新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练小题满分练3（含解析）

小题满分练3

一、单项选择题

1．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于(　　)

A．{1,3}   B．{0,3}

C．{－2,1}   D．{－2,0}

答案　D

解析　集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{－2,0}．

2．(2022·衡水模拟)已知复数z＝(a∈R)在复平面上对应的点在直线x＋y＝0上，则a等于(　　)

A．－2  B．2  C．－3  D．3

答案　D

解析　因为z＝＝

＝，

所以其在复平面内对应点的坐标为，

由题意知＋＝0，解得a＝3.

3．(2022·济南模拟)函数f(x)＝的大致图象是(　　)

答案　D

解析　因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

且f(x)＝f(－x)，

所以f(x)是偶函数，排除B；

又f(1)＝0，排除C；

当x>1时，函数y＝ex＋e－x比y＝ln x增长得更快，故函数的大致图象为D选项．

4．(2022·凉山模拟)正项等比数列{an}与正项等差数列{bn}，若a1a5＝b5b7，则a3与b6的关系是(　　)

A．a3＝b6   B．a3≥b6

C．a3≤b6   D．以上都不正确

答案　C

解析　设等差数列{bn}的公差为d，

则b5b7＝(b6－d)(b6＋d)＝b－d2，

又a1a5＝a，

∴a＝b－d2≤b，

∵{an}，{bn}均为正项数列，

∴a3≤b6.

5．(2022·萍乡模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k>0)与C相交于M，N两点(M在第一象限)．若M，F1，N，F2四点共圆，且直线NF2的倾斜角为，则椭圆C的离心率为(　　)

A.   B.－1

C.   D.－1

答案　B

解析　根据题意四边形MF1NF2为平行四边形，

又由M，F1，N，F2四点共圆，可得平行四边形MF1NF2为矩形，即NF1⊥NF2.

又直线NF2的倾斜角为，

则有∠MF1F2＝，则|MF2|＝|F1F2|＝c，

|MF1|＝|F1F2|＝c，

则2a＝|MF1|＋|MF2|＝(1＋)c，

即c＝a＝(－1)a，

则椭圆C的离心率e＝＝－1.

6.(2022·六安模拟)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限思想的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin 2°的近似值为(　　)

A．0.035   B．0.026

C．0.018   D．0.038

答案　A

解析　将一个单位圆分成180个扇形，

则每个扇形的圆心角度数均为2°，

∵这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，

∴180××1×1×sin 2°＝90sin 2°≈π，

∴sin 2°≈≈0.035.

7．已知ex－y>ln y－x，则下列结论正确的是(　　)

A．x>y   B．x>ln y

C．x<y   D．x<ln y

答案　B

解析　由题意知ex－y>ln y－x，

可以化为ex＋x>y＋ln y＝ln y＋eln y，

所以可以构造函数f(x)＝ex＋x，

因为f(x)＝ex＋x在R上单调递增，

又f(x)＝ex＋x>ln y＋eln y＝f(ln y)．

所以x>ln y.

8.(2022·安徽省鼎尖联盟联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2CD＝4，则四棱锥P－ABCD外接球半径为(　　)

A.  B．2  C.  D.

答案　C

解析　如图所示，在等腰梯形ABCD中，

由BC＝2AD＝2AB

＝2CD＝4，

过A作AM⊥BC，垂足为M，可得BM＝1，

在Rt△ABM中，可得cos∠ABM＝＝，

可得∠ABM＝60°，

即∠ABC＝∠DCB＝60°，

取BC的中点E，连接EA，ED，

可得EA＝EB＝EC＝ED＝2，所以梯形ABCD内接于以E为圆心，半径r＝2的圆，

设四棱锥P－ABCD外接球的球心为O，连接OA，OE，过O作OF∥AE交PA于点F，连接OP

易知OE⊥平面ABCD，又因为PA⊥平面ABCD，所以OEAF为矩形，F为AP中点，PA＝2，所以OE＝PA＝1，设四棱锥P－ABCD外接球半径为R，所以R＝＝＝.

二、多项选择题

9．(2022·济宁模拟)在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20 000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，样本容量为n.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间[50,60)内的人数为16.则下列结论正确的是(　　)

A．样本容量n＝1 000

B．图中x＝0.030

C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分

D．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号

答案　BC

解析　对于A，因为成绩落在区间[50,60)内的人数为16，所以样本容量n＝＝100，故A不正确；

对于B，因为(0.016＋x＋0.040＋0.010＋0.004)×10＝1，解得x＝0.030，故B正确；

对于C，学生成绩平均分为

0．016×10×55＋0.030×10×65＋0.040×10×75＋0.010×10×85＋0.004×10×95＝70.6，故C正确；

对于D，因为10×(0.004＋0.010)＋(80－78)×0.040＝0.22>0.20，

即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确．

10.(2022·衡水中学调研)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到一个奇函数的图象

B．直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴

C．f(x)在区间上单调递增

D．f(x)的图象关于点对称

答案　ABD

解析　由图知，函数的周期T满足

T＝－＝，

解得T＝2π，

∴ω＝＝＝1，

将点代入函数f(x)的解析式，

得1＝cos，

解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，

∵－π<φ<0，

∴φ＝－，f(x)＝cos.

