2023版考前三个月冲刺专题练　第3练　聚焦热点情境，弘扬数学文化【无答案版】

第3练　聚焦热点情境，弘扬数学文化

1．(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3等于(　　)

A．0.75   B．0.8

C．0.85   D．0.9

2．(2020·全国Ⅱ)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为(　　)

A．5   B．8 

C．10   D．15

3．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则(　　)

A．b1<b5   B．b3<b8

C．b6<b2   D．b4<b7

4．(2020·新高考全国Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　　)

A．20°   B．40° 

C．50°   D．90°

5．(2019·全国Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“—  —”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A.   B. 

C.  D.

6．(2021·新高考全国Ⅱ)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是一个球心为O，半径r为6 400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2(1－cos α)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为(　　)

A．26%   B．34% 

C．42%   D．50%

7．(2019·全国Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有______个面，其棱长为______．

8．(2022·浙江)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝________.

9．(2022·陕西汉台中学模拟)2022年北京冬奥会开幕式以中国传统二十四节气作为倒计时进入，草木生长的勃勃生机拉开春意盎然的开幕式序幕．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长与最短的日子分别被定为冬至与夏至，其日影长分别为13.5 尺与1.5 尺．从冬至到夏至，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至这十三个节气，其日影长依次成等差数列，则北京冬奥会开幕日(立春)的日影长是(　　)

A．10.5 尺   B．11 尺

C．11.5 尺   D．12 尺

10．(2022·沈阳模拟)习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第8个数是(　　)

A．45   B．90 

C．120   D．720

11．《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依组内角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？”其意思为：“靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大豆堆底面的弧长为3丈，高为7尺，问大豆堆体积和堆放的大豆有多少斛？”已知1斛大豆＝2.43立方尺，1丈＝10尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有(　　)

A．140斛   B．142斛 

C．144斛   D．146斛

12．(2022·长春模拟)从某个角度观察篮球(如图甲)，可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BO＝OC＝CD，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)

A．±1   B．± 

C．±2   D．±

13．(多选)(2022·广饶模拟)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：圆O的圆心在原点，若函数的图象将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则(　　)

A．对于圆O，其“太极函数”有1个

B．函数f(x)＝是圆O的一个“太极函数”

C．函数f(x)＝x3－3x不是圆O的“太极函数”

D．函数f(x)＝ln(＋x)是圆O的一个“太极函数”

14．(2022·郑州模拟)窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若||＝2，且·＝－2，则|＋|的最小值是(　　)

A．3   B．4 

C．9   D．16

15.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，若直角三角形直角边的长分别为3,4，记大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则＝________.

16．(2022·马鞍山模拟)1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长(即可见角最大)．后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题．我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段AB(或直线l上两点A，B)，则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面α，直线l上有两点A，B位于平面α的同侧，求平面上一点C，使得∠ACB最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．设A，B两点的坐标分别为(0，a)，(0，b)(0<b<a)．设点C的坐标为(c,0)，当∠ACB最大时，c＝________.

[考情分析]　数学与传统文化是近几年高考命题热点内容之一，考查题型主要是选择题和填空题，解答题和证明题比较少，涉及的知识点主要集中在函数、数列、立体几何、复数、统计、概率、圆锥曲线．

一、与名人、名著有关的数学文化

核心提炼

将数学文化融入高考试题，改变了以往单纯的知识性考查，体现了数学文化本身对于数学教育与数学学习的重要意义．从备考的角度，要广泛阅读一些有关数学文化的书籍，开拓视野，加强合作探究，经历数学家发明、发现的过程，使数学素养得到有效提升．

练后反馈

二、与古代传统有关的数学文化

核心提炼

以古代的建筑、风俗习惯以及文化为题目背景，考查高中数学所学的知识内容，我们首先要明确数学文化反映出的数学知识内容，然后运用所学的知识和已掌握的解题技能灵活地进行解题．这类问题的关键就是通过认真阅读，深刻理解题意，从中找到数学信息．

练后反馈

三、与现代生活有关的数学文化

核心提炼

数学知识源于生活又高于生活，最终服务于生活．引导学生把数学知识运用到现实生活中去，自觉地应用数学知识和方法去观察、分析、解决生活中的数学问题，可以全面提升学生的数学素养．

练后反馈

1．[T3补偿](2022·宣城模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，最上面3节的容积之积为3升，最下面3节的容积之积为243升，则第5节的容积是(　　)

A．2升   B．3升 

C．4升   D．5升

2．[T5补偿](2022·昌平模拟)算盘是中国传统的计算工具．东汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠(上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒)不使用．如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

3．[T14补偿]唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(1,1)，若将军从山脚下的点B(4,4)处出发，河岸线所在直线l的方程为x－y＋1＝0，则“将军饮马”的最短总路程是(　　)

A．3  B.  C.  D．2

4．[T12补偿](2022·东北师大附中模拟)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线－＝1(a>0，b>0)下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x   B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±x

5．[T7补偿](多选)(2022·武汉模拟)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为6＋2，则下列关于该半正多面体的说法中正确的是(　　)

A．与AB所成的角是60°的棱共有12条

B．AB与平面BCD所成的角为45°

C．二面角A－BC－D的余弦值为－

D．经过A，B，C，D四个顶点的外接球半径为1

6．[T1补偿](2022·赤峰模拟)滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，如图，在滕王阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝60米，则滕王阁的高度OP＝________米．