2023版考前三个月冲刺专题练　第24练　直线与圆

这是一份2023版考前三个月冲刺专题练　第24练　直线与圆，共15页。

第24练　直线与圆


1．(2020·全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
答案　B
解析　设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，
由l过定点B(－1,0)，
知当AB⊥l时，距离最大，最大值为.
2．(2020·全国Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦长的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，
故圆心的坐标为C(3,0)，半径r＝3.
如图，记点M(1,2)，

则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小，
此时|MC|＝2，
弦长l＝2＝2＝2.
3．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
答案　ACD
解析　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，r＝4，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋<5＋＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4<－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，

连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确．

4．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
答案　ABD
解析　圆心C(0,0)到直线l的距离d＝，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．
5．(2020·全国Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案　D
解析　⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，
则圆心M(1,1)，⊙M的半径为2.
如图，由题意可知PM⊥AB，

∴S四边形PAMB＝|PM|·|AB|
＝|PA|·|AM|＝2|PA|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|
＝4.
当|PM|·|AB|最小时，|PM|最小，此时PM⊥l.
故直线PM的方程为y－1＝(x－1)，
即x－2y＋1＝0.
由得
∴P(－1,0)．
又∵点M到直线x＝－1的距离为2，PA与⊙M相切，且A为切点，
∴直线PA即为直线x＝－1，
∴PA⊥x轴，PA⊥MA，∴A(－1,1)．
又直线AB与l平行，
设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0，
将A(－1,1)代入2x＋y＋m＝0，得m＝1.
∴直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.
6．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析　∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M为(a，1－2a)，
又∵点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴＝＝R，
即a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，
解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝，
则⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
7．(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
答案　y＝－x＋
解析　圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径为1，
圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3,4)，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，

当切线为l时，
因为＝，
所以kl＝－，
设方程为y＝－x＋t(t>0)，
O到l的距离d＝＝1，
解得t＝，
所以l的方程为y＝－x＋；
当切线为m时，
设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，
由题意知解得
所以切线方程为y＝x－；
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1.
8．(2016·全国Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.
答案　4
解析　由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，
圆心O到直线l的距离为
d＝.
由|AB|＝2得
2＋()2＝12，
解得m＝－.
又直线l的斜率为－m＝，
所以直线l的倾斜角α＝，
作出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD于点E，

则∠DCE＝，
在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.

