新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练小题满分练1（含解析）

小题满分练1

一、单项选择题

1．(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　)

A．{x|0≤x<2}

B.

C．{x|3≤x<16}

D.

答案　D

解析　因为M＝{x|<4}，

所以M＝{x|0≤x<16}；

因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝.

所以M∩N＝.

2．(2022·漳州质检)已知z＝|i－1|＋，则在复平面内z对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　D

解析　∵z＝|i－1|＋

＝＋

＝2＋＝－i，

∴在复平面内z对应的点为，位于第四象限．

3．“∀x≥0，a≤x＋”的充要条件是(　　)

A．a>2   B．a≥2

C．a<2   D．a≤2

答案　D

解析　∵x≥0，

∴x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2，

当且仅当x＋2＝，即x＝0时取等号，∴a≤2.

4．(2022·温州质检)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最大的一份为(　　)

A．35  B.  C.  D．40

答案　C

解析　根据题意设每人所得面包为a1，a2，…，a5，成等差数列且依次增大，

则有

所以a3＋a4＋a5＝7(a1＋a2)，

可得8(a1＋a2)＝100，

化简得

设公差为d，

所以

所以a1＝，d＝，

所以a5＝＋4×＝.

5．(2022·新高考全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　)

A．12种  B．24种  C．36种  D．48种

答案　B

解析　先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24(种)．

6．(2022·茂名模拟)已知0<α<，sin＝，则的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　因为sin＝，

所以(cos α－sin α)＝.

所以cos α－sin α＝，

所以1－2sin αcos α＝，

得sin αcos α＝，

因为cos α＋sin α＝＝，

所以＝＝＝＝.

7．(2022·南通模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足＝2，则双曲线的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D．2

答案　B

解析　设P在渐近线y＝－x上，F(－c,0)，

则直线FP的方程为y＝(x＋c)，

由得

即P，由＝2，

得Q，

因为Q在双曲线上，所以－＝1，

化简得c2＝2a2，e＝＝.

8．(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)＝x(ex－e－x)＋x2，若f(x)<f(y)<f(x＋y)，则(　　)

A．xy>0   B．xy<0

C．x＋y>0   D．x＋y<0

答案　A

解析　由题意得函数的定义域为R.

f(－x)＝－x(e－x－ex)＋x2＝x(ex－e－x)＋x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．

当x>0时，f′(x)＝ex－＋xex＋xe－x＋2x，

因为x>0，所以f′(x)>0，

所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

因为函数f(x)是偶函数，

所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减．

则由已知f(x)<f(y)<f(x＋y)，

得f(|x|)<f(|y|)<f(|x＋y|)，

所以|x＋y|>|y|>|x|，(*)

可知x，y同号，故A正确，B错误；

对于C，当x＝－1，y＝－2时，x＋y＝－3，满足(*)式，此时x＋y<0，故C错误；

对于D，当x＝1，y＝2时，x＋y＝3满足(*)式，此时x＋y>0，故D错误．

二、多项选择题

9．(2022·济南质检)为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间(单位：分钟)进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：

下列说法正确的是(　　)

A．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30

B．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72

C．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小

D．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大

答案　AC

解析　A项，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30，故A正确；B项，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B错误；C项，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差为72－30＝42，班级乙的极差为90－30＝60，所以班级甲的极差小于班级乙的极差，故C正确；D项，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D错误．

10．(2022·长沙十六校联考)下列不等式成立的是(　　)

A．log2(sin 1)>2sin 1   B.2<

C.－<－2   D．log43<log65

答案　BCD

解析　∵sin 1∈(0,1)，

∴log2(sin 1)<0,2sin 1>1，

∴log2(sin 1)<2sin 1，故A不正确；

∵0<2<1，>1，

∴2<，故B正确；

要判断－<－2，

即判定＋2<＋，

即判定(＋2)2<(＋)2，

即11＋4<11＋2，即4<2，

即28<30成立，故C正确；

∵log43＝1＋log4，

log65＝1＋log6，

∵log4<log4，且log4<log6，

∴log4<log6，

∴log43<log65，故D正确．

11．(2022·衡水中学模拟)已知函数f(x)＝sin x·(cos 2xcos x＋sin 2xsin x)，x∈R，下列关于函数f(x)性质的结论中正确的是(　　)

A．函数f(x)的值域是[－1,1]

B．直线x＝－是函数f(x)的一条对称轴

C．函数h(x)＝f(x)－x在内有唯一的极小值－－

D．函数f(x)向左平移个单位长度后所得函数g(x)的一个对称中心为

答案　BC

解析　∵f(x)＝(cos 2xcos x＋sin 2xsin x)sin x＝cos xsin x＝sin 2x.

