2023版考前三个月冲刺专题练　第33练　转化与化归思想

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第33练　转化与化归思想


1．(2021·浙江)已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)，若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是(　　)
A．直线和圆 B．直线和椭圆
C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
答案　C
解析　因为f(x)＝ax2＋b，
所以f(s－t)＝a(s－t)2＋b，f(s)＝as2＋b，
f(s＋t)＝a(s＋t)2＋b.
因为f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，
所以f2(s)＝f(s－t)f(s＋t)，
即(as2＋b)2＝[a(s－t)2＋b]·[a(s＋t)2＋b]，
化简得－2a2s2t2＋a2t4＋2abt2＝0，
得t＝0或2as2－at2＝2b，
易知点(s，t)的轨迹为一条直线和一条双曲线．
2．(2017·山东)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＋< B. C．a＋ D．log2(a＋b) 答案　B
解析　方法一　∵a>b>0，ab＝1，
∴log2(a＋b)>log2(2)＝1.
∵＝＝a－1·2－a，
令f(a)＝a－1·2－a，
∵b＝，a>b>0，
∴a>，解得a>1.
∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2
＝－a－2·2－a(1＋aln 2)<0，
∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减．
∴f(a) ∵a＋＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)，
∴ 方法二　∵a>b>0，ab＝1，
∴取a＝2，b＝，
此时a＋＝4，＝，
log2(a＋b)＝log25－1≈1.3，
∴ 3．(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)
A．36π B．64π C．144π D．256π
答案　C
解析　如图，要使三棱锥O－ABC即C－OAB的体积最大，

则点C到平面OAB的距离，
即三棱锥C－OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，
则VO－ABC最大为××R2×R＝R3＝36，
所以R＝6，
所以球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.
4．(2019·浙江)设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则(　　)
A．a<－1，b<0 B．a<－1，b>0
C．a>－1，b<0 D．a>－1，b>0
答案　C
解析　由题意可得，当x≥0时，
f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，
令f(x)－ax－b＝0，
则b＝x3－(a＋1)x2＝x2[2x－3(a＋1)]．
因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，
所以要使其满足条件，则当x≥0时，
b＝x2[2x－3(a＋1)]必须有2个根，
所以>0，解得a>－1.
所以b<0.
5．(2011·上海)随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是________．(默认每月天数相同，结果精确到0.001)
答案　0.985
解析　设事件A为“至少有2位同学在同一月份出生”，
则A的对立事件为“所有人出生月份均不相同”，
则P(A)＝1－P()＝1－
＝1－
≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985.
6．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln＋b是奇函数，则a＝______，b＝______.
答案　－　ln 2
解析　f(x)＝ln＋b＝ln＋ln eb＝ln.
∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＋f(x)
＝ln＝0，
∴|(a＋1)2e2b－a2e2bx2|＝|1－x2|.
当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝1－x2时，
[(a＋1)2e2b－1]＋(1－a2e2b)x2＝0对任意的x恒成立，
则
解得
当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝x2－1时，
[(a＋1)2e2b＋1]－(a2e2b＋1)x2＝0对任意的x恒成立，
则无解．
综上，a＝－，b＝ln 2.
7．(2016·天津)已知函数f(x)＝4tan x·sincos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解　(1)f(x)的定义域为
.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)∵x∈，
∴2x－∈.
由y＝sin x的图象可知，
当2x－∈，
即x∈时，f(x)单调递减；
当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增，
∴当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
8．(2019·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数．
(1)证明：f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点；
(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．
(1)证明　设g(x)＝f′(x)，
则g(x)＝cos x＋xsin x－1，
g′(x)＝xcos x.
当x∈时，g′(x)>0；
当x∈时，g′(x)<0，
所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．
又g(0)＝0，g>0，g(π)＝－2<0，
故g(x)在(0，π)上存在唯一零点．
所以f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点．
(2)解　由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.
由(1)知，f′(x)在(0，π)上只有一个零点，
设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；
当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．
又f(0)＝0，f(π)＝0，
所以当x∈[0，π]时，f(x)≥0.
又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.
因此，a的取值范围是(－∞，0]．


