=−12，
故选：C．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，能求出y＝﹣4z是解此题的关键．


【变式4-2】（2021春•蓬溪县期中）已知3x+5y+3z=03x−5y−8z=0（z≠0），则x：y：z＝　 　．
【分析】把z看作已知数表示出x与y，即可求出所求．
【解答】解：方程组整理得：3x+5y=−3z①3x−5y=8z②，
①+②得：6x＝5z，
解得：x=56z，
①﹣②得：10y＝﹣11z，
解得：y=−1110z，
则x：y：z=56z：（−1110z）：z＝25：（﹣33）：30．
故答案为：25：（﹣33）：30．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

【变式4-3】设x2=y3=z4，则x−2y+3zx+y+z的值为（　　）
A．27 B．23 C．89 D．57
【分析】设已知等式等于k，表示出x，y，z，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：设x2=y3=z4=k，得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，
则原式=2k−6k+12k2k+3k+4k=89．
故选：C．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-4】（2022秋•海淀区校级期末）已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则2x+y+z2x−y+z=　 　．
【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知数 系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．
【解答】解：x+y+7z＝0①，
x﹣y﹣3z＝0②，
①﹣②，得4y+10z＝0，即y＝﹣2.5z，
①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，
∴2x+y+z2x−y+z=−4z−2.5z+z−4z+2.5z+z=−5.5z−0.5z=11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，正确用z的代数式表示出x、y是解答本题的关键．

【变式4-5】已知x、y、z都不为零，且4x−3y−3z=02x−3y+z=0，求式子x−3y+4z6y+z的值．
【分析】先通过消元用z表示出x，y的值，再把x，y的代入要求的式子，最后进行约分即可．
【解答】解：4x−3y−3z=0①2x−3y+z=0②，
①﹣②得：2x＝4z，
解得：x＝2z，
把x＝2z代入②得：y=53z，
把x＝2z，y=53z代入x−3y+4z6y+z得：
2z−5z+4z10z+z=111．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，关键是通过消元用z表示出x，y的值，再把x，y的代入要求的式子，用到的知识点是代入法和加减法．


题型五 三元一次方程组与非负数的结合

【例题5】若|x﹣3y+5|+（3x+y﹣5）2+x+y−3z=0，求x+y+z的值．
【分析】先根据非负数性质得出x、y、z的三元一次方程组，解之求得x、y、z的值，代入计算可得．
【解答】解：∵若|x﹣3y+5|+（3x+y﹣5）2+x+y−3z=0，
∴x−3y=−53x+y=5x+y=3z，
解得：x=1y=2z=1，
∴x+y+z=1+2+1=2．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握非负数的性质、解方程组的能力．

【变式5-1】已知x，y，z满足|x﹣2﹣z|+（3x﹣6y﹣7）2+|3y+3z﹣4|＝0．求x，y，z的值．
【分析】已知等式为三个非负数的和为0的形式，只有这几个非负数都为0，可组成方程组，求x、y、z的值．
【解答】解：根据非负数的性质，得x−2−z=03x−6y−7=03y+3z−4=0
①×3+③，得3x+3y﹣10＝0④
④﹣③，得y=13，
把y=13代入④得x＝3，
把x＝3代入①得z＝1．
∴原方程的解为x=3y=13z=1．
故x＝3，y=13，z＝1．
【点评】本题是方程组的运用，根据已知等式的特点，结合非负数的性质，组成方程组求解．
【变式5-2】已知|x﹣8y|+2（4y﹣1）2+3|8z﹣3x|＝0，求x+y+z的值．
【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可．
【解答】解：由题意得x−8y=04y−1=08z−3x=0，
解得x=2y=14z=34，
故x+y+z＝2+14+34=3．
【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
【变式5-3】已知（a﹣2b﹣4）2+（2b+c）2+|a﹣4b+c|＝0，求3a+b﹣c的值．
【分析】根据题意列出三元一次方程组，再根据解三元一次方程组的步骤求出a，b，c的值，再把它代入3a+b﹣c中，进行计算即可．
【解答】解：∵（a﹣2b﹣4）2+（2b+c）2+|a﹣4b+c|＝0，
∴a﹣2b﹣4＝0，2b+c＝0，a﹣4b+c＝0，
∴a−2b−4=02b+c=0a−4b+c=0，
解得：a=6b=1c=−2，
则3a+b﹣c＝3×6+1﹣（﹣2）＝21．
【点评】此题考查了解三元一次方程组和绝对值，偶次方，解题的关键是根据绝对值，偶次方列出三元一次方程组，求出a，b，c的值．