对于A，函数f(x)的值域为，

故A错误；

对于B，函数f(x)的对称轴为2x＝kπ＋，x＝＋，k∈Z，当k＝－1时，x＝－，故B正确；

对于C，h(x)＝sin 2x－x，

h′(x)＝cos 2x－，

令h′(x)＝0，得x＝kπ±，k∈Z，

令h′(x)>0，得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，

令h′(x)<0，得kπ＋<x<kπ＋，k∈Z，

当x＝时，h(x)有极小值h＝－－，故C正确；

对于D，g(x)＝sin 2＝sin，

令2x＋＝kπ，k∈Z，

则x＝－，k∈Z，

其对称中心为，k∈Z，

故D错误．

12．(2022·聊城质检)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为侧面BCC1B1(不含边界)内的动点，Q为线段A1C上的动点，若直线A1P与A1B1的夹角为45°，则下列说法正确的是(　　)

A．线段A1P的长度为

B.A1Q＋PQ的最小值为1

C．对任意点P，总存在点Q，使得D1Q⊥CP

D．存在点P，使得直线A1P与平面ADD1A1所成的角为60°

答案　ABC

解析　建立如图所示的空间直角坐标系，

根据题意，可得D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，

C(0,1,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，

C1(0,1,1)．

设点P(x1，1，z1)，Q(x2，y2，z2)，

则有＝(x1－1,1，z1－1)，

＝(0,1,0)，

由直线A1P与A1B1的夹角为45°，

故有cos ＝，

解得(x1－1)2＋(z1－1)2＝1，

又Q为线段A1C上的动点，

设＝λ(0≤λ≤1)，

则Q(1－λ，λ，1－λ)，

对于选项A，则有

||＝＝，

故选项A正确；

对于选项B，过点Q作平面ABCD的垂线，垂足为R.易知A1Q＝1－QR

，

故A1Q＋PQ的最小值等价于求QP－QR＋1，

||＝1－λ，

||＝，

故有||2＝(1－λ－x1)2＋(λ－1)2＋(1－λ－z1)2≥(λ－1)2＝||2，

当且仅当x1＝z1＝1－λ时成立，

结合(x1－1)2＋(z1－1)2＝1，

可得此时λ＝，故选项B正确；

对于选项C，若D1Q⊥CP，

则有＝(1－λ，λ，－λ)，＝(x1，0，z1)，

·＝x1(1－λ)－z1λ＝0，

又(x1－1)2＋(z1－1)2＝1，

则有z＋z1＋1＝0，

0≤λ≤1，

则有Δ＝2－4＝－≥0，

故对任意点P，总存在点Q，使得D1Q⊥CP，故选项C正确；

对选项D，易知平面ADD1A1的一个法向量为n＝(0,1,0)，若直线A1P与平面ADD1A1所成的角为60°，

即直线A1P与平面ADD1A1的法向量的夹角为30°，则有cos ＝，

解得＝，矛盾，故选项D错误．

三、填空题

13．(2022·济南模拟)曲线f(x)＝ln 2x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为________________．

答案　y＝3x＋ln 2－2

解析　∵f′(x)＝·(2x)′＋2x＝＋2x，

∴k＝f′(1)＝3，

又f(1)＝1＋ln 2，

∴切线方程为y－(1＋ln 2)＝3(x－1)，

即y＝3x＋ln 2－2.

14.(2022·苏州四校联考)如图，在△ABC中， AB＝4，AC＝2，点E，F分别是AB，AC的中点，则(＋)·＝________.

答案　6

解析　∵＝－，＝－，

∴＋＝－(＋)，

∴(＋)·＝－(＋)·(－)

＝(2－2)＝6.

15．已知函数f(x)＝又函数g(x)＝f(x)－t有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x1·x2·x3·x4的取值范围是__________．

答案　

解析　作出f(x)的图象如图所示，

由图可得，t∈(0,1)，x3∈，x3＋x4＝6，

由|log2x|＝t得，x1x2＝1.

因此x1·x2·x3·x4＝x3(6－x3)，

令y＝x3(6－x3)，

则y＝x3(6－x3)在上单调递增，

∴y∈.

16.克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长度最大时，∠AOC＝______.

答案　60°

解析　因为OB·AC＋OA·BC≥OC·AB，且△ABC为等边三角形，OB＝1，OA＝2，

所以OB＋OA≥OC，所以OC≤3，所以OC的最大值为3，

当不等式OC≤3取等号时，

∠OBC＋∠OAC＝180°，

所以cos∠OBC＋cos∠OAC＝0，不妨设AB＝x，

所以＋＝0，解得x＝，

所以cos∠AOC＝＝，所以∠AOC＝60°.