2023版考前三个月冲刺专题练　第34练　客观题的解法

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第34练　客观题的解法


1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b
答案　D
解析　由题意得|a|＝|b|＝1，
设a，b的夹角为θ＝60°，
故a·b＝|a||b|cos θ＝.
A项，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0；
B项，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0；
C项，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0；
D项，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0.
2．(2014·全国Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)
A．p是q的充要条件
B．p是q的充分不必要条件
C．p是q的必要不充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
答案　C
解析　当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，
比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，
但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，
因而x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的定义知，若函数f(x)在x＝x0处导数存在，
则x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.
综上知，p是q的必要不充分条件．
3．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间上的图象大致为(　　)


答案　A
解析　令f(x)＝(3x－3－x)cos x，x∈，
则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)
＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除B，D；
又当x∈时，3x－3－x>0，cos x>0，
所以f(x)>0，排除C.
4．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
答案　C
解析　由双曲线性质知A，B项双曲线焦点在x轴上，不符合题意；C，D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合．
5．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案　B
解析　方法一　因为f(x)＝，
所以f(x－1)＝＝，
f(x＋1)＝＝.
对于A，令F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，
则F(x)的定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，令G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，
则G(x)定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，是奇函数；
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称．
方法二　f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
6．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　B
解析　当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．
7．(2022·浙江)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.
答案　8　－2
解析　含x2的项为x·C·x·(－1)3＋2·C·x2·(－1)2＝－4x2＋12x2＝8x2，
故a2＝8；
令x＝0，即2＝a0，
令x＝1，即0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.
8．(2017·北京)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
答案　6　12
解析　①若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，
所以女学生人数的最大值为7－1＝6.
②设男学生人数为x(x∈N*)，要求该小组人数的最小值，
则女学生人数为x－1，教师人数为x－2.
又2(x－2)>x，解得x>4，即x＝5，
该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12.

9．(2022·衡水模拟)已知实数x，y，z满足x>y，z>0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.－>0 B.－<0
C．x2z－y2z>0 D．xz>yz
答案　D
解析　令x＝2，y＝1，z＝1，则－＝－<0，即<，故A错误；
令x＝1，y＝－1，z＝1，则－＝2>0，即>，故B错误；
令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3<0，故C错误；
因为xz－yz＝(x－y)z，由x>y，z>0得xz－yz>0，即xz>yz，故D正确．
10．(2022·德州模拟)已知函数f(x)＝ln(＋x)－，则函数f(x)的大致图象为(　　)


答案　D
解析　由题可知，函数定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝ln(－x)＋
＝ln ＋
＝－，
所以f(－x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，排除A，C；
又x→0＋，f(x)→－∞，排除B.
11．若函数f(x)＝x＋asin x－sin 2x在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B.
C. D.
答案　C
解析　当a＝1时，f(x)＝x＋sin x－sin 2x，
则f′(x)＝1＋cos x－cos 2x，
当x＝π时，f′(π)＝－<0，不符合题意，排除选项A；
当a＝－1时，f(x)＝x－sin x－sin 2x，
则f′(x)＝1－cos x－cos 2x，
当x＝0时，f′(0)＝－<0，不符合题意，排除选项B，D.
12．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)等于(　　)
A．0 B．m C．2m D．4m
答案　B
解析　由f(－x)＝2－f(x)得f(－x)＋f(x)＝2，
不妨设f(x)＝x＋1，则f(x)的图象与函数y＝＝1＋的图象的交点为(1,2)，(－1,0)，
∴m＝2，∴x1＋y1＋x2＋y2＝2＝m.
13．(多选)已知f(x)＝－1，g(x)＝(m＋2)(x2＋1)2，若φ(x)＝exf(x)－有唯一的零点，则m的值可能为(　　)
A．2 B．3
C．－3 D．－4
答案　ACD
解析　∵φ(x)＝exf(x)－有唯一的零点，
∴2m(x2＋1)－ex－＝0只有一个实数根，
即(m＋2)2－2m·＋1＝0只有一个实数根．
令t＝，
则t′＝＝－≤0，
∴函数t＝在R上单调递减，
且当x→＋∞时，t→0，
∴函数t＝的大致图象如图所示，

