人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.1 《平面向量的概念》教材分析

6.1平面向量的概念一、本节知识结构框图         二、重点、难点重点：向量的概念，向量的几何表示，相等向量和共线向量的概念.难点：向量的概念和共线向量的概念.三、教科书编写意图及教学建议本节主要通过物理中的位移、速度、力等抽象出数学中的向量，并类比实数的几何表示，以及物理学中位移的表示方法，用有向线段表示向量，进而通过向量之间的关系来认识相等向量与共线向量.6.1.1函数的概念位移是既有大小又有方向的量，是物理学中的基本量之一，位移表示的两个点之间的相对位置关系也是几何研究的重要内容.物理学中用位移表示物体（质点）的位置变化，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另一点的位置.位移简明地表示了两个点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型.力和速度也是既有大小又有方向的量，是常见的物理量，也是向量的重要的物理模型.教科书以小船的位移和速度、重力、浮力作为引入向量的背景，建立学习向量的认知基础，进而类比数量的抽象过程抽象概括出向量的概念，随后，为了使学生更好地理解向量的意义，教科书釆用了与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量都是“只有大小，没有方向”的数量，通过比较让学生体会向量的“大小、方向”这两个基本要素，并在边空中提出问题，让学生举出物理学中向量和数量的其他一些实例，从而更好地理解向量的特征.6.1.2函数的表示法1.有向线段实数与数轴上的点一一对应，数量可用数轴上的点表示，教科书通过类比实数在数轴上的表示，以及物理学用“带有方向的线段”表示位移的方法，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量.有向线段是数学概念，起点、方向、长度是有向线段的三要素.由于向量的基本要素是大小和方向，因而“用有向线段的方向表示向量的方向，用有向线段的长度表示向量的大小”是自然的想法，虽然位移有起始位置，力有作用点，但是舍去了与“起点”有关的物理属性所抽象出的向量只有大小和方向.因此，用有向线段表示向量时，向量的方向与有向线段的指向有关，与起点的具体位置无关.教学中要让学生体会用有向线段表示向量这种几何直观，以利于进步学习向量.2.零向量与单位向量教科书将“向量的大小”定义为向量的模，进而分别给出了零向量、单位向量的概念，教学中应当注意引导学生将向量的模与数量进行比较，数量有大小而没有方向，其大小有正数、负数和0之分，既可进行运算，又可比较大小；向量的模是正数或0，由于向量和的方向不能比较大小，于是有意义，而没有意义.零向量与单位向量都是特殊的向量.教学中可以类比实数0和1，让学生认识零向量与单位向量.随着后续内容的学习，学生会进一步认识到零向量与单位向量在向量系中的地位和作用.例如，向量的减法运算就要用到零向量，平面向量的坐标表示中以分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.3.向量的两种表示教科书介绍了向量的两种表示：有向线段表示和黑体字母表示，向量的有向线段表示为用向量处理几何问题打下了基础，用黑体字母表示向量在形式上更简约，这两种表示方法都需要学生熟练掌握.教科书用黑体字母表示向量，如，在手写时可用表示.在用有向线段表示向量时，要提醒学生注意向量的方向是有向线段的起点A指向终点B，点A要写在点B的前面.4.例题例1是一个简单的问题.要求用向量表示位移并求两点间的距离.画出有向线段表示位移，目的在于从向量的角度认识位移，以正确理解向量概念及其几何表示；两点间的距离就是相应有向线段的长度，也就是相应向量的模.6.1.3相等向量与共线向量1.平行向量从向量的基本要素出发进一步研究向量，如果只关注向量的方向，那么可以得到平行向量这重要概念，平行向量是指方向相同或相反的非零向量.教学中要让学生全面认识平行向量，特别是方向相反的非零向量也是平行向量，要讲清楚教科书中图6.1-5的几何意义.规定零向量与任意向量平行，与一般向量空间中有关性质（向量的线性相关性）一致.2.相等向量数学中，引进新的量后，就要界定它们之间的“相等”关系，这是研究新的量的基础.如何定义“相等向量”呢？平行向量只关注向量的方向，如果既关注向量的方向，又关注向量的大小，那么把“长度相等且方向相同的向量”定义为相等向量是恰当自然的.相等向量是一类向量的集合，由相等向量的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，将它平移后还是这个向量，这就是“向量完全由它的模和方向确定”的意义.因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，也就是说高中数学中讨论的向量是自由向量，这为用向量处理几何问题带来方便.教学时可以借助信息技术，通过向量的平移来让学生直观认识相等的向量与表示向量的有向线段的起点无关.可以让学生思考“同一条有向线段可以表示怎样一类相等的向量”与“同一个非零向量可以用怎样一类有向线段表示”这两个问题，也可以结合例题、习题体现上述问题的应用.3.共线向量共线向量也是研究向量的基础.教科书通过对一组平行向量直观作图的过程给出了“任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量”的陈述.从逻辑线索上看，将平行向量平移到直线上后，由相等向量的定义，得到的仍然是，这表明了平行向量与共线向量是等价的，只是名称的用词具有相应的针对性.教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在同一条直线上，只要两个向量是平行向量，也就是共线向量，反之也对.当然，在同一条直线上的一组向量也是平行向量.要避免向量的“平行”“共线”与平面几何中直线的平行和线段的共线相混淆，让学生认清平行向量与平行线、共线向量与共线线段的区别.4.例题例2是结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和共线向量的概念，正六边形的边长等于其外接圆半径，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质.教学时应引导学生利用正六边形的性质结合图形进行分析，还可以让学生判断向量与与是否相等，意在通过长度相等且方向相反的两个向量不相等，让学生从反面认识相等向量的概念，也为后继引入相反向量的概念进行铺垫.