2022-2023学年湘教版2019必修一第四章 计数原理 单元测试卷(word版含答案)

第四章 计数原理 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)为促进中学生综合素质全面发展，某校开设了5个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有(   ).

A.60种 B.120种 C.125种 D.243种

2、(4分)某市近几年大力改善城市环境，全面实现创建生态园林城市计划，现省专家组评审该市是否达到“生态园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家至少有一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有(   ).

A.70种 B.55种 C.40种 D.25种

3、(4分)树人中学6名学生进入学校绘画比赛决赛，赛后甲、乙、丙三人去咨询比赛成绩，老师说：“甲是6人中的前两名，乙不是6人中最好的，丙不是6人中最差的，而且6人的成绩各不相同．”根据老师的回答分析，6人的名次排列可能种数是(   )

A. 96种 B. 174种 C. 252种 D. 504种

4、(4分)甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》，《星火》的票价为50元／人，每人限购一张票，甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞，他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态（   ）

   A．720     B．360     C．180       D．90

5、(4分)在的展开式中,项的系数与项的系数之比为1:2,则项的系数为(   )

A.84 B.63 C.42 D.21

6、(4分)已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结A论正确的是（    ）

A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为

C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为

7、(4分)电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是(   )

A.8 B.12 C.16 D.20

8、(4分)已知二项式的展开式中，项的系数为40，则 (   )

A.2 B. C.2或  D.4

9、(4分)把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为(   )

A.96 B.240 C.280 D.480

10、(4分)2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有(   )

A.24 B.48 C.144 D.240

二、填空题(共25分)

11、(5分)若 展开式中 的系数为 30 , 则 __________.

12、(5分)若的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于__________.

13、(5分)在的展开式中的系数为_______.

14、(5分)已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________．

15、(5分)已知等比数列的第5项是二项式展开式中的常数项，则________.

三、解答题(共35分)

16、(8分)男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）队长中至少有1人参加；

（3）既要有队长，又要有女运动员.

17、(9分)已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.

(1)求展开式中的系数；

(2)求展开式中系数绝对值最大的数；

(3)求的值.

18、(9分)规定，其中,，且，
这是组合数的一种推广.
（1）求的值.
（2）组合数具有两个性质：①；②.这两个性质是否都能推广到？若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由.

19、(9分)已知的展开式中各项的二项式系数之和为32.

（1）求n的值；

（2）求的展开式中项的系数；

（3）求展开式中的常数项.

参考答案

1、答案：C

解析：由题意知，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，所以每个人有5种选择，则不同的报名方式共有(种)，故选C.

2、答案：B

解析：8人中选4人的方式有种，甲、乙均不选的方式有种，则不同的方式共有种.

3、答案：B

解析：(1) 当甲排在第一名, 若乙在最后一名, 则有 种; 若乙不在最后一名, 则有 种;
(2) 当甲排在第二名, 若乙在最后一名, 则有 种; 若乙不在最后一名, 则有 种: 故共有 种. 故选 B.

4、答案：C

解析：如果售票处不出现找不出钱的状态，那么收到的钞票顺序可以是：

（50,50,50,100,100,100），

（50,50,100,50,100,100），

（50,50,100,100,50,100），

（50,100,50,50,100,100），

（50,100,50,100,50,100），

共5种，故六人共有有种不同的排队顺序符合要求.

5、答案：A

解析：本题考查二项式定理.展开式的通项为,所以项的系数为项的系数为,则由题意知,解得,所以项的系数为,故选A.

6、答案：D

解析：

7、答案：C

解析：四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故.故选：C.

8、答案：C

解析：由,令,解得,所以项的系数为,，解得

9、答案：B

解析：因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，

又分给甲、乙、丙、丁四个人，

则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有种，

然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有种，

所以不同的分法种数为，

故选：B.

10、答案：C

解析：将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“雨水”、“谷雨”一起排列，然后将“清明”与“惊蛰”两块展板插空，

所以不同的放置方式种数有种.

故选：C.

11、答案：1

解析： 展开式中 的系数为, 解得

12、答案：11或12或13

解析：因为第7项的二项式系数最大，

所以，即，

解得，又n为正整数，

所以n的可能取值为11、12、13.

故答案为：11或12或13.

13、答案：280

解析：二项式的展开式通项为，，，由解得，，所以展开式中的系数为280.

14、答案：

解析：

15、答案：3600

解析：二项式展开式的通项公式为.

令，，故展开式的常数项为，.由题意可得，等比数列的第5项为展开式的常数项，即，.

16、答案：(1)

(2)

(3)

解析：(1)分两步完成：

第一步，选3名男运动员，有种选法；

第二步，选2名女运动员，有种选法.由分步乘法计数原理可得，共有(种)选法.

(2)方法一(直接法)可分类求解：

“只有男队长”的选法种数为；

“只有女队长”的选法种数为；

“男､女队长都入选”的选法种数为，

所以共有(种)选法.

方法二(间接法)从10人中任选5人有种选法，

其中不选队长的方法有种.所以“至少有1名队长”的选法有(种).

(3)当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；

当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种.

所以既要有队长又要有女运动员的选法共有(种).

17、答案： (1) (2) (3)

解析：(1)由

∴通项，

令.

∴展开式中的系数为.

(2)设第项系数的绝对值最大，

则

所以.

∴系数绝对值最大的项为:

(3)原式

18、答案：（1）由题意得.
（2）性质①不能推广，如当时，有意义，但无意义.
性质②能推广，它的推广形式是.
证明如下：
当时，有；
当时,有




.
综上，性质②的推广得证.

解析：

19、答案：（1）由题意结合二项式系数的性质可得，解得.

（2）由（1）得，的通项为，

令，得，

所以的展开式中的系数为.

（3）由（2）知，的展开式的通项为，

令，得；

令，得，

故展开式中的常数项为.

解析：