2023版考前三个月冲刺专题练　第4练　函数的图象与性质

这是一份2023版考前三个月冲刺专题练　第4练　函数的图象与性质，共13页。

第4练　函数的图象与性质


1．(2015·全国 Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)等于(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
答案　C
解析　因为－2<1，log212>log28＝3>1，
所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]
＝1＋log24＝3，
f(log212)＝
故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
2．(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是(　　)

A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案　A
解析　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3>0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0 3．(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
答案　D
解析　f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为.
∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C.
当x∈时，
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln
＝ln ＝ln，
∵y＝1＋在上单调递减，
∴由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．
4．(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
答案　D
解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．

当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
5．(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)等于(　　)
A．－3 B．－2 C．0 D．1
答案　A
解析　因为f(1)＝1，
所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝1，
得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，
所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，①
所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)．②
由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，
故f(x＋3)＋f(x)＝0，
所以f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，
所以f(0)＝2.
令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，
所以f(2)＝－1.
由f(x＋3)＝－f(x)，
得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，
f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
根据函数的周期性知，f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.
6．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f ，g(2＋x)均为偶函数，则(　　)
A．f(0)＝0 B．g＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
答案　BC
解析　方法一　(转化法)因为f ，g(2＋x)均为偶函数，
所以f ＝f ，
即f ＝f ，
g(2＋x)＝g(2－x)，
所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，
则f(－1)＝f(4)，故C正确；
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，
又g(x)＝f′(x)，且函数f(x)可导，
所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)，
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，
所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，
所以g＝g＝0，
g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，
则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，
所以无法确定f(0)的函数值，故A错误．
方法二　(特例法)因为f ，g(2＋x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称．取符合题意的一个函数f(x)＝1(x∈R)，则f(0)＝1，排除A；
取符合题意的一个函数f(x)＝sin πx，则f′(x)＝πcos πx，即g(x)＝πcos πx，所以g(－1)＝πcos(－π)＝－π，g(2)＝πcos 2π＝π，所以g(－1)≠g(2)，排除D.
7．(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
答案　1
解析　方法一　(定义法)
因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，
所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，
所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，
所以a＝1.
方法二　(取特殊值检验法)
因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)，
所以－＝2a－，
解得a＝1，
经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
8．(2022·浙江)已知函数f(x)＝则f ＝________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________．
答案　　3＋
解析　由题意知f ＝－2＋2＝，
则f ＝f 
＝＋－1＝＋－1＝.
作出函数f(x)的图象，如图所示，

结合图象，令－x2＋2＝1，解得x＝±1；
令x＋－1＝3，解得x＝2±，
又x>1，所以x＝2＋，
所以(b－a)max＝2＋－(－1)＝3＋.

9．(2022·烟台模拟)函数y＝的定义域为(　　)
A．[－2,2] B．(－1,2]
C．(－1,0)∪(0,2] D．(－1,1)∪(1,2]
答案　C
解析　由已知可得
即
因此，函数y＝的定义域为(－1,0)∪(0,2]．
10．(2022·上饶模拟)已知函数f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于(　　)
A．1 B．3 C．4 D．5
答案　D
解析　根据题意f(a)＝sin a＋a3＋＋3＝1，
即sin a＋a3＋＝－2，
所以f(－a)＝sin(－a)＋(－a)3＋＋3
＝－＋3＝2＋3＝5.
11．(2022·菏泽模拟)已知函数f(x)＝，则f(x)的图象可能为(　　)


答案　C
解析　f(x)的定义域为{x|x≠±1}，
因为f(－x)＝
＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除AD；
当x>0且x≠1时，f(x)＝，
当0 ex－e－x＝>0，
所以f(x)<0，所以排除B.
12．(2022·湖北四校联考)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A．f(0)＝2
B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．f(x)<1的解集为(－1,1)
D．若f(x)＝3，则x的值是1或
答案　B
解析　因为f(x)＝函数f(x)的图象如图所示，

由图可知f(0)＝0，故A错误；
f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；
由f(x)<1解得x∈(－∞，－1)∪(－1,1)，故C错误；
f(x)＝3，即
解得x＝，故D错误．
13．(多选)(2022·盐城模拟)已知函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有(　　)
A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称
B．g(2 023)＝0
C．g(x)的最小正周期为4
D．对任意x∈R都有f(2－x)＝f(x)
答案　ABD
解析　由题意知，f(x)的对称中心为(0,0)，对称轴为x＝1，
则f(x)也关于直线x＝－1对称，且f(x)＝f(2－x)，A，D正确；
由A分析知f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，
故f(2＋x)＝－f(x)，
所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
所以f(x)的周期为4，
则g(2 023)＝f(2 024)＝f(0)＝0，B正确；
但不能说明f(x)的最小正周期为4，C错误．
14．(2022·重庆模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋a，则函数f(x)与函数g(x)＝的图象在[－2 020，2 022]上所有交点的横坐标之和为(　　)
A．2 020 B．1 010
C．1 012 D．2 022
答案　A
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝a＝0，
即当x∈[0,2]时，f(x)＝x2，
由已知f(x)＝f(4－x)＝－f(x－4)，
所以f(x－4)＝－f(x－8)，f(x)＝f(x－8)，
故f(x)是T＝8的周期函数，且对称轴为x＝2，
又g(4－x)＝＝＝g(x)，
即g(2＋x)＝g(2－x)，
所以函数g(x)＝关于x＝2对称，
如图是函数f(x)和函数g(x)在[－6,10]上的图象，