9．(2022·乐山模拟)过点P(－1,2)且与直线l：x－2y＋1＝0垂直的直线方程为(　　)
A．2x＋y＋4＝0 B．2x＋y＝0
C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋5＝0
答案　B
解析　设与满足题意的直线为l′，
直线l：x－2y＋1＝0的斜率kl＝，
因为l⊥l′，故l′的斜率kl′＝－2，
故直线l′的方程为y－2＝－2(x＋1)，
即2x＋y＝0.
10．(2022·安阳模拟)已知动圆C：(x－a)2＋(y－3a＋2)2＝16(a∈R)截直线l：x＋by＋3＝0所得弦长为定值，则b等于(　　)
A．－3 B．－2 C．－ D．－
答案　D
解析　因为动圆C：(x－a)2＋(y－3a＋2)2＝16(a∈R)截直线l：x＋by＋3＝0所得弦长为定值，且半径为4，
所以圆心到直线l：x＋by＋3＝0的距离为定值，
即d＝＝为定值(与a无关)，
所以b＝－.
11．(多选)(2022·郑州模拟)已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，下列说法正确的是(　　)
A．l2始终过定点
B．若l1∥l2，则a＝1或－3
C．若l1⊥l2，则a＝0或2
D．当a>0时，l1始终不过第三象限
答案　ACD
解析　l2：ax－(2a－3)y－1＝0，
即a(x－2y)＋3y－1＝0，
则⇒
即l2始终过定点，故A正确；
若l1∥l2，当a＝1时，l1与l2重合，故B错误；
因为1×a＋a×(3－2a)＝0⇒a＝0或a＝2，故C正确；
当a>0时，直线l1：y＝－x＋1始终过点(0,1)，斜率为负，不会过第三象限，故D正确．
12．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．过点P(1,2)且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x＋y－3＝0
B．过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＝0
C．直线2x－y＋3＝0关于x－y＝0对称的直线方程是x－2y＋3＝0
D．点P(2,1)到直线ax＋(a－1)y＋a＋3＝0的最大距离为2
答案　BD
解析　对于A选项，当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，则有k＝2，此时所求直线方程为y＝2x，
若直线不过原点，设所求直线方程为x＋y＝a(a≠0)，则a＝1＋2＝3，此时所求直线方程为x＋y－3＝0，
所以，过点P(1,2)且在x，y轴上的截距相等的直线方程为y＝2x或x＋y－3＝0，故A错误；
对于B选项，直线x－2y＋3＝0的斜率为，
所以，过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0，故B正确；
对于C选项，由于点(x，y)关于直线x－y＝0对称的点为(y，x)，所以直线2x－y＋3＝0关于x－y＝0对称的直线方程是x－2y－3＝0，故C错误；
对于D选项，由于直线ax＋(a－1)y＋a＋3＝a(x＋y＋1)－(y－3)＝0，即直线过定点Q(－4,3)，所以点P(2,1)到直线ax＋(a－1)y＋a＋3＝0的最大距离为|PQ|＝2，故D正确．
13．(多选)(2022·青岛模拟)已知圆C：x2＋y2－kx＋2y＋k2－k＋1＝0，下列说法正确的是(　　)
A．k的取值范围是k>0
B．若k＝4，过M(3,4)的直线与圆C相交所得弦长为2，则直线方程为12x－5y－16＝0
C．若k＝4，则圆C与圆x2＋y2＝1相交
D．若k＝4，m>0，n>0，直线mx－ny－1＝0恒过圆C的圆心，则＋≥8恒成立
答案　ACD
解析　对于A，方程表示圆可得
(－k)2＋4－4>0，解得k>0，故A正确；
对于B，当k＝4时，可得圆C的方程：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，过M(3,4)的直线与圆C相交所得弦长为2，则圆心(2，－1)到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，x＝3，满足条件，故B不正确；
对于C，当k＝4时，圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为(2，－1)，半径r1＝2，圆x2＋y2＝1，圆心为(0,0)，半径r2＝1，两圆心的距离为＝，r1－r2＝1< 对于D，当k＝4时，圆C的圆心为(2，－1)，直线mx－ny－1＝0恒过圆C的圆心，可得2m＋n－1＝0⇒2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号，故D正确．
14．(多选)(2022·淄博模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦|AB|的长为1，则下列结论正确的有(　　)
A．a2＋b2＝1
B．直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0
C．AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝
D．圆C1与圆C2公共部分的面积为－
答案　BC
解析　两圆方程相减可得直线AB的方程为
a2＋b2－2ax－2by＝0，
即2ax＋2by－a2－b2＝0，
因为圆C1的圆心为C1(0,0)，半径为1，且公共弦|AB|的长为1，
则C1(0,0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为，
所以＝，
解得a2＋b2＝3，
所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0，故A错误，B正确；
由圆的性质，可知直线C1C2垂直平分线段AB，
所以C1(0,0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离即为AB中点与点C1的距离，
设AB中点坐标为(x，y)，
因此＝，
即x2＋y2＝，故C正确；
因为|AB|＝|C1A|＝|C1B|＝1，
所以∠BC1A＝，
即圆C1中弧AB所对的圆心角为，
所以扇形的面积为×π×12＝，
△C1AB的面积为×1×1×＝，
所以圆C1与圆C2公共部分的面积为2×＝－，故D错误．
15．(2022·太原模拟)已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP面积的取值范围是________．
答案　[1,5]
解析　 圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C(2,1)，半径R＝2，
圆心C到直线3x＋4y＋5＝0的距离
d＝＝3，
设点P到直线AB的距离为h，
则S△ABP＝·|AB|·h＝h.
因为d－R≤h≤d＋R，所以1≤h≤5，
所以S△ABP∈[1,5]．
16．(2022·武汉质检)已知圆O的方程为x2＋y2＝1，P是圆C：(x－2)2＋y2＝16上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则·的取值范围为________．
答案　
解析　如图，

设PA与PB的夹角为2α，
则|PA|＝|PB|＝＝，
∴·＝||||cos 2α
＝·cos 2α
＝·cos 2α.
∵P是圆C：(x－2)2＋y2＝16上一点，
∴2＝4－|OC|≤|PO|≤|OC|＋4＝6，
∴cos α＝＝
＝，
∴cos 2α＝2cos2α－1＝1－∈，
令t＝1－cos 2α∈，
则·＝＝t＋－3在上单调递减，
∴当t＝时，(·)min＝，
当t＝时，(·)max＝，
∴·的取值范围为.