对于A，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝cos＝sin x，

此时g(x)＝sin x为奇函数，故A正确；

对于B，当x＝－时，

f ＝cos＝－1，

所以直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴，故B正确；

对于C，f(x)＝cos的单调递增区间满足

－π＋2kπ≤x－≤2kπ，k∈Z，

即单调递增区间为，k∈Z，

当k＝1时，单调递增区间为，

当k＝2时，单调递增区间为，

所以f(x)在区间上单调递减，

故C错误；

对于D，当x＝时，

f ＝cos＝cos ＝0，故D正确．

11．(2022·南京模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线x＋y＋＝0上，A，B分别是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线C右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是(　　)

A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x

B．双曲线C的方程为－y2＝1

C．k1k2为定值

D．存在点P，使得k1＋k2＝1

答案　BC

解析　对于A选项，

2＝＝e2－1＝，则＝，

所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，A错误；

对于B选项，由题意可得－c＋＝0，

可得c＝，a＝＝2，b＝a＝1，

所以双曲线C的方程为－y2＝1，B正确；

对于C选项，设点P(x0，y0)，

则－y＝1，可得x＝4＋4y，

易知点A(－2,0)，B(2,0)，

所以k1k2＝·

＝＝＝，C正确；

对于D选项，由题意可知x0>2，y0>0，

则k1＝>0，k2＝>0，且k1≠k2，

所以k1＋k2>2＝1，D错误．

12．(2022·重庆模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)为偶函数，当x∈(0,1]时，f(x)＝x2，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x＋4)＝f(x)

B．f(x)的值域为[－1,1]

C．f(x)在[－4，－2]上单调递减

D．f(x)的图象关于点(4,0)中心对称

答案　ABD

解析　对于A，因为f(x＋1)为偶函数，

所以满足f(－x＋1)＝f(x＋1)，

又f(x)是奇函数，

则f(－x＋1)＝f[－(x－1)]＝－f(x－1)，

所以f(x＋1)＝－f(x－1)，

用x＋1替换x可得f(x＋2)＝－f(x)，

再用x＋2替换x，

可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故A正确；

对于B，由已知f(x)是奇函数，

当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x2，

又f(x＋1)为偶函数，则可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，因此可知f(x)在[－1,3]上的值域为[－1,1]，又由A选项可知f(x)是周期为4的函数，故B正确；

对于C，结合A，B选项可知，f(x)在[－3＋4k，－1＋4k](k∈Z)上单调递减，故C错误；

对于D，因为f(x)是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，因此f(x)的图象关于点(4＋2k,0)，k∈Z中心对称，故D正确．

三、填空题

13．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________.

答案　11

解析　(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|·cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11.

14．(2022·山东省实验中学诊断)某校对高三年级的一次数学检测成绩进行抽样分析，发现成绩X近似服从正态分布N(95，σ2)，且P(91<ξ≤95)＝0.3，若该校1 800名学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于99分的学生人数为________．

答案　360

解析　由题意知，成绩X近似服从正态分布N(95，σ2)，则正态分布曲线的对称轴为X＝95，

又由P(91<ξ≤95)＝0.3，

知P(X≥99)＝×[1－2×P(91<X≤95)]＝×(1－2×0.3)＝0.2，

所以估计该校1 800名学生中，数学成绩不低于99分的人数为1 800×0.2＝360.

15．(2022·潍坊质检)古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，sin∠CBD∶sin∠BDC∶sin∠BAD＝1∶1∶，AC＝4，则△ABD面积的最大值为______．

答案　3

解析　如图，可知∠BAD＋∠BCD＝180°，

由诱导公式知

sin∠BAD＝sin∠BCD，

又sin∠CBD∶sin∠BDC∶sin∠BAD＝1∶1∶，

故sin∠CBD∶sin∠BDC∶sin∠BCD＝1∶1∶，

在△BCD中，由正弦定理得

CD∶BC∶BD＝1∶1∶，

故∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，

设CD＝k，BC＝k，BD＝k，则由托勒密定理可知CB·AD＋CD·AB＝AC·BD，

即k·AD＋k·AB＝k·4，

即AD＋AB＝4，

又S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝AB·AD≤·2＝3，

当且仅当AB＝AD时取等号．

故△ABD面积的最大值为3.

16．(2022·平顶山模拟)若对任意正实数x，y，不等式(3x－y)(ln y－ln x＋2)≤ax恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　[4，＋∞)

解析　对任意正实数x，y，不等式(3x－y)(ln y－ln x＋2)≤ax恒成立，即对任意正实数x，y，

不等式≤a恒成立．

设t＝(t>0)，令f(t)＝(3－t)(ln t＋2)，

则f′(t)＝－(ln t＋2)＋＝－ln t＋－3，

由y＝－ln t和y＝－3在(0，＋∞)上单调递减，

可知f′(t)在(0，＋∞)上单调递减，

又f′(1)＝0，当t>1时，f′(t)<f′(1)＝0，

当0<t<1时，f′(t)>f′(1)＝0，

所以f(t)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(t)在t＝1处取得极大值，且为最大值，即f(1)＝4，则a≥4，即实数a的取值范围是[4，＋∞)．