湘教版高中数学选择性必修第四单元第一册章末检测卷（含答案）

第4章 章末检测卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（  ）

A.120种            B.90种            C.60种            D.30种

2.的展开式中x4的系数为（  ）

A.10                 B.20              C.40               D.80

3.如图所示，若从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的情况有（  ）

（第3题）

A.3种               B.5种              C.7种              D.9种

4.已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（  ）

A.4                  B.5                 C.6                D.7

5.有5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法种数是（  ）

A.40                  B.36                C.32                D. 24

6.将多项式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得（）（）5，则a5＝（  ）

A.8                 B.10                 C.12                 D.1

7.如图所示是由6个正方形拼成的矩形，从图中的12个顶点中任取3个顶点作为一组.其中可以构成三角形的组数为（  ）

（第7题）

A.208                B.204                   C.200                D.196

8.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙3人加入队列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为（  ）

A.120                B.240                C.360                D.480

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列有关排列数、组合数的计算，正确的是（  ）

A.                           B.（n+2）（n+1）＝

C.C23+C24+C25+…+C2100＝C3101         D.是一个常数

10.（）（）4的展开式中含x3项的系数为2，则a的值为（  ）

A.1                B.                 C.               D.

11.已知的展开式中第3项与第2项系数的比是4，则展开式中x的有理项有（  ）

A.84x2             B.                C.                 D.x3

12.设f（n）＝（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P.以下结论正确的是（  ）

A. f（4）具有性质P

B. f（7）具有性质P

C.若存在，使f（n）具有性质P，则n的最大值为1 934

D.若存在，使f（n）具有性质P，则n的最大值为1 936

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.杨辉是我国南宋时期的一位杰出的数学家，在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称为“杨辉三角”.若用ai-j表示三角形数阵的第i行第j个数，则a50-3+a50-4等于         （用数字作答）.

（第13题）

14.中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等，学校图书馆计划将这四本书借给三名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有         种（用数字作答）.

15. 在二项式（+x）9的展开式中，常数项是         ，系数为有理数的项的个数是         .

16.某班共有40名学生.某次考试中，甲、乙、丙3位同学的成绩都在班级前10名.甲的成绩比乙高，乙的成绩比丙高，全班没有并列名次.如果把甲、乙的成绩排名依次作为横坐标x、纵坐标y，那么这样的点坐标共有         个.

四、解答题（本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）

17.（10分）已知（ax+1）5的所有项的系数的和为64，求展开式中x3项的系数.

18.（12分）已知三个条件：①只有第八项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数之和为414，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.

设二项式，若其展开式中，          ，是否存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项？

19.（12分）为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程.

（1）若体验课程连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；

（2）若甲、乙、丙、丁、戊五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数.

20.（12分）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？

（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；

（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；

（3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒.

21.（12分）已知m，n是正整数，f（x）＝（1+x）m+（1+x）n的展开式中x的系数为7.

（1）对于使f（x）展开式中的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；

（2）已知（1+2x）8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求.

22.（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）既要有队长，又要有女运动员.

第4章 章末检测卷

参考答案

1.C    2.C    3.B    4.C    5.B    6.A    7.C    8.C    9.BD    10.AD    11.AB    12.BC

13.19 600     14.36     15.  5     16.120

17. 解：令x＝1，得2×（a+1）5＝64，解得a＝1，

所以（x+1）5的展开式的通项Tr+1＝x5-r，

分别取与，得r＝3，r＝1，

所以（x+1）5的展开式中含有x2的项的系数为，含有x4的项的系数为，

所以展开式中x3项的系数为+＝15.

18. 解：若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，即最大，

由二项式系数的性质可得n＝14；

若选填条件③，即各项系数之和为414，则4n＝414，即n＝14.

二项式展开式的通项Tk＝·（）15-k ·＝3k-1··.

由，即存在整数k＝3，使得Tk是展开式中的常数项.

若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为47，则2n-1＝47＝214，所以n＝15.

二项式展开式的通项Tk＝·（）16-k·＝3k-1··.

由，得k＝.

即不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项.

19. 解：（1）当“射”排在最后一周时，有＝5×4×3×2×1＝120（种）排法；

当“射”不排在最后一周且“数”不排在最后一周时，有＝4×4×4×3×2×1＝384（种）排法，

共有120+384＝504（种）.

所以“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的排法有504种.

（2）当甲只任教1科时，有＝＝1 200（种）排法；

当甲任教2科时，有＝×4×3×2×1＝240（种）排法，

共有1 200+240＝1 440（种）不同排法.

所以甲不任教“数”的课程安排方案有1 440种.

20. 解：（1）甲、乙2人必须跑中间两棒，则他们本身有一个全排列，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，

根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为＝60.

（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒，则需要从甲、乙2人中选出1人，有种选法，

然后在第一棒和第四棒中选一棒，有种结果，另外6人中要选3人在剩余的三个位置上排列，

根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为＝480.

（3）甲、乙作为一个整体，从余下的6人中选2人，相当于3个人在三个位置上排列，

则不同的排法种数为＝180.

21. 解：（1）根据题意，得+＝7，即m+n＝7，

f（x）中的x2的系数为+＝+＝.

将①变形为，代入②式，

得x2的系数为m2＝+，

故当m＝3或m＝4时，x2的系数取得最小值9.

当m＝3，n＝4时，x3的系数为+＝5；

当m＝4，n＝3时，x3的系数为+＝5.

（2）由题意可得a＝＝70，再根据即得r＝5或r＝6，

此时b＝1 792＝7×28，所以＝.

22. 解：（1）第一步：选3名男运动员，有种选法；

第二步：选2名女运动员，有种选法.

故共有·＝120种选法.

（2）（方法一：直接法）“至少有1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.

由分类加法计数原理知，共有····＝246种选法.

（方法二：间接法）不考虑条件，从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种，

故“至少有1名女运动员”的选法有＝246种.

（3）当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法；

不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，

故不选女队长时共有（）种选法.

所以既有队长又有女运动员的选法共有＝191种.