【变式5-4】已知|a﹣c﹣2|+a−9b+（3b+3c﹣4）2＝0，求a2016b2015c2017﹣a的值．
【分析】首先由非负数的性质得出三元一次方程组，进一步解方程组求得答案即可．
【解答】解：∵|a﹣c﹣2|+a−9b+（3b+3c﹣4）2＝0，
∴a−c−2=0a−9b=03b+3c−4=0，
解得：a=3b=13c=1，
∴a2016b2015c2017﹣a
＝32016×（13）2015×12017﹣3
＝3﹣3
＝0．
【点评】此题考查解三元一次方程组，非负数的性质，利用非负数的性质建立方程组是解决问题的关键．
【变式5-5】若x，y，z满足关系式|4x﹣4y+1|+152y+z+（z−12）2＝0，求x2（y﹣z）的值．
【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x，y，z的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵|4x﹣4y+1|+152y+z+（z−12）2＝0，
∴4x−4y+1=02y+z=0z−12=0，
解得：x=−12，y=−14，z=12，
则原式=14×（−14−12）=−316．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-6】已知x，y，z满足|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，求xyz的值．
【分析】利用非负数的性质，将所给的绝对值方程转化为三元一次方程组，解方程组即可解决问题．
【解答】解：∵|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，
∴|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|+（3y+2z﹣13）2＝0，
∵|x﹣z﹣2|≥0，|3x﹣3y﹣3|≥0，（3y+2z﹣13）2≥0，
∴x−z−2=0①3x−3y−3=0②3y+2z−13=0③，
由②÷3得：x﹣y﹣1＝0④，
由①﹣④得：y﹣z﹣1＝0⑤，
由③+2×⑤得：5y＝15，y＝3；
将y＝3代入④得：x＝4；
将y＝3代入⑤得：z＝2，
∴xyz＝24．
【点评】该题主要考查了非负数的应用、三元一次方程组的解法及其应用问题等重要代数知识点；对求解运算能力、整体代换思想等均提出了较高的要求．


题型六 列三元一次方程组解实际问题

【例题6】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍，百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数．
【分析】设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z，因为个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍可列x+z＝2y，因为百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和可列3z＝x+y，因为个位、十位、百位上的数字的和是12可列x+y+z＝12，再用消元法求出x，y，z即可．
【解答】解：设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z．
由题意可列：x+z=2y①3z=x+y②x+y+z=12③，
将②代入③得：4z＝12，
∴z＝3，
将z代入①，②得：x−2y=−3④x+y=9⑤，
⑤﹣④，得：3y＝12，
解得：y＝4，
将y＝4代入⑤，得：x＝5，
∴方程组的解为x=5y=4z=3，
答：这个数是543．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，分析题意列出方程组是解题的关键．
【变式6-1】（2022春•宜阳县期中）已知某个三角形的周长为18cm，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的13，求这个三角形三边的长度．
【分析】设这个三角形的三边长分别为a、b、c．根据题意列出方程组并解答．
【解答】解：设这个三角形的三边长分别为acm、bcm、ccm．
依题意得：a+b+c=18a+b=2ca−b=13c，
解得a=7b=5c=6．
答：这个三角形的三边长分别为7cm、5cm、6cm．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用．在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
【变式6-2】（2021春•西湖区校级期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（　　）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
【分析】根据“加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意得：a+1=7−a+2b+4=12b+3c+9=22，
解得：a=6b=7c=2．
故选：C．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．

【变式6-3】某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【分析】首先种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，根据题意可得等量关系：①三种农作物的投入资金＝67万元；②三种农作物所需要的人力＝300名职工；③三种农作物的公顷数＝51公顷，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，由题意得：
x+y+2z=674x+8y+5z=300x+y+z=51，
解得：x=15y=20z=16，
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷．
【点评】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，设出未知数，列出方程组．

【变式6-4】甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53.4min，从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？
【分析】设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根据全程3.3km，甲到乙要51分钟，乙到甲要53.4分钟．分别列出方程，组成方程组，再求解即可．
【解答】解：设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根据题意得：
x+y+z=3.3x3+y4+z5=5160z3+y4+x5=53.460，
解得x=1.2y=0.6z=1.5．
答：甲地到乙地，上坡路1.2千米、平路0.6千米、下坡路1.5千米．
【点评】此题考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．



【变式6-5】（2022•南京模拟）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元．现在购买甲、乙、丙各1件，共需（　　）
A．105元 B．210元 C．170元 D．不能确定
【分析】等量关系为：甲3件的总价+乙7件的总价+丙1件的总价＝315，4件的总价+乙10件的总价+丙1件的总价＝420，把相关数值代入，都整理为等式左边为x+y+z的等式，设法消去等号右边含未知数的项，可得甲、乙、丙各1件共需的费用．
【解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，则依题意
3x+7y+z=315①4x+10y+z=420②，
由①×3﹣②×2得，x+y+z＝105，
即现在购买甲、乙、丙各1件，共需105元．
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用；根据总价得到2个等量关系是解决本题的关键；难点是把2个等式整理为只含（x+y+z）的等式．
【变式6-6】小红在学校商店买了3支钢笔，1本练习本，2支中性笔共花13元，小颖买了2支钢笔，4本练习本，3支中性笔共花17元，小明打算在该商店买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔寄给四川地震灾区的小朋友，他只有120元的压岁钱，请你帮他算一下，他的钱够吗？
【分析】设钢笔每支a元，练习本b元，中性笔c元．利用题中已知条件列出方程组，3a+b+2c=13①2a+4b+3c=17②，由此可以求得（a+b+c）的值，所以通过比较20（a+b+c）与120的大小可以作出判断．
【解答】解：设钢笔每支a元，练习本b元，中性笔c元，则
3a+b+2c=13①2a+4b+3c=17②，
①+②得，5a+5b+5c＝30，
所以，20a+20b+20c＝4×30＝120（元），即120元的压岁钱够购买20支钢笔，20本练习本，20支中性．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用．解方程组时，根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．