[考情分析]　直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点，考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题，试题难度为中档．

一、直线的方程
核心提炼
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝(A2＋B2≠0)．
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
练后反馈
题目
1
9
11
12





正误









错题整理：

二、圆的方程
核心提炼
圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心为(a，b)，半径为r.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心为，
半径为r＝.
练后反馈
题目
2
6
13
14





正误









错题整理：

三、直线、圆的位置关系
核心提炼
直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr⇔相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．
练后反馈
题目
3
4
5
7
8
10
15
16

正误









错题整理：


1．[T4补偿](2022·淮南模拟)若直线l：(m－1)x＋(2m－1)y＝0与曲线C：y＝＋2有公共点，则实数m的范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　当m＝时，直线l为y轴与曲线C显然有公共点．
当m≠时，斜率为k＝，直线l：y＝x经过原点，
曲线C为圆心为(2,2)，半径为2的圆的上半部分．
当直线经过半圆的右端点A恰好有公共点，逆时针旋转至y轴满足题意，如图．

由于kOA＝，
故≥，
解得 综上，m的取值范围为.
2．[T11补偿](多选)(2022·保定模拟)已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，下列结论正确的是(　　)
A．若l1∥l2，则a＝6
B．若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为
C．若l1⊥l2，则a＝
D．若a≠6，则直线l1，l2一定相交
答案　ABD
解析　若l1∥l2，则＝≠，∴a＝6，A正确；
由A知，l2：6x＋8y－11＝0，直线l1的方程可化为6x＋8y＋24＝0，
故两条平行直线之间的距离为＝，B正确；
由l1⊥l2，得3a＋4×8＝0，∴a＝－，C错误；
由A知，当a＝6时，l1∥l2，∴当a≠6时，则直线l1，l2一定相交，D正确．
3．[T13补偿](多选)(2022·苏州模拟)已知圆C过点M(1，－2)，且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是(　　)
A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B．满足条件的圆C有且只有一个
C．点(2，－1)在满足条件的圆C上
D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4
答案　ACD
解析　因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，
所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，
故圆心在直线y＝－x上，故A正确；
圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，
把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，
则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，
所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；
圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1或(x－5)2＋(y＋5)2＝25，
将点(2，－1)代入可知满足方程，故C正确；
它们的圆心距为＝4，故D正确．
4．[T16补偿](多选)(2022·茂名模拟)已知点A是圆C：(x＋1)2＋y2＝1上的动点，O为坐标原点，OA⊥AB，且|OA|＝|AB|，O，A，B三点顺时针排列，下列选项正确的是(　　)
A．点B的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2
B．|CB|的最大距离为1＋
C.·的最大值为＋1
D.·的最大值为2
答案　BD
解析　如图，过点O作OD∥AB，且|OD|＝|AB|，

则点C(－1,0)，
设点A(x0，y0)，∠xOA＝α，
则∠xOD＝α－，
设|OA|＝a，
所以x0＝acos α，y0＝asin α，
所以xD＝acos＝asin α＝y0，
yD＝asin＝－acos α＝－x0，
即点D(y0，－x0)，
因为＝＋＝(x0＋y0，y0－x0)，
设点B(x，y)，可得
解得
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝1上，
所以(x0＋1)2＋y＝1，
将代入方程(x0＋1)2＋y＝1，
可得2＋2＝1，
整理得(x＋1)2＋(y－1)2＝2，A错；
所以|CB|的最大距离为1＋，B对；
设∠CAO＝θ，0°≤θ≤90°，
·＝·(＋)＝2＋·
＝1＋||·||cos(90°－θ)
＝1＋|OA|sin θ＝1＋2cos θsin θ＝1＋sin 2θ≤2，
所以·的最大值为2，D对．
5．[T14补偿](多选)(2022·潍坊模拟)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．若圆C2与x轴相切，则m＝2
B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0
D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点
答案　BD
解析　因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，
所以若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，故A错误；
当m＝－3时，|C1C2|＝＝2>2＋，两圆相离，故B正确；
由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；
直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2,1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5<11，故点(2,1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．
6．[T15补偿](2022·沈阳模拟)在平面直角坐标系中，直线mx＋y－2m－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝9交于M，N两点．当△CMN的面积最大时，实数m的值为________．
答案　－1或－
解析　由圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝9，
得圆心C(1,4)，r＝3，
点C(1,4)到直线的距离d＝，
由弦长公式得|MN|＝2＝2，
∴S△CMN＝|MN|·d＝×2·d
＝，
设t＝d2，则S△CMN＝，
当t＝时，(S△CMN)max＝＝，
此时t＝d2＝，即＝，
∴7m2＋8m＋1＝0，
解得m＝－1或m＝－.