新教材2023版高中数学第4章计数原理章末复习课学案湘教版选择性必修第一册

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章末复习课知识网络·形成体系本章自我梳理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点聚焦·分类突破考点一　两个计数原理的综合应用(1)应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成事件，能完成便是分类，否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时，应注意层次分明，不重不漏．(2)通过对两个计数原理的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例1　(1)某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)A．14　　　B．16　　　C．20　　　D．48(2)如图，一个地区分为5个行政区域，现给区域着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)考点二　排列组合应用1．处理排列组合应用题的一般步骤：(1)认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题．(2)抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”2．排列组合应用题的常见类型和解决方法：(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略．(2)合理分类与准确分步的策略．(3)正难则反，等价转化的策略．(4)相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的策略．(5)元素定序，先排后除的策略．(6)排列、组合混合题先选后排策略．(7)复杂问题构造模型策略．3．通过对排列组合应用的掌握，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例2　用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的五位数，其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数有多少个？例3　在某贫困村举行的一次脱贫攻坚文艺汇报活动中有6个演唱节目，4个舞蹈节目．(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？例4　从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？ (1)A，B，C三人至少一人入选； (2)A，B，C三人至多二人入选. 例5　现有4个不同的球和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)共有多少种不同的放法？(2)若每个盒子不空，共有多少种不同的放法？(3)若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？(4)若恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？考点三　二项式定理的应用(1)对于二项式定理的考查常出现两类问题：一类是直接运用通项公式来求特定项；另一类需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题．(2)通过对二项式定理的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例6　(1)(2x－)7展开式中x－2的系数为(　　)A．－14　　B．14 C．－84　　D．84(2)已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)A．－80　　B．－40 C．40　　D．80(3)[2022·湖南师大附中测试]()2n(n∈N*)展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为________．例7　(1)设(x2＋1)(2x＋1)9＝＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为________．(2)设(2－x)100＝，求下列各式的值．①a1＋a3＋a5＋…＋a99；②(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；③|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.章末复习课例1　解析：(1)分两类，第1类：甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人来自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理，得N1＝2×6＝12；第2类：3人全来自其余4家企业，有N2＝4种情况．综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16(种)情况．(2)涂①有4种方法；涂②有3种方法；涂③有2种方法；涂④时分两类：当④与②同色时，④有1种方法，⑤有2种方法；当④与②不同色时，④有1种方法，⑤有1种方法．∴共有4×3×2×(1＋2)＝72种涂法．答案：(1)B　(2)72例2　解析：第一步：先将两个偶数排好，有第二步：两个偶数之间的奇数，可以有第三步：将两个偶数和它们中间的奇数捆在一起，与另外两个奇数排列，有种不同的排法．由分步乘法计数原理，适合题意的五位数共有＝36个．例3　解析：(1)第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有＝5 040(种)方法；第二步，再松绑，给4个节目排序，有＝24(种)方法．根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)．(2)第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，一共有＝720(种)排法．第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有＝7×6×5×4＝840(种)．根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800(种)．(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝＝132(种)排法．例4　解析：(1)解法一　(直接法)可分三类，①A，B，C三人只选一人，有A，B，C三人中选择二人，则还需从其余9人中选3人，有＝36种，所以A，B，C三人至少一人入选，共有378＋252＋36＝666种选法．解法二　(间接法)先从12人中任选5人，再减去A，B，C三个都不选的情况，共有＝666种．(2)解法一　(直接法)可分三类，①A，B，C三人都不入选，有A，B，C三人中选二人，有种，所以A，B，C三人至多二人入选，共有＝756种选法．解法二　(间接法)先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人均入选的情况，即A，B，C三人至多二人入选，有＝756种选法．例5　解析：(1)将4个不同的球放入4个不同的盒子，则共有44＝256(种)不同的放法．(2)将4个不同的球放入4个不同的盒子，若每个盒子不空，则共有＝24(种)不同的放法．(3)将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有一个盒子不放球，则共有＝144(种)不同的放法．(4)将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有两个盒子不放球，则共有)＝84(种)不同的放法．例6　解析：(3)由已知(n∈N＋)展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项，所以2n＝10，即n＝5，又展开式的通项为Tr＋1＝)10－r·＝，令5－r＝0，解得r＝6，所以展开式的常数项为＝＝210.答案：(1)B　(2)D　(3)210例7　解析：(1)令x＋2＝1，即令x＝－1得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝[(－1)2＋1]·[2×(－1)＋1]9＝－2.(2)①令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100，与(*)式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝.②原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1.③因为Tr＋1＝2100－r()rxr，所以a2r－1<0(r∈N＋)．所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.