第1章数列单元测评（湘教版选择性必修第一册）

第1章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2022贵州毕节威宁高一期末)数列,3,,…,则是这个数列的第(　　)

A.8项 B.7项 C.6项 D.5项

2.已知数列{an}是公比为q的等比数列.若2a1=a3a4,且a5是a4与2的等差中项,则q的值是(　　)

A.1 B.2

C.-1或1 D.-2或2

3.在等差数列{an}中,若a2+a6=10,a5=9,则a10= (　　)

A.20 B.24 C.27 D.29

4.Sn为等比数列{an}的前n项和,a1>0,S5<3a1+a2+a4,则公比q的取值范围是(　　)

A.(-1,0) B.(0,1)

C.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)

5.已知两个等比数列{an},{bn}的前n项积分别为An,Bn.若=3,则=(　　)

A.3 B.27

C.81 D.243

6.设等差数列{an}的前n项和是Sn.若a2<-a11<a1,则(　　)

A.S11>0且S12<0 B.S11<0且S12<0

C.S11>0且S12>0 D.S11<0且S12>0

7.已知数列{an},若a1=1,且an=则a5=(　　)

A.7 B.13

C.16 D.22

8.(2022北京西城高二期末)记Sn为数列{an}的前n项和.若an=n(8-n)(n∈N+),则(　　)

A.{an}有最大项,{Sn}有最大项

B.{an}有最大项,{Sn}有最小项

C.{an}有最小项,{Sn}有最大项

D.{an}有最小项,{Sn}有最小项

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.(2022江苏南通高二期末)已知数列{an}的前n项和是Sn,则下列说法正确的有(　　)

A.若Sn=2n,则{an}是等差数列

B.若Sn=2an-1,则{an}是等比数列

C.若{an}是等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列

D.若{an}是等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列

10.(2022辽宁阜新高二期末)已知在等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-3,则(　　)

A.数列{3an+an+1}是等比数列

B.数列{an+1-an}是等差数列

C.数列{anan+1}是等比数列

D.数列{log3|an|}是等差数列

11.对于数列{an},若存在正整数k(k≥2),使得ak<ak-1,ak<ak+1,则称ak是数列{an}的“谷值”,k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中,若an=,下面各数不能作为数列{an}的“谷值点”的有(　　)

A.3 B.2

C.7 D.5

12.设等比数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知a7=a6+2a5,且存在两项am,an,使得=4a1,则下列结论正确的是(　　)

A.an+1=2an B.Sn=an+1-a1

C.mn=8 D.m+n=6

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(2022河南新乡高二期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3+12=0,S3+12=0,则a6+a5=　　　　　. 

14.已知在正项数列{an}中,+…+(n∈N+),则数列{an}的通项公式为　　　　　. 

15.已知在等比数列{an}中,a2a10=6a6,在等差数列{bn}中,b4+b6=a6,则数列{bn}的前9项和为　　　　　. 

16.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1(n∈N+),则{an}前40项和为　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)从①S11=-22,②S5=S6中任选一个,补充在下面的问题中并作答.

已知数列{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和,a8=4,　　　　　. 

(1)判断2 022是否是数列{an}中的项,并说明理由;

(2)求Sn的最小值.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

18.(12分)(2022甘肃庆阳第六中学高一期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=6,S8=72.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=an+3n,求数列{bn}的前n项和Tn.

19.(12分)(2022甘肃兰州一中高二月考)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=,n∈N+,{bn}的前n项和为Tn,求Tn.

20.(12分)已知等比数列{an}是递增数列,且a1+a5=17,a2a4=16.

(1)求数列{an}的公比;

(2)若数列{an}的前n项和为Sn,且S2n>an,求n的最小值.

21.(12分)(2022江苏南通高二月考)在等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任意两个数不在下表的同一列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记bm为数列{an}在区间(0,m](m∈N+)中的项的个数,求数列{bm}的前100项的和.

22.(12分)(2022湖南三湘名校联盟高二期中)已知在数列{an}中,其前n项和为Sn=2n2-n.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)anan+1=,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的取值范围.

参考答案

第1章测评

1.B　因为这个数列的前4项为,由此得到它的一个通项公式an=,令,得n=7,因此为这个数列的第7项.故选B.

2.A　∵数列{an}是公比为q的等比数列,2a1=a3a4,且a5是a4与2的等差中项,

∴解得∴q的值为1.

3.D　设{an}的公差为d,则解得所以a10=a1+9d=-7+36=29.

4.C　由S5=a1(1+q+q2+q3+q4)<a1(3+q+q3),又a1>0,得q4+q2-2<0,则0<q2<1,又q≠0,解得-1<q<0或0<q<1.故选D.

5.D　根据题意,A5=a1a2a3a4a5=(a3)5,B5=b1b2b3b4b5=(b3)5,故=35=243.故选D.

6.A　设等差数列的公差为d,由a2<-a11<a1,可得a1+d<-a1-10d<a1,

∴a1>-5d>0,a2+a11<0,

∴a1+5d=a6>0,a1+a12<0.

∴S11=11×=11a6>0,S12=<0,故选A.

7.C　数列{an}满足a1=1,且an=

则a2=2a1-1=1,a3=2a2+2=4,a4=2a3-1=7,a5=2a4+2=16.故选C.

8.A　对于二次函数y=-x2+8x,其图象开口向下,对称轴为直线x=4,即当x=4时,y=-x2+8x取得最大值.

