湘教版高中数学选择性必修第一册第三单元章末检测卷（含答案）

第3章 章末检测卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若双曲线C： -＝1（a>0，b>0）的一条渐近线被以焦点为圆心的圆x2+y2-4x＝0所截得的弦长为，则a＝ （　）

A. 1 B. C. D. 2

2.已知双曲线C： -＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A是双曲线在第一象限的点，若AF1⊥AF2，∠AOF2＝60°，则双曲线C的离心率e＝ （　）

A. B. C. +1 D. +1

3.设A，B为椭圆+＝1（a>b>0）上关于原点对称的两个点，右焦点为F（c，0），若|AB|＝2c，S△ABF≥c2，则该椭圆离心率e的取值范围为 （　）

A. B.   C.  D.

4.抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点为F，过点A（4，）且平行于x轴的直线与线段AF的垂直平分线交于点M，若点M在抛物线C上，则|MF|＝ （　）

A.或　B.或　C. 1或3　D. 2或4

5.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，直线MN过点P（0，2），且MF⊥NF，则|MF|＝ （　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6.已知双曲线-＝1（a>0，b>0）的离心率为，O为坐标原点，右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，△OPF的周长为12，则双曲线的实轴长为 （　）

A. 8 B. 4 C. D. 2

7.已知曲线C上任意一点P（x，y）满足+＝，则曲线C上到直线2x-y-4＝0的距离最近的点的坐标是 （　）

A.      B. C.       D.

8.设椭圆C： +y2＝1（a>1），已知点A（0，1），点P为曲线C上的点，若|AP|的最大值为2，则a的取值范围为 （　）

A. （1，］　B. （1，2］　C. ［，2）　D. （，2］

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知双曲线C： -y2＝1（a>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆（x-2）2+y 2＝1与双曲线C的渐近线相切，则 （　）

A.双曲线C的离心率e＝

B.当点P异于顶点时，△PF1F2的内切圆的圆心总在直线x＝2-上

C. |PA|·|PB|为定值

D. |AB|的最小值为

10.已知双曲线C： -＝1（a>0，b>0）的实轴长为12，焦距为20，左、右焦点分别为F1，F2，下列结论正确的是 （　）

A. 双曲线C的离心率为            B. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x

C. F2到一条渐近线的距离是8        D. 过F2的最短弦长为

11.抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点F，斜率k>0，且交抛物线C于A，B（点A在x轴的下方）两点，抛物线的准线为m，AA1⊥m于A1，BB1⊥m于B1，下列结论正确的是 （　）

A. |AB|＝|FA|·|FB|                   B. 若k＝，则|FA|·|FB|＝12

C. 若|AA1|·|BB1|＝12，则k＝        D. ∠A1FB1＝60°

12.已知椭圆C1： +y2＝1过双曲线C2： -＝1（a，b>0）的焦点，C1的焦点恰为C2的顶点，C1与C2的交点按逆时针方向分别为A，B，C，D，O为坐标原点，则 （　）

A. C2的离心率为                       B. C1的右焦点到C2的一条渐近线的距离为

C. 点A到C2的两顶点的距离之和等于4       D. 四边形ABCD的面积为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知点A（0，），抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶2，则p的值等于　　　　.

14.已知O为坐标原点，A，B分别是双曲线C： -＝1的左、右顶点，M是双曲线C上不同于A，B的动点，直线AM，BM与y轴分别交于点P，Q两点，则|OP|· |OQ|＝　　　　.

15.如图所示，F1，F2分别是双曲线-＝1（a>0，b>0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为　　　　.

16.油液在运输过程中不仅会对底部产生压力，同时会对侧壁产生压力，因为弧形所能承受的压力会比其他形状的压力大，所以油罐车的油罐截面是椭圆（椭圆长轴与油罐底部平面平行），如图.已知解放J6油罐车罐体长 9米，油罐截面长轴长2.4米，短轴长1.6米，当静止状态下所装汽油的高（到油罐底部平面的垂直距离）为1.2米时，此时的油面面积为　　　　平方米.（保留根式）

四、解答题（本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）

17.（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，-2）.

（1）求抛物线C的方程.

（2）已知直线l：y＝-x+m与抛物线C交于A，B两点，在抛物线C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且|QM|＝|QN|，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

18. （12分）已知椭圆C： +＝1（a>0，b>0），离心率为，且点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程.

（2）若椭圆C上的任意一点M（除短轴的端点外）与短轴的两个端点B1，B2的连线分别与x轴交于P，Q两点，求证|OP|·|OQ|为定值.

19. （12分）已知椭圆C： +＝1（a>b>0）过点，椭圆的焦距为2.

（1）求椭圆C的方程.

（2）设直线l过点，且斜率为-（k≠0），若椭圆C上存在A，B两点关于直线l对称，O为坐标原点，求k的取值范围及△AOB面积的最大值.

20. （12分）已知双曲线C： -＝1（a>0，b>0）的实半轴长为1，且C上的任意一点M到C的两条渐近线距离的乘积为.

（1）求双曲线C的方程.

（2）设直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C相交于P，Q两点，问在x轴上是否存在定点D，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直？若存在，求出定点D的坐标；否则，说明理由.

21. （12分）已知动圆E过点F（0，1），且与直线y＝-1相切，设圆心E的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程.

（2）设直线l：y＝kx+1交曲线C于M，N两点，以MN为直径的圆交x轴于E，F两点，若|EF|≥4，求k的取值范围.