9．(2022·开封模拟)若关于x的不等式a·2|x|>2|x|＋1(x∈R)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　B
解析　因为x∈R，
所以2|x|≥1，
又a·2|x|>2|x|＋1恒成立，
即a>＝1＋恒成立，
因为y＝1＋在[1，＋∞)上单调递减，
所以1<1＋≤2，
所以a>2，即a∈(2，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于(　　)
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
答案　A
解析　∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，
∴f(－x)＝－x5－ax3－bx－8，
∴f(x)＋f(－x)＝－16，
令x＝2，则f(2)＋f(－2)＝－16，
又f(－2)＝10，
∴f(2)＝－16－10＝－26.
11．不等式t2－2at＋1≥sin x 对一切x∈[－π，π]及a∈[－1,1]恒成立，则t 的取值范围是(　　)
A．t≤－2 或t≥2
B．t≤2
C．t≥－2
D．t≤－2 或t≥2 或t＝0
答案　D
解析　由题意t2－2at＋1≥sin x对一切x∈[－π，π]及a∈[－1,1]恒成立，
则t2－2at＋1≥1，a∈[－1,1]，
即2at－t2≤0，a∈[－1,1]，
令f(a)＝2at－t2，
则f(a)≤0 对一切a∈[－1,1]恒成立，
则解得t≤－2或t≥2 或t＝0.
12．(多选)(2022·汕头模拟)已知定义在R上的奇函数，满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－tan πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值可以是(　　)
A．3.8 B．3.9 C．4 D．4.1
答案　AB
解析　由题意知f(x)是奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
又f(2－x)＋f(x)＝0，
则f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，
令t＝－x，得f(t)＝f(t＋2)，
即f(x)＝f(x＋2)，
所以f(x)是周期为2的周期函数，
所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝0，
又f(1)＝－log21＝0，
所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝0，
所以f(n)＝0，n∈Z，
作出y＝f(x)和y＝tan πx的图象，
其中y＝tan πx的周期是T＝＝1，
如图，由图可知当x≥－1时，从点A(－1,0)向右的10个交点依次为A，B，O，C，D，E，F，G，H，I，点J是第11个交点，J(4,0)，

设C点横坐标为x0，
显然x0∈，f ＝－log2＝2，
tan ＝1，
因此x0>，所以 于是－ 即3.5 结合选项知m可取3.8,3.9，m≥4时至少有11个零点．
13．已知等差数列{an} 的公差d≠0，且a1，a3，a9 成等比数列，则 的值是________．
答案　
解析　由题意知，只要满足a1，a3，a9 成等比数列的条件，{an} 取何种等差数列(d≠0)与所求代数式的值是没有关系的．
因此，可选取数列an＝n(n∈N*)，
则＝＝.
14．(2022·毕节模拟)已知在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，∠PBC＝45°，PC＝AC＝2，AB＝2，这个三棱锥的外接球的表面积为________．
答案　12π
解析　∵PC⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，
∴PC⊥AC，PC⊥BC，
∵∠PBC＝45°，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴BC＝2，
∴AC2＋BC2＝22＋22＝8＝AB2，
∴AC⊥BC，
∴AC，BC，PC三条直线两两垂直，且长度均为2，
∴可将三棱锥P－ABC放到一个棱长为2的正方体内部，如图所示，

∴三棱锥的外接球为正方体的外接球，外接球球心为正方体的中心，直径为正方体的体对角线PD，
设外接球半径为R，则(2R)2＝22×3，
解得R＝，
∴三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝12π.
15．(2022·北京模拟)某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测．若每件产品的生产成本为1 200元，每件一级品可卖1 700元，每件二级品可卖1 000元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示．

(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)现从样本产品中利用分层随机抽样的方法抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到的二级品的件数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值；
(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2 000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8∶2，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理．
解　(1)抽取的100件产品是一级品的频率是＝，
则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，
设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为A，
则P(A)＝1－2＝，
所以至少有一件产品是一级品的概率是.
(2)依题意，10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，ξ的可能的取值是0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P




E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)今年利润为
80×
＝15 200(万元)，
明年预计利润为
70×－2 000＝23 200(万元)，
显然有23 200>15 200，
所以该次升级合理．
16．(2022·九江模拟)已知函数f(x)＝ex＋mx(m∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若b>a>0，且af(b)>bf(a)，求证：a＋b>2.
(1)解　f′(x)＝ex＋m，
当m≥0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，
当m<0时，由f′(x)>0，得x>ln(－m)；
由f′(x)<0，得x ∴f(x)在(－∞，ln(－m))上单调递减，在(ln(－m)，＋∞)上单调递增．
综上，当m≥0时，f(x)在R上单调递增；
当m<0时，f(x)在(－∞，ln(－m))上单调递减，在(ln(－m)，＋∞)上单调递增．
(2)证明　由af(b)>bf(a)，
得a(eb＋mb)>b(ea＋ma)，
即aeb>bea，即<，
令g(x)＝，
则g(b) ∵g′(x)＝，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
作出g(x)的大致图象，如图所示，

当x>0时，g(x)>0，
∴0 ①若1≤a2，
②若02，只需证b>2－a>1，
即证g(b) 令G(x)＝g(x)－g(2－x)，x∈(0,1)，
G′(x)＝＋＝(1－x)(e－x－ex－2)，
∵0 ∴1－x>0，e－x－ex－2>0，
∴G′(x)>0，
∴G(x)在(0,1)上单调递增，
∴G(x) ∴g(a) 综上，a＋b>2.