∴只需关于t的方程(m＋2)t2－2mt＋1＝0(*)有且只有一个正实根．
A项，当m＝2时，方程(*)为4t2－4t＋1＝0，解得t＝，符合题意；
B项，当m＝3时，方程(*)为5t2－6t＋1＝0，解得t＝或t＝1，不符合题意；
C项，当m＝－3时，方程(*)为t2－6t－1＝0，得t＝3±，只有3＋>0，符合题意；
D项，当m＝－4时，方程(*)为2t2－8t－1＝0，得t＝，只有>0，符合题意．
14．已知点O为坐标原点，抛物线y2＝3x与过焦点的直线交于A，B两点，则·＝________.
答案　－
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>y2，
取x1＝x2＝，A在x轴上方，B在x轴下方，
由y2＝3x，得y1＝，y2＝－，
所以·＝·＝－＝－.
15．(2022·南京模拟)已知(2－x)4＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋a4(x＋1)4，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝________.
答案　256
解析　由(2－x)4＝[3－(x＋1)]4，
则展开式通项为Tk＋1＝C34－k[－(x＋1)]k＝(－1)k34－kC(x＋1)k，
所以a1，a3<0，a0，a2，a4>0，
则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝a0－a1＋a2－a3＋a4，
令x＝－2，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256.
16．现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8.甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列(当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧)．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是______．(填写字母)

答案　K
解析　由题意得E＝1，J＝2，L＝8，
假设H＝4，则F＝3，G＝4，此时白色的“4”在灰色的“4”的左边，不符合题意，所以假设不成立．
假设K＝4，则由题意得
白2，灰3，白7，灰8；灰1，白5，白6，灰7；
白1，灰2，灰4，白8；白3，白4，灰5，灰6.
故K＝4时，符合题意.

[考情分析]　高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．

一、特(例)值法
核心提炼
从题干(或选项)出发，通过选取符合条件的特殊情况(特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等)代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略．
练后反馈
题目
2
6
7
8
9
12
14
15
16
正误









错题整理：

二、排除法
核心提炼
排除法(淘汰法)是充分利用单项选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．
练后反馈
题目
3
4
10
11





正误









错题整理：

三、验证法
核心提炼
验证法从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，逐一检验选项得出答案．
练后反馈
题目
1
5
13






正误









错题整理：


1．[T3补偿](2022·合肥模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　)


答案　B
解析　由已知条件得，函数f(x)的定义域为
即(－∞，－e)∪(－e,0)∪(0，e)∪(e，＋∞)，
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，则A，C错误；
其中f(1)＝0，则x＝1为函数f(x)的一个零点，f(2)＝<0，则D不正确．
2．[T9补偿](2022·济宁模拟)已知非零实数m，n满足em>en，则下列关系式一定成立的是(　　)
A.<
B．ln(m2＋1)>ln(n2＋1)
C．m＋>n＋
D．m|m|>n|n|
答案　D
解析　因为em>en，所以m>n.
取m＝1，n＝－2，得>，故A不正确；
取m＝1，n＝－2，得m2＋1 所以ln(m2＋1) 取m＝，n＝，得m＋ 当m>n>0时，则m2>n2，
所以m|m|－n|n|＝m2－n2>0，即m|m|>n|n|，
当0>m>n时，则m2 所以m|m|－n|n|＝－m2－(－n2)＝n2－m2>0，
即m|m|>n|n|，当m>0>n时，m|m|>0>n|n|，
所以m|m|>n|n|，
综上，D正确．
3．[T5补偿]下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
答案　B
解析　由题意知，对称轴上的点(1,0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D.
4．[T11补偿](2022·武清模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b等于(　　)
A．11或4 B．－4或－11
C．11 D．4
答案　C
解析　根据题意，得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1处有极值0，
∴f′(－1)＝3－6a＋b＝0且f(－1)＝－1＋3a－b＋a2＝0，∴a＝1，b＝3或a＝2，b＝9，
当a＝1，b＝2时，f′(x)＝3x2＋6x＋3≥0恒成立，
此时函数f(x)无极值点，
∴a＝2，b＝9，∴a＋b＝11.
5．[T12补偿]已知函数f(x)满足f(m＋n)＝f(m)·f(n)，f(1)＝3，则＋＋＋的值等于(　　)
A．36 B．24 C．18 D．12
答案　B
解析　取特殊函数，根据条件可设f(x)＝3x，
则有＝＝6，
所以＋＋＋＝6×4＝24.
6．[T13补偿]已知f(x)＝tan x，则数列{an}满足：对任意n∈N*，an∈，且a1＝，f(an＋1)＝，则使得sin a1·sin a2·…·sin ak<成立的最小正整数k为______．
答案　298
解析　f′(x)＝，由f(an＋1)＝知，
tan an＋1＝＝＝，
∴tan2an＋1＝＝＝1＋tan2an，
又a1＝，∴tan2a1＝3.
∴{tan2an}是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴tan2an＝3＋(n－1)＝n＋2，
又tan an>0，∴tan an＝，
∴cos an＝，从而sin an＝，
∴sin a1·sin a2·…·sin ak＝··…·＝，
令<，得k>297，
又k∈N*，故k的最小值为298.