湘教版高中数学选择性必修第一册第一单元章末检测卷（含答案）
展开第1章 章末检测卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在正项等比数列{an}中，若a3a7a8＝8，a2+a10＝5，则公比q＝（ ）
A. B. 或 C. D. 或
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a4-a2＝3，则S11＝（ ）
A. 30 B. 33 C. 36 D. 66
3. 数列中，，且求（ ）
A.8 B.12 C.16 D.24
4.已知数列{an}，其通项公式为an＝，则其前n项和Sn取最小值时n的值为（ ）
A. 4 B. 5或6 C. 6 D. 5
5.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中有一道“两鼠穿墙”问题，大意为：有墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问两鼠相遇在（ ）
A. 第2天 B. 第3天 C. 第4天 D. 第5天
6.已知数列{an}满足（n+2）an+1＝（n+1）an，且a2＝，则an＝（ ）
A. B. C. D.
7.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.令bn＝，则数列{bn}的前50项和T50＝（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数满足，若数列满足，则数列的前项的和为（ ）
A.230 B.115 C.110 D.100
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 设等差数列的前项和为，公差.若成等比数列，则（ ）
有最小值，最小值为
有最大值，最大值为
10.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0，公差d≠0，则下列命题正确的是（ ）
A. 若S5＝S9，则必有S14＝0 B. 若S5＝S9，则必有S7是{Sn}中最大的项
C. 若S6>S7，则必有S7>S8 D. 若S6>S7，则必有S5>S6
11.在数列{an}中，若-＝p（n≥2，n∈N+，p为常数），则{an}称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的为（ ）
A. 若{an}是等方差数列，则{}是等差数列
B. 若{an}是等方差数列，则{}是等方差数列
C. 数列{（-1）n}是等方差数列
D. 若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N+，k为常数）也是等方差数列
12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝4a1，a2是a1+1与a3的等差中项，数列{bn}满足bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列命题正确的是（ ）
A. 数列{an}的通项公式为an＝2×3n-1
B. Sn＝3n
C. 数列{bn}的通项公式为bn＝
D. Tn的取值范围是
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+1+λ，则a1+λ＝ .
14.用数学归纳法证明++…+>.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k+1时，应推证的目标不等式是 .
15.已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9（n＝1，2，…）.给出下列四个结论：①{an}的第2项小于3；
②{an}为等比数列；③{an}为递减数列；④{an}中存在小于的项.其中所有正确结论的序号是 .
16．已知数列满足，且，则的通项公式________.
四、解答题（本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）
17.（10分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+1＝4an+2（n∈N+），且a1＝1.
（1）若cn＝，求证：数列{cn}是等差数列.
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
18.（12分）已知等比数列{an}的公比为2，且a3，a4+4，a5成等差数列.
（1）求{an}的通项公式.
（2）设{an}的前n项和为Sn，且Sn＝62，求n的值.
19. （12分）已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4+b4＝27，S4-b4＝10.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
20. （12分）问题：设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6， .
下列三个条件：①a2，a4，a8成等比数列；②S4＝5a2；③（n+1）an＝nan+1.从上述三个条件中，任选一个补充在上面的问题中，并解答.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝，数列{bn}的前n项和为Kn，求证：Kn<.
21. （12分）是否存在a，b，c使等式+++…+＝对一切n∈N+都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论.
22. （12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝-，且4Sn+1＝3Sn-9（n∈N+）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足3bn+（n-4）an＝0（n∈N+），记{bn}的前n项和为Tn，若Tn≤λbn对任意n∈N+恒成立，求实数λ的取值范围.
第1章 章末检测卷
参考答案
1. D 2. B 3. B 4. B 5. B 6. D 7. D 8. B
9. AB 10. ABC 11. ACD 12. ABD
13. 3 14. ++…++> 15. ①③④ 16.
17. （1）证明：因为数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+1＝4an+2（n∈N+），
则Sn＝4an-1+2，所以an+1＝4an4an-1，
整理得+＝+＝，
所以cn-1+cn+1＝2cn，
所以数列{cn}是等差数列.
（2）解：因为S2＝4a1+2，a1＝1，所以a2＝3a1+2＝5.
因为数列{cn}是等差数列，且c1＝＝，c2＝＝，
所以公差为，所以cn＝，所以an＝cn·2n＝·2n，
则Sn+1＝4an+2＝（3n-1）·2n+2，
所以Sn＝（3n-4）·2n-1+2.
18. 解：（1）由题意知{an}是公比为2的等比数列，
故a3＝a1q2＝4a1，a4＝8a1，a5＝16a1.
依题意，得2（a4+4）＝a3+a5，即2（8a1+4）＝4a1+16a1，
整理得4a1＝8，解得a1＝2.
故数列{an}的通项公式为an＝2n.
（2）根据（1）可知Sn＝a1·＝2·＝2n+1
故2n+1，整理得2n+1＝64，解得n＝5.
故n的值是5.
19. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
由a1＝b1＝2，得a4＝2+3d，b4＝2q3，S4＝8+6d.
联立解得
所以an＝3n，bn＝2n.
（2）由题意可得
Tn＝（）·21+（）·22+（）·23+…+（）·2n，①
2Tn＝（）·22+（）·23+（）·24+…+［3（n）］·2n+（）·2n+1，②
①②，得-Tn＝2×213×223×233×2n（）·2n+1
＝4+3·（）·＝（）·
∴ Tn＝（）·2n+1.
20. （1）解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0）.
选条件①：∵ S3＝6，a2，a4，a8成等比数列，
∴解得
故数列{an}的通项公式为an＝n.
选条件②：∵ S3＝6，S4＝5a2，
∴解得
故数列{an}的通项公式为an＝n.
选条件③：∵ S3＝6，（n+1）an＝nan+1，
∴解得
故数列{an}的通项公式为an＝n.
（2）证明：∵ bn＝＝，
∴ Kn＝+…+ ＝
＝<.
21. 解：存在.
取n＝1，2，3，可得解得
下面用数学归纳法证明+++…+＝＝.
即证12+22+…+n2＝n（n+1）（2n+1）.
①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴ 等式成立；
②假设当n＝k时等式成立，即12+22+…+k2＝k（k+
1）（2k+1）成立，则当n＝k+1时，12+22+…+k2+（k+1）2
＝k（k+1）（2k+1）+（k+1）2＝［k（k+1）（2k+1）+6（k+1）2］
＝（k+1）（2k2+7k+6）＝（k+1）（k+2）（2k+3），
∴ 当n＝k+1时等式成立.
由数学归纳法，综合①②知当n∈N+时等式成立，
故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立.
22. 解：（1）当n＝1时，4（a1+a2）＝3a1，
∴ 4a2＝，∴ a2＝.
当n≥2时，由4Sn+1＝3Sn，①
得4Sn＝3Sn-1，②
①②得4an+1＝3an.
a2＝≠0，∴ an≠0，∴＝.
又＝，∴ {an}是首项为，公比为的等比数列，
∴ an＝·＝·.
（2）由3bn+（）an＝0，得bn＝an＝（n4），
∴ Tn＝3×+0×+…+（n4）·，
Tn＝+0×+…+（n5）·+（n4）·，
两式相减得Tn＝-3×++++…+（n4）·
＝+（n4）·
＝（n4）·
＝n·，
∴ Tn＝.
由Tn≤λbn得4n·≤λ（n4）·恒成立，
即λ（n4）+3n≥0恒成立.
当n＝4时不等式恒成立；
当n<4时，由λ≤＝，得λ≤1；
当n>4时，由λ≥＝，得λ≥.
所以.所以实数λ的取值范围为.