[考情分析]　转化和化归思想一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化和化归思想在高考中起到十分重要的作用，数学问题的解决，总离不开转化和化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中．

一、特殊与一般的转化
核心提炼
化一般为特殊的应用要点
把一般问题特殊化，解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果，既准确又迅速．常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等，要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量．
练后反馈
题目
2
3
10
13
14




正误









错题整理：

二、正与反、常量与变量的转化
核心提炼
正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．
练后反馈
题目
5
11
15






正误









错题整理：

三、函数、方程、不等式之间的转化
核心提炼
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
练后反馈
题目
1
4
6
7
8
9
12
16

正误









错题整理：


1．[T5补偿](2022·江门模拟)第24届北京冬季奥林匹克运动会的项目中有两大项是滑雪和滑冰，其中滑雪有6个分项，分别是高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项，滑冰有3个分项，分别是短道速滑、速度滑冰和花样滑冰．甲和乙相约去观看比赛，他们约定每人观看两个分项，而且这两个分项要属于不同大项．若要求他们观看的分项最多只有一个相同，则不同的方案种数是(　　)
A．324 B．306
C．243 D．162
答案　B
解析　由题意得，总的观看方案种数为
(CC)2＝(6×3)2＝324，
两个分项都相同的观看方案种数为
CC＝6×3＝18，
所以观看的分项最多只有一个相同的方案种数是324－18＝306.
2．[T14补偿]已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，CC1＝2，E 为CC1 的中点，则直线AC1 到平面BED 的距离为(　　)
A．2 B. C. D．1
答案　D
解析　如图所示，连接AC交BD于点O，易知O为AC的中点，

因为点E为CC1的中点，
所以OE∥AC1，
又OE⊂平面BED，AC1⊄平面BED，
所以AC1∥平面BED，
所以直线AC1到平面BED的距离等于点C1到平面BED的距离．
又点E为CC1的中点，
所以点C1到平面BED的距离等于点C到平面BED的距离．
设点C到平面BED的距离为d，
由VC－BED＝VE－BDC，
得S△BED×d＝S△BDC×EC，
即××2×2×d＝××2×2×，
解得d＝1，即直线AC1到平面BED的距离为1.
3．[T8补偿]已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，则m的最大值为________．
答案　3
解析　因为当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0，
所以f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x，
所以原条件等价于存在实数t∈[－1，＋∞)，
使得不等式t≤1＋ln x－x 对任意x∈[1，m]，m∈Z且m>1恒成立．
令h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)，
则h′(x)＝－1≤0(x≥1)，
所以函数h(x)在[1，＋∞)上单调递减．
又x∈[1，m]，
所以h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m，
所以m 需满足1＋ln m－m≥－1，m∈Z且m>1.
因为h(3)＝ln 3－2＝ln>ln ＝－1，
h(4)＝ln 4－3＝ln 所以满足条件的m的最大值为3.
4．[T11补偿]若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x 在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，
若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，
则g′(x)≥0 在(t，3)上恒成立，①
或g′(x)≤0 在(t，3)上恒成立．②
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，
即m＋4≥－3x在x∈(t，3)上恒成立，
所以m＋4≥－3t在t∈[1,2]上恒成立，
则m＋4≥－1，即m≥－5 ；
由②得3x2＋(m＋4)x－2≤0，
即m＋4≤－3x 在x∈(t，3)上恒成立，
则m＋4≤－9，即m≤－.
于是g(x)在区间(t，3)上为单调函数时，
m 的取值范围为∪[－5，＋∞)，
所以函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数时，m 的取值范围为.
5．[T16补偿](2022·宁波模拟)已知函数f(x)＝sin＋sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)若对任意的m∈(－2,2)，方程f(x)＝m(其中x∈[0，a))始终有两个不同的根x1，x2.
①求实数a的值；
②求x1＋x2的值．
解　(1)f(x)＝sin＋sin
＝sin＋sin
＝sin－cos
＝2sin.
f(x)的最小正周期为T＝＝π，
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
(2)①当x∈[0，a)时，2x－∈，
所以2a－－＝2π，
解得a＝π.
②由①知2x－∈，
根据三角函数图象的对称性，
可得2x1－＋2x2－＝π或2x1－＋2x2－＝3π，
解得x1＋x2＝或x1＋x2＝.