初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程精品课件ppt

教学目标

1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.

2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解.

3.了解用图象法求一元二次方程的近似根．

教学重难点

重点：理解方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

难点：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

教学过程

导入新课

问题:如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h (单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h＝20t-5t2.

问题1:小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？

问题2:小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？

问题3:小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？

问题4:小球从飞出到落地要用多少时间？

师生活动：教师引导学生将以上实际问题转化为数学问题，学生小组讨论后发现以上问题都可以转化为方程解决.通过师生共同讨论，发现知道二次函数的函数值求自变量的取值，就相当于解一个一元二次方程.

问题1：转化为解一元二次方程15＝20t-5t2.

师生活动：通过解方程，得到两个解，t1＝1，t2＝3，

所以当小球飞行1 s或3 s时，它的飞行高度为15 m.

问题2：转化为解一元二次方程20＝20t-5t2.

师生活动：通过解方程，得到两个解，t1＝t2＝2，所以当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m.

教师：为什么只在一个时间小球的高度为20 米？

学生：讨论得出，此时小球到达了最高点.

问题3：转化为解一元二次方程20.5＝20t-5t2.

师生活动：通过解方程发现此方程无解，所以小球飞行高度不可能到达20.5 m.教师通过上一题的结论，进一步引导学生从实际问题的角度思考为什么方程无解，原因是小球飞行的最高高度为20 m，小于20.5 m.

问题4：转化为解一元二次方程0＝20t-5t2.

师生活动：通过解方程，得到两个解，t1＝0，t2＝4，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面.所以小球从飞出到落到地面用了4 s.

探究新知

探究一 ：深入讨论二次函数与一元二次方程的关系

思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少?由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗?

(1)y＝x2-x+1;(2)y＝x2-6x+9; (3)y＝x2+x-2.

师生活动：教师带领学生观察函数图象，得到函数图象与x轴交点的纵坐标为0，反过来，要求函数图象与x轴的交点横坐标，就是求当函数值为0时的自变量取值.学生独立完成下列表格后，小组内交流.

观察图象，完成下表：

师生活动：通过以上探究，教师引导学生发现二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点个数，由b2-4ac的取值情况决定.

教师引导学生完善下表：

【归纳总结】通过本探究活动，引导学生建立二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴交点、方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的情况、b2-4ac的符号三者之间的对应关系.

例1　已知二次函数y＝x2-(a-1)x＋a-2，其中a是常数．

(1)求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；

(2)当a＝4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积．

【问题探索】师问：要证明二次函数的图象与x轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断，如何转化？求四边形ABCD的面积，需要确定四边形的底和高，如何确定四边形的底和高？学生回答：要判断二次函数的图象与x轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的判别式的情况即可．要求四边形的面积，可利用x轴，将一个四边形分成两个三角形分别求面积再相加.

(1) 【证明】y＝x2-(a-1)x＋a-2.

∵Δ＝[-(a-1)]2-4(a-2)＝(a-3)2≥0，

∴方程x2-(a-1)x＋a-2＝0有实数根，

∴不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点．

(2) 【解】由题意可知，当a＝4时，y＝x2-3x＋2.

∵y＝x2-3x＋2＝- ，∴A.

当y＝0时，x2-3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，

∴B(1,0)，D(2,0)．

当x＝0时，y＝2，∴C(0,2)．

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝＋1＝.

【总结】将二次函数解析式化为一般式，求出Δ＝b2-4ac的取值，运用Δ的取值，判断函数图象与x轴的交点个数.

探究二：运用二次函数图象，求一元二次方程的近似解

例2　利用函数图象求方程x2-2x-2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）.

【问题探索】（教师引导学生思考）根据上面的探究可以得到，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标．反过来，二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.因此用函数图象求一元二次方程的解，需要先画出二次函数的图象.

【解】画出函数y＝x2-2x-2的图象，如图所示：

通过观察图象发现，它与x轴交点的横坐标大约是-0.7和2.7，所以方程x2-2x-2＝0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7.

【总结】我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，所以由图象求得的根，一般是近似的．

探究三：二次函数与一元二次不等式的关系

师生活动：

教师：如上图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别为（x1,0）和（x2,0）,且x1<x2，你能根据图象求出不等式ax2＋bx＋c>0和不等式ax2＋bx＋c<0的解集吗？

学生：观察图象、独立思考、小组内交流讨论：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方的点对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c>0的解集，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方的点对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c<0的解集.

课堂小结：(学生总结，老师点评)

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．

2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(x0,0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

3．二次函数与一元二次方程的联系：

4.二次函数与不等式的关系：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方的点对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c>0的解集.

布置作业

教材第47页习题22.2第2，5，6题.

板书设计

22．2　二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程的联系：