初中北师大版1 二次函数综合训练题

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题
1. （2020•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（　　）.

A．只能是x=﹣1                     B．可能是y轴   

C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧     D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧

2．已知抛物线过点，，，四点，则与的大小关系是（   ）．

    A．     B．     C．    D．不能确定

3．小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中信息正确的有（   ）．

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

4．已知二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的

是(    )

    A．y1＞y2    B．y1＜y2    C．y1≥y2    D．y1≤y2

5．如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是(    )

    A．m＝n，k＞h    B．m＝n，k＜h    C．m＞n，k＝h    D．m＜n，k＝h

第5题                   第6题

6．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是(   )

    A．有最小值0，有最大值3       B．有最小值-1，有最大值0

    C．有最小值-1，有最大值3      D．有最小值-1，无最大值

二、填空题

7．把抛物线的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是，则a+b+c＝________．

8．如图所示，是二次函数在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c＞0；

②a+b+c＜0；③2a-b＜0；④中正确的是________（填写序号）．

9．（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为　　．

10．抛物线y=x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是_____.

11．抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，这个定点的坐标是_   ____.

12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是___    __.

三、解答题

13．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；

（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

14．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D. 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q.
(1)求点B和点C的坐标；

(2)设当点M运动了x(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，

并指出自变量x取值范围.
(3)在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，   若不存在，说明理由.
　　　　　　　　　                                　　　　　　
                                                       

15.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.
  (1)求此抛物线的解析式；

(2)点为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标.

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】D；

【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，

∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，

∴﹣2＜＜0，

∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D． 

   2.【答案】A；

【解析】由于抛物线经过点A(-2，0)，O(0，0)，所以其对称轴为，

根据抛物线对称性知当和时，其函数值相等，

∵ ，开口向下，当时，y随x增大而减小，又，∴ ．

3.【答案】C；

【解析】由图象知，，，∴ ，当时，，

          当时，，∴ ①②③④正确．

4.【答案】B ；

【解析】由表可知1＜x1＜2，∴ 0＜y1＜1，3＜x2＜4，∴ 1＜y2＜4，故y1＜y2.

5.【答案】A ；

【解析】由顶点(n，k)在(m，h)的上方，且对称轴相同，∴  m＝n，k＞h.

6.【答案】C ；

【解析】观察图象在0≤x≤3时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值3.

二、填空题

7．【答案】11 ；

【解析】将向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得．

∴ a＝1，b＝3，c＝7.

8．【答案】②④；

【解析】观察图象知抛物线与y轴交于负半轴，则，故①是错误的；当时，，

即，故②是正确的；由于抛物线对称轴在y轴右侧，则，

∵ ，∴ ，故，故③是错误的；∵ ，，

∴ ，故④是正确的．

9．【答案】1；

  【解析】∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，

∴抛物线的顶点坐标为（1，1），

∵四边形ABCD为矩形，

∴BD=AC，

而AC⊥x轴，

∴AC的长等于点A的纵坐标，

当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，

∴对角线BD的最小值为1．

10．【答案】-3；

【解析】设抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的坐标是x1、x2，则x2- x1=1，△ABC的面积为1得c=2,

由根与系数关系化为，

即，由得，.

11．【答案】(2，4)；

   【解析】若抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，则与k值无关，即整理y=x2+kx-2k得y=x2+k（x-2），

           x-2=0，解得x=2,代入y=x2+k（x-2），y=4,所以过点(2，4).

12．【答案】 ；

【解析】

又因为函数图象经过，所以，代入即可求得.

三、解答题

13.【答案与解析】

  解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，

解得：x=3，

∴A（3，2），

∵点A关于直线x=1的对称点为B，

∴B（﹣1，2）．

（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：

解得：

∴y=x2﹣2x﹣1．

顶点坐标为（1，﹣2）．

（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，

代入A（3，2）则9a=2，

解得：a=，

代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，

解得：a=2，

∴

14.【答案与解析】

(1)把x=0代入得点C的坐标为C(0，2)
　　      把y=0代入得点B的坐标为B(3，0)；
  　   (2)连结OP，设点P的坐标为P(x，y)
　　　　  =
　　　　　      　=
　　　　　　∵ 点M运动到B点上停止，∴，    ∴()；
　　   (3)存在. BC==
　　　　　① 若BQ=DQ   ∵ BQ=DQ，BD=2
　　　　　　　∴ BM=1 ∴OM=3-1=2
　　　　　　　∴ ∴QM=
　　　　　　　 所以Q的坐标为Q(2，)；
　　　　　② 若BQ=BD=2
　　　　　　　∵△BQM∽△BCO，∴ ==
　　　　　　　 ∴= ∴ QM=
　　　　　　　　 ∵= ∴ =
　　　　　　　　 ∴BM= ∴ OM=
　　　　　　　　 所以Q的坐标为Q(，).

15.【答案与解析】

(1)直线与坐标轴的交点，.
　　　　　　 则 解得
　　　　　　 此抛物线的解析式.
　　　　　 (2)抛物线的顶点，与轴的另一个交点.
　　　　　　 设，则.
　　　　　　 化简得.
　　　　　　 当，得或.  或
　　　　　　 当时，即，此方程无解.
　　　　　　 综上所述，满足条件的点的坐标为或.