人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀课件ppt

教学目标

1.理解一元二次方程、一元二次方程根的概念；

2.掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项，会将一元二次方程化为一般形式；

3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题，培养学生用数学的意识.

教学重难点

重点：一元二次方程的概念.

难点：运用一元二次方程的概念解决有关问题.

教学过程

导入新课

【问题情境1】幼儿园活动教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？

师生活动：教师展示问题，学生独立思考，小组内进行交流，若学生存在困难，教师可通过出示填空形式，让学生进行解答.设所求的宽度为x m,则中间地毯的宽表示为,长表示为,则方程列为，整理得.

【变式】桌上有一张矩形纸片，长为25 cm，宽为15 cm，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300 cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多少厘米？

师生活动：根据情景一，教师接着提出变式问题，提示只列算式.学生尝试独立解决，若发现存在问题，可让学生先小组内交流，最后找一位代表进行解答.

【解】设剪去的正方形边长为cm，

则无盖方盒的底面的长为 cm，宽为 cm，

根据题意，可列方程为

整理得.

【问题情境2】如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面B的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m至点D，那么梯子的底端滑动多少米？

【问题情境3】要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?

师生活动：教师同时出示情境2，3问题，引导学生思考、交流后,学生代表回答，教师出示答案，

探究新知

   合作探究

观察四个方程有什么共同特点？类比一元一次方程，有什么相同之处和不同之处？

师生活动：学生先独立思考，然后小组交流，汇报.引导学生得出方程共同特点，并进行板书.

【归纳总结】（1）都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）;

（2）只含有一个未知数;（3）未知数的最高次数是2.

教师追问1：类比一元一次方程的定义，以及对“元”“次”的理解，能不能给以上方程下一个定义？

师生活动：学生口答，师生共同归纳出一元二次方程的定义.教师引导学生认识二次项及系数，一次项及系数，常数项.

【归纳总结】一元二次方程的概念：等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程的一般形式是,其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数；是常数项．

教师追问2：为什么要求二次项系数？和能不能是？

师生活动：学生独立思考并回答，教师进行强调.

新知应用

例1　判断下列方程，哪些是一元二次方程？

师生活动：引导学生根据一元二次方程的定义进行判断，学生独立思考后，进行回答.

【解】（1）（2）（3）（4）（7）（8）是一元二次方程．

教师追问：要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？

师生活动：根据例题先让学生自己独立思考总结，然后小组交流，汇报.引导学生总结出判断是否为一元二次方程的标准.

【归纳总结】首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理使方程的等号右边为0，最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是.

例2　为何值时，下列方程为一元二次方程？

；

.

师生活动：学生先独立思考，然后同桌交流，教师组织进行展示，然后师生共同总结解决这一类问题的方法.

【解】(1)将方程化为一般形式，

得,

所以当，即时，

原方程是一元二次方程.

 (2)由，且知，当时，原方程是一元二次方程.

【归纳总结】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．

例3　将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.

师生活动：教师先引导学生确定二次项，一次项以及常数项时首先要把方程化为一般式.学生独立思考，学生代表回答.

【解】去括号，得；

移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为.

其中二次项是3,系数是3；

一次项是-8,系数是-8；

常数项是-10.

教师追问：解决此类问题需要注意什么？

师生活动：学生独立思考总结，并回答.

【归纳总结】1.一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；2.系数和项均包含前面的符号.

例4　已知是方程的一个实数根,求的值.

师生活动：先让学生尝试解决，如果学生有困难，教师可通过以下问题引导学生思考.

教师追问1：什么是一元一次方程的解？类比一元一次方程的解的定义能不能说出什么是一元二次方程的解？

教师追问2：下面哪些数是方程的解?

                  -2,0,1,2,3,4.

师生活动：学生口答，归纳出一元二次方程根的定义，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.教师进行板书，根据定义教师引导学生尝试解决问题，并及时归纳总结. 

【解】由题意得a2+2a -2＝0，即a2+2a＝2，

3a2+6a+2 019

＝3(a2+2a)+2 019

＝3×2+2 019

＝2 025.

【归纳总结】已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．

课堂小结

先让学生独立思考，进行总结，教师补充概括.

布置作业

教材第4页练习和习题21.1练习题.

板书设计

21.1　一元二次方程

一、一元二次方程的概念

1.是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）；

2.只含有一个未知数；

3.未知数的最高次数是2.

二、一般形式

，其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

三、一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.