题型七 求三元一次方程组特殊解问题

【例题7】（2022春•嘉鱼县期末）现有1元，5元，10元纸币各10张混在一起，从中任意抽取21张纸币合计100元，则抽取的纸币中10元纸币有（　　）张
A．7 B．6 C．5 D．3
【分析】根据题意列三元一次方程组，再分情况讨论出结果或把选项中的数值一一代入验证即可．
【解答】解：设1元、5元、10元的纸币分别为x张、y张、z张，根据题意得：
x+y+z=21①x+5y+10z=100②，
由①得：x＝21﹣y﹣z，
把x＝21﹣y﹣z代入②得：
21﹣y﹣z+5y+10z＝100，
得：9z+4y＝79，
∵x、y、z都是正整数，
∴把z＝7、6、5、3分别代入等式，
只有当z＝7时，y是正整数，
∴选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程组，做题关键是能根据题意列出方程组，解方程组，分情况讨论确定答案．

【变式7-1】（2022秋•朝阳区期末）某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：
盒子型号
A
B
C
盒子容量/升
2
3
4
盒子单价/元
5
6
9
其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为 　 　元；
（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为 　 　.（写出一种即可）
【分析】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意列出方程和不等式，然后求整数解即可．
【解答】解：（1）购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，
则购买费用为：2×5+3×6+4×9＝64（元），
故答案为：64；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，
根据题意得：2x+3y+4z＝28，
①当0≤x＜3时，5x+6y+9z≤58，
∵x，y，z都为正整数，
∴x＝2时，y＝8，z＝0（不符合题意舍去），
②当3≤x时，5x+6y+9z﹣4≤58，
∵x，y，z都为正整数，
∴x＝4时，y＝4，z＝2，
综合所述，购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为4，4，2．
故答案为：4，4，2．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，分别0≤x＜3和3≤x两种情况列出方程求出整数解是解题的关键．
【变式7-2】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案；
（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同的电视机50台，请你设计进货方案．
【分析】（1）本题的等量关系是：两种电视的台数和等于50台，买两种电视花去的费用等于9万元．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况进行讨论，求出正确的方案；
（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案；
（3）本题可先设两种电视的数量为未知数，然后根据三种电视的总量为50台，表示出另一种电视的数量，然后根据购进电视的费用总和为9万元，得出所设的两种电视的二元一次方程组，然后根据自变量的取值范围，得出符合条件的方案．
【解答】解：（1）设购进甲种x台，乙种y台．
则有：x+y=501500x+2100y=90000，
解得x=25y=25；
设购进乙种a台，丙种b台．
则有：a+b=502100a+2500b=90000，
解得a=87.5b=−37.5；（不合题意，舍去此方案）
设购进甲种c台，丙种e台．
则有：c+e=501500c+2500e=90000，
解得：c=35e=15．
通过列方程组解得有以下两种方案成立：
①甲、乙两种型号的电视机各购25台．
②甲种型号的电视机购35台，丙种型号的电视机购15台；
（2）方案①获利为：25×150+25×200＝8750（元）；
方案②获利为：35×150+15×250＝9000（元）．
所以为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案；
（3）设购进甲种电视x台，乙种电视y台，则购进丙种电视的数量为：z＝（50﹣x﹣y）台．
1500x+2100y+2500（50﹣x﹣y）＝90000，
化简整理，得5x+2y＝175．
又因为0＜x、y、z＜50，且均为整数，
所以上述二元一次方程只有四组解：
x＝27，y＝20，z＝3；
x＝29，y＝15，z＝6；
x＝31，y＝10，z＝9；
x＝33，y＝5，z＝12．
因此，有四种进货方案：
1、购进甲种电视27台，乙种电视20台，丙种电视3台，
2、购进甲种电视29台，乙种电视15台，丙种电视6台，
3、购进甲种电视31台，乙种电视10台，丙种电视9台，
4、购进甲种电视33台，乙种电视5台，丙种电视12台．
【点评】本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．要注意本题中自变量的取值范围．

【变式7-3】（2022春•内江期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；
（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案．
（3）根据两种方案得出运费解答即可．
【解答】解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：5x+8y=120400x+500y=8200解得x=8y=10
答：需甲车型8辆，需车型10辆；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：x+y+z=165x+8y+10z=120
消去z得5x+2y＝40，x=8−25y，
因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5，10，15，
由z是正整数，解得x=6y=5z=5，x=4y=10z=2，
有两种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）两种方案的运费分别是：
①400×6+500×5+600×5＝7900；
②400×4+500×10+600×2＝7800．
答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元．
【点评】本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握