对于{an},当n=4时,an最大;且当1≤n<8时,an>0,当n=8时,an=0,当n>8时,an<0,故当n=7或8时,Sn最大,故{an}有最大项,{Sn}有最大项.故选A.

9.ABD　若Sn=2n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(n-1)=2,当n=1时,a1=S1=2也适合上式,故an=2,

所以数列{an}是等差数列,故选项A正确;

若Sn=2an-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,

整理可得an=2an-1,所以=2(n≥2),所以数列{an}是等比数列,故选项B正确;

若{an}是等比数列,当q=-1时,an=a1·(-1)n-1,当n为偶数时,则有Sn=0,S2n-Sn=0,S3n-S2n=0,不构成等比数列,故选项C错误;

若{an}是等差数列,则Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=Sn+nd,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=Sn+2nd,所以2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,

故Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,故选项D正确.故选ABD.

10.CD　∵3an+an+1=3an-3an=0,

∴数列{3an+an+1}是常数列,故A错误;

∵an+1-an=(-3)n-(-3)n-1=·(-3)n,

∴{an+1-an}是等比数列,故B错误;

∵anan+1=(-3)n-1·(-3)n=(-3,

∴{anan+1}是等比数列,故C正确;

∵log3|an|=log3|(-3)n-1|=n-1,

∴{log3|an|}是等差数列,故D正确.故选CD.

11.AD　an=,故a1=2,a2=,a3=2,a4=,a5=,a6=,a7=,a8=.

故a2<a3,3不是“谷值点”;a1>a2,a3>a2,故2是“谷值点”;

a6>a7,a8>a7,故7是“谷值点”;a6<a5,5不是“谷值点”.

故选AD.

12.ABD　设数列{an}的公比为q,则a1q6=a1q5+2a1q4,

所以q2-q-2=0,又q>0,解得q=2,所以=q=2,故A正确;

Sn==2an-a1=an+1-a1,故B正确;

因为=a1·,所以=4=22,即=2,解得m+n=6,mn不一定等于8,故D正确,C错误.故选ABD.

13.0　因为a1q2=-12,a1+a1q+a1q2=-12,所以q=-1,a5+a6=0.

14.an=n2　∵+…+,

∴+…+(n≥2),

两式相减得=n,

∴an=n2(n≥2).

又当n=1时,=1,适合上式,∴an=n2.

15.27　因为数列{an}是等比数列,所以a2a10=,又a2a10=6a6,所以=6a6,解得a6=6,所以b4+b6=6.

因为数列{bn}是等差数列,所以数列{bn}的前9项和为=27.

16.820　由于数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,

故有a2-a1=1,a3+a2=3,a4-a3=5,a5+a4=7,a6-a5=9,a7+a6=11,

…,

从而可得a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,

….

故{an}的前40项和为10×2+10×8+×16=820.

17.解若选①.

(1)设{an}的公差为d,则

解得

所以an=a1+(n-1)d=3n-20.

令3n-20=2022,得n=∉N+,所以2022不是数列{an}中的项.

(2)令an=3n-20>0,解得n>.

所以当n≤6时,an<0.

故当n=6时,Sn取到最小值,为S6=6a1+15d=-57.

若选②.

(1)设{an}的公差为d,则

解得

所以an=2n-12.

令2n-12=2022,解得n=1017,所以2022是数列{an}的第1017项.

(2)令2n-12>0,得n>6.

所以当n≤6时,an≤0.

故当n=6或n=5时,Sn取到最小值,为S5=S6=-30.

18.解(1)设{an}的公差为d,由已知得

解得则an=2n.

(2)∵bn=an+3n=2n+3n,

∴Tn=2(1+2+…+n)+(31+32+…+3n)=n(n+1)++n2+n-.

19.解(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1,

当n=1时,a1=S1=3,符合上式.

故{an}的通项公式为an=2n+1.

(2)∵an=2n+1,

∴bn=,

∴Tn=++…+==.

20.解(1)∵等比数列{an}是递增数列,且a1+a5=17,a2a4=16,

∴a1a5=a2a4=16.

设数列{an}的公比为q(q>1),

由解得(舍).

又a5=a1q4,∴q=2.

(2)∵Sn==2n-1,

∴S2n=22n-1.

∵S2n>an,

∴9(22n-1)>80×2n,即(9×2n+1)(2n-9)>0,

∴2n-9>0.

又n∈N+,∴正整数n的最小值为4.

21.解(1)由题意结合表中数据可得a1=3,a2=9,a3=27,

所以等比数列{an}的首项为3,公比为3,所以{an}的通项公式为an=3×3n-1=3n.

(2)由题设及(1)知b1=b2=0,且当3n≤m<3n+1时,bm=n.

所以{bm}的前100项的和S100=(b1+b2)+(b3+b4+…+b8)+(b9+b10+…+b26)+(b27+b28+…+b80)+(b81+b82+…+b100)=2×0+6×1+18×2+54×3+20×4=284.

22.解(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-3.

当n=1时,a1=1,适合上式.

故an=4n-3(n∈N+).

(2)由anan+1=得bn=,

因此bn=.

∴Tn=1-++…+=1-=.

∵Tn=,

∵Tn=在n∈[1,+∞),n∈N+上单调递增,

∴当n=1时,Tn取得最小值T1=.

又Tn=,

∴Tn的取值范围为.