22. （12分）如图，已知抛物线T：y2＝2px（p∈ N+）和椭圆C： +y2＝1，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交椭圆C于M，N两点.

（1）若F恰是椭圆C的焦点，求p的值.

（2）若MN恰好被AB平分，求△OAB面积的最大值.

第3章 章末检测卷

参考答案

1. C　2.D　3.A　4.A　5.D　6.A　7.B　8.A　9.ACD10.ACD　11.ABC　12.ACD　

13. 2　 14. 3 　15. +1    16.　

17. 解：（1）设抛物线C的方程为y2＝2px.

由题意可得4＝2p，∴ p＝2，

∴ 抛物线C的方程为y2＝4x.

（2）存在.点Q的坐标为（1，2）.设A（x1，y1），B（x2，y2）.

联立，得方程组得y2+4y-4m＝0.

由Δ＝16+16m>0，∴ m>-1，y1+y2＝-4，y1y2＝-4m.

假设在抛物线C上存在点Q（x0，y0），使得|QM|＝|QN|，

∴＝4x0，且kQM+kQN＝0.

又∵ kQM+kQN＝kQA+kQB＝+＝+＝＝0，

∴ y0＝-＝2，

∴ 存在点Q（1，2），使得|QM|＝|QN|.

18. （1）解：由题设，得可得故椭圆方程为+y2＝1.

（2）证明：由题意，不妨令B1（0，1），B2（0，-1），

设椭圆上任意一点M（x0，y0）（y0≠±1），

∴ 直线B1M的方程为y＝x+1；直线B2M的方程为y＝x-1.

令y＝0，得xP＝，xQ＝，

∴ |OP|·|OQ|＝＝＝4，为定值.

19. 解：（1）∵ 椭圆C： +＝1（a>b>0）过点，椭圆的焦距为2，

∴ 解得a2＝2，b2＝1，

∴ 椭圆C的方程为+y2＝1.

（2）由题意，设直线AB的方程为y＝kx+m（k≠0），A（x1， y1），B（x2，y2），

由整理化简可得（1+2k2）x2+ 4kmx+2m2-2＝0，∴ x1+x2＝-，x1·x2＝.

∵ Δ>0，∴ 2k2+1>m2①，

∴ 线段AB中点的横坐标x0＝-，纵坐标y0＝kx0+m＝.

将x0，y0代入直线l的方程y＝-x-可解得m＝②，

由①②，可得0<k2<，∴ k∈∪.

∵ |AB|＝＝

，

且原点O到直线AB的距离d＝，

∴ S△AOB＝|AB|d＝＝，

∴ 当m＝1时，S△AOB最大，且最大为，此时k＝±，故当k＝±时，S△AOB的最大值为.

20. 解：（1）由题意可得a＝1，

所以双曲线C：x2-＝1，

所以渐近线方程为bx±y＝0.

设M（x0，y0），则×＝，即＝.

因为M（x0，y0）在双曲线上，所以-＝1，

即b2-＝b2，所以＝，解得b2＝3，

所以双曲线C的方程为x2-＝1.

（2）存在.D的坐标为.假设存在D（t，0），使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直，

则可得kPD+kQD＝0，F（2，0）.设P（x1，y1），Q（x2，y2）.

①当l斜率存在时，设直线l：y＝k（x-2），

由可得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3＝0，

所以x1+x2＝，x1x2＝，

所以kPD+kQD＝+＝＝0，

即k（x1-2）（x2-t）+k（x2-2）（x1-t）＝0恒成立，

整理可得k［2x1x2-（t+2）（x1+x2）+4t］＝0，

所以＝0，

即2×-（t+2）×+4t＝0，

所以8k2+6-4k2（t+2）+4t（k2-3）＝0，

所以6-12t＝0，解得t＝，所以.

②当l斜率不存在时，符合题意.

综上，存在定点，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直.

21.  解：（1） 设E （x，y），由题意得E到F的距离与到直线y＝-1的距离相等.由抛物线的定义知曲线C的方程为x2＝4y.

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

由题意可知直线l过x2＝4y的焦点，

由消去x得＝4y，

整理得y2-（4k2+2）y+1＝0，∴ y1+y2＝4k2+2.

∵ MN过x2＝4y的焦点，

∴ 以MN为直径的圆的圆心为，半径为+1.

∵ |EF|＝＝＝≥4，解得k2≥，k≤-或k≥，

∴ k的取值范围是∪.

22. 解：（1）在椭圆中，c2＝a2-b2＝4，所以c＝2.

因为F恰是椭圆C的焦点，所以＝2，所以p＝4.

（2）设直线l：x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），

由得y2-2mpy-p2＝0，

则y1+y2＝2mp，y1·y2＝-p2，则x1+x2＝2m2p+p，

故AB的中点坐标为.

又因为MN恰好被AB平分，

则x3+x4＝2m2p+p，y3+y4＝2mp.

直线MN的斜率等于-m，将M，N的坐标代入椭圆方程得+＝1， +＝1，

两式相减得+（y3+y4）（y3-y4）＝0，

故＝-，即直线MN的斜率等于-，

所以-＝-m，解得m2＝.

由AB的中点在椭圆内，得+（mp）2<1，

解得p2<.

因为p∈N+，所以p的最大值是2，|y1-y2|＝＝＝，

则△OAB的面积＝×|y1-y2|＝＝p2 ≤，

所以当p＝2时，△OAB面积的最大值是.