在区间[2,2 022]上，包含了函数f(x)中的252个周期再加上个周期，
在区间[－2 020,2]上，包含了函数f(x)中的252个周期再加上个周期，
所以函数f(x)和函数g(x)在[－2 020,2]和[2，2 022]上都有252×2＋1＝505(个)交点，
根据对称性可得所有交点的横坐标之和为505×4＝2 020.
15．(2022·菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数______________________
__________________________．
①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x)为偶函数．
答案　f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)(答案不唯一)
解析　若满足①对任意的x1，x2≥0有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，
则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；
若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，
所以满足①②两个条件的非常数函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)．
16．(2022·长春模拟)已知函数f(x)＝x3＋2x－2sin x，则不等式f(6－5x)＋f(x2)≤0的解集为________．
答案　[2,3]
解析　由题意知，f(－x)＝－x3－2x＋2sin x＝－f(x)，且f(x)的定义域为R，
故f(x)为奇函数，
又f′(x)＝3x2＋2(1－cos x)≥0，f(x)在定义域上单调递增，
∴f(6－5x)＋f(x2)≤0，
可得f(x2)≤－f(6－5x)＝f(5x－6)，
即x2≤5x－6，
∴x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)≤0，
解得2≤x≤3，
∴原不等式解集为[2,3].

[考情分析]　以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性、周期性、分段函数求值或分段函数中参数的求解以及函数图象的识别，多以选择题、填空题的形式考查，难度属中档及以上．
一、函数的概念与表示
核心提炼
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
练后反馈
题目
1
8
9
12





正误









错题整理：

二、函数的性质
核心提炼
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
练后反馈
题目
3
4
5
6
7
10
13
14
15
16
正误










错题整理：

三、函数的图象
核心提炼
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．由函数的解析式判断其图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，以及利用函数图象上的特殊点排除不符合要求的图象．
练后反馈
题目
2
11







正误









错题整理：


1．[T2补偿](2022·重庆模拟)已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则y＝f(x)的解析式可能是(　　)

A．y＝－xcos x
B．y＝
C．y＝
D．y＝sin x＋xcos x
答案　A
解析　由函数图象知函数关于原点对称，为奇函数，可以排除选项B；
其余选项都为奇函数．
对于选项D，当x＝π时，y＝－π，选项D错误；
对于选项C，x≠0，故选项C错误；
对于选项A，当x∈时，y<0，
当x＝π时，y＝π，故选项A最有可能正确．
2．[T4补偿](2022·六安模拟)已知f(x)＝ex－e－x－x，x∈R，则不等式f(2a＋1)＋f(2－a)>0的解集是(　　)
A．(－3，＋∞) B．(－∞，－3)
C. D.
答案　A
解析　f′(x)＝ex＋e－x－1＝－1≥2－1>0(当且仅当x＝0时等号成立)，
则f(x)在R上单调递增，
又f(－x)＝e－x－e－(－x)－(－x)＝e－x－ex＋x＝－(ex－e－x－x)＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)，
则f(x)为R上的奇函数
故原不等式转化为f(2a＋1)>f(a－2)，
即2a＋1>a－2，即a>－3.
3．[T6补偿](2022·淮南模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f 为偶函数且f(1)＝3，则f(2 021)＋f(2 022)等于(　　)
A．－3 B．－5
C．3 D．6
答案　A
解析　因为f 为偶函数，
所以函数f(x)关于直线x＝对称，
则有f ＝f(－x)，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，
所以f ＝－f(x)，
所以f(3＋x)＝f(x)，
所以f(x)是以3为周期的周期函数，
故f(2 021)＝f(3×674－1)＝f(－1)
＝－f(1)＝－3，f(2 022)＝f(0)＝0，
所以f(2 021)＋f(2 022)＝－3.
4．[T13补偿](多选)(2022·东北育才学校模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上单调递增，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)是周期函数
B．f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．f(x)在[1,2]上单调递减
D．f(2)＝f(0)
答案　ACD
解析　令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，
所以f(0)＝0，
令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是周期函数，4是它的一个周期，A正确；
f(2＋x)＝f(－2＋x)＝－f(2－x)，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，B错误；
f(1＋x)＝－f(－1＋x)＝f(1－x)，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
又f(x)在[－1,0]上单调递增，
因此f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在[1,2]上单调递减，C正确；
f(2)＝－f(0)＝0，D正确．
5．[T14补偿](2022·张家口模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对x∈R，有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log241)＝________.
答案　
解析　由题意知，f(x＋2)＝－f(x)，
则f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数，
又由5 得f(log241)＝f(log241－4)
＝－f(log241－6)＝f(6－log241)．
∵6－log241∈(0,1)，
故f(6－log241)＝－1＝－1＝.
6．[T16补偿](2022·广州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x)．若x>0时，f′(x)>2x，则不等式f(2x)－f(x－1)≤3x2＋2x－1的解集为______．
答案　
解析　∵f′(x)>2x，
∴f′(x)－2x>0，
∴[f(x)－x2]′>0，
∴g(x)＝f(x)－x2在[0，＋∞)上单调递增，且g(x)为偶函数，
由f(2x)－f(x－1)≤3x2＋2x－1，
得f(2x)－(2x)2≤f(x－1)－(x－1)2，
∴|2x|≤|x－1|，解得－1≤x≤，
∴不等式的解集为.