人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数获奖课件ppt

教学目标 

1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 

2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．

3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．

教学重难点

重点：会根据不同的条件，利用二次函数的知识解决生活中的抛物线问题.

难点：建立恰当的平面直角坐标系，利用二次函数模型将实际问题转化为数学问题.

教学过程

复习巩固

下面是同一个二次函数的图象，请你根据它在坐标系中不同的位置，说出它的二次函数解析式的形式.

师生活动：教师展示问题，学生独立思考后小组内交流.教师带领学生观察图象的特点，写出不同形式的二次函数解析式，引导学生发现相同形状的抛物线因在坐标系内的位置不同，解析式也会不同，为解决实际问题时能建立合适的平面直角坐标系打下基础.

教师提问：第1个图象的顶点坐标位于什么位置？解析式的形式是什么？第2个图象和第3个图象呢？

学生回答：第1个图象的顶点坐标在原点，对应的解析式形式为y＝ax2；第2个图象顶点坐标在y轴上，对应的解析式为y＝ax2+k；第3个图象的顶点不在y轴上，对应的解析式为y＝ax2+bx+c或y＝a(x-h)2+k.

导入新课

还记得我们一开始学二次函数知识提到的问题吗?公园的拱桥、喷泉都可以看成抛物线形的，现在你能用二次函数的知识表示它们吗？

师生活动：教师用多媒体展示以上问题，带领学生观察图片，寻找图片中的抛物线.

探究新知

合作探究：利用二次函数解决实物中的抛物线形问题

问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.水面下降1 m，水面宽度增加多少?

师生活动：教师展示问题，学生独立思考后小组内交流讨论.在引导学生思考的过程中，老师课提出以下问题：

教师提问：如果要解决这个实际问题，我们需要怎么做？

学生回答：首先要将抛物线的解析式求出来，利用抛物线的解析式再进一步求值，解决问题.

教师追问：我们要用什么方法求抛物线解析式？

学生回答：待定系数法.

教师追问：用待定系数法求抛物线的解析式，首先得怎么做？

学生回答：要建立平面直角坐标系，表示出图象上一些点的坐标.

根据以上探究，写出问题的解答过程：

【解】建立如图所示的平面直角坐标系.

设二次函数的解析式为y＝ax2.

由抛物线经过点(2，-2)，可得.

所以这条抛物线的解析式为y＝x2.

当水面下降1 m时，y＝-3；当y＝-3时，x＝.

所以水面下降1 m，水面的宽度为m.

师生活动：

教师提出问题：当我们按不同的方式建立平面直角坐标系，函数的解析式又是怎样的？

学生：独立思考，小组讨论，尝试用不同的方法解决，最后小组展示自己的方法，其他小组进行点评.

方法（1）：建立如图所示的平面直角坐标系.

设二次函数解析式为y＝ax2+2. 

由抛物线经过点(2，0)，可得.

所以这条抛物线的解析式为y＝x2+2.

当水面下降1 m时，y＝-1；当y＝-1时，x＝.

所以水面下降1 m，水面的宽度为m.

方法（2）：建立如图所示的平面直角坐标系.

设二次函数解析式为y＝a（x-2）2+2.

由抛物线经过点(0，0)，可得.

所以这条抛物线的解析式为y＝（x-2）2+2.

当水面下降1 m时，y＝-1；当y＝-1时，x＝2.

所以水面下降1 m，水面的宽度为m.

【总结】解决抛物线形实际问题的一般步骤：

(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系；

(2)把已知条件转化为点的坐标；

(3)合理设出函数解析式；

(4)利用待定系数法求出函数解析式；

(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.

例　在篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗?

【问题探索】判断球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上.

【解】建立如图所示的平面直角坐标系，

则点A的坐标是，B点坐标是(4，4），C点坐标是(8，3)，因此可设抛物线的解析式是y＝a(x-4)2+4.①

把点A的坐标代入①，得＝a(0-4)2+4，解得a＝，

故抛物线的解析式是y＝(x-4)2+4.

当x＝8时，y＝(8-4)2+4＝≠3.

所以他不能把球投中.

【总结】（学生总结，教师点评）(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系并表示出A，B，C三点的坐标；（2）合理设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式；(3)根据求得的解析式代入x＝8求出对应的函数值，与C点纵坐标3进行比较，并进行判断，最终得到实际问题的解.

课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？在解决问题的过程中，我们应注意什么问题？（请学生谈体会）

布置作业

教材51页习题22.3第3题.

板书设计

22.3 实际问题与二次函数

第3课时　拱桥和运动中的抛物线问题

运用二次函数知识解决实际问题的步骤：

1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.

2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.

3.选用适当的函数解析式求解.

4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.