数学九年级下册1 二次函数课时训练

《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1．已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线．若两条抛物线C、关于直线x＝1对称．则下列平移方法中，正确的是（   ）．

A．将抛物线C向右平移个单位    B．将抛物线C向右平移3个单位

C．将抛的线C向右平移5个单位    D．将抛物线C向右平移6个单位

2．已知二次函数的图象如图所示，则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b中，其值大于0的个数为(    )．

    A．2      B．3      C．4     D．5

3．二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是(    )．

     A．    B．abc＞0    C．a+b+c＞0    D．

4．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是(    )

    A．   B．   C．   D．

5．如图所示，半圆O的直径AB＝4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM＝x，则y关于x的函数关系式是(    )．

    A．    B．    C．    D．

第5题                                     第6题

6．如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)和(0，3)；

小明说：a＝1，c=3；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有(    )．

A．1个     B．2个     C．3个    D．4个

7．已知一次函数的图象过点(-2，1)，则关于抛物线的三条叙述：

①过定点(2，1)；②对称轴可以是直线x＝l；③当a＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3．

其中所有正确叙述的有(    )．

    A．0个     B．1个     C．2个     D．3个

8．（2020•梧州）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），直线x=﹣0.5与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC、BC、AD、BD，某同学根据图象写出下列结论：

①a﹣b=0；

②当﹣2＜x＜1时，y＞0；

③四边形ACBD是菱形；

④9a﹣3b+c＞0

你认为其中正确的是（　　）

A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③

二、填空题

9．由抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为               .

10．已知一元二次方程的一根为-3．在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点、、，y1、y2、y3、的大小关系是              .

11．如图所示，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为________．

第11题                      第13题

12．（2020•义乌市校级模拟）一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这个函数解析式　                          　．

13．已知二次函数(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相等；③4a+b＝0；④当y＝-2时，x的值只能取0，其中正确的有           .（填序号）

14．已知抛物线的顶点为，与x轴交于A、B两点，在x轴下方与x轴距离为4的点M在抛物线上，且，则点M的坐标为              ．

15．已知二次函数(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：

    ①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)，(m≠l的实数)．

其中正确的结论有_____  ___(只填序号)．

第15题                 第16题

16．如图所示，抛物线向右平移1个单位得到抛物线y2．回答下列问题：

 (1)抛物线y2的顶点坐标________．(2)阴影部分的面积S＝________．

(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向________，

顶点坐标________．

三、解答题

17．（2020•南通）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？

18．如图所示，已知经过原点的抛物线与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m＞0)个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．

    (1)求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状(不要求说理)；

    (2)在x轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们的长度(可用含m的式子表示)；若不存在，请说明理由；

    (3)设△PCD的面积为S，求S关于m的关系式．

19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点．

    (1)求抛物线的解析式；

    (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m

的函数关系式，并求出S的最大值；

    (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

20. （2020•菏泽）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；

（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C；

【解析】，

∴  其顶点坐标为，设顶点坐标为，由题意得，

∴  ，∴  的解析式为．

由到需向右平移5个单位，因此选C．

2.【答案】A；

【解析】由图象知，a＜0，c＜0，，

    ∴  b＞0，ac＞0，∴  2a-b＜0．

    又对称轴，即2a+b＜0．

    当x＝1时，a+b+c＞0；当x＝-2时，4a-2b+c＜0．

    综上知选A．

3.【答案】C；

【解析】由抛物线开口向下知a＜0，由图象知c＞0，，b＜0，即abc＞0，又抛物线与x轴有两个交点，所以．   

4.【答案】B；

【解析】抛物线，其顶点(-1，2)绕点(0，3)旋转180°后坐标为(1，4)，开口向下．

          ∴  旋转后的抛物线解析式为．

5.【答案】B；

【解析】连接O1M、O1O，易知两圆切点在直线OO1上，线段OO1＝OA-y＝2-y，O1M＝y，OM＝OA-AM＝2-x．

由勾股定理得(2-y)2＝y2+(2-x)2，故． 

6.【答案】C；

【解析】由小华的条件，抛物线过(3，0)与(1，0)两点，则对称轴为x＝2；由小彬的条件，抛物线

过点(4，3)又过(0，3)点，∴  对称轴为直线x＝2；由小明的条件a＝1，c=3,得到关系式

为，过点(1，0)得b＝-4，对称轴为；由小颖的条件抛物线被x

轴截得的线段长为2，另一交点可能是(3，0)或(-1，0)，当另一交点为(-1，0)时，对称轴

不是x＝2．所以小颖说的不对.故选C.

7．【答案】C；

【解析】①若过定点(2，1)，则有．整理、化简，得-2a+b＝1，与题设隐含条件相符；

②若对称轴是直线x＝1，这时，2a-b＝0，与题设隐含条件不相符；

③当a＜0时，抛物线开口向下，这时顶点的纵坐标为．

由于，．∴  ．∴  ．

综合以上分析，正确叙述的个数为2，应选C．

8.【答案】D．

【解析】①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），

∴该抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，

∴a=b，a﹣b=0，①正确；

②∵抛物线开口向下，且抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），

∴当﹣2＜x＜1时，y＞0，②正确；

③∵点A、B关于x=0.5对称，

∴AM=BM，

又∵MC=MD，且CD⊥AB，

∴四边形ACBD是菱形，③正确；

④当x=﹣3时，y＜0，

即y=9a﹣3b+c＜0，④错误．

综上可知：正确的结论为①②③．

故选D．

二、填空题

9．【答案】y＝(x+2)2-3；

  【解析】y＝x2的顶点为(0，0)，y＝(x+2)2+3的顶点为(-2，-3)，将(0，0)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位可得(-2，-3)，即将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y＝(x+2)2-3．

10．【答案】y1＜y2＜y3.

【解析】设x2+bx-3＝0的另一根为x2，则，∴  x2＝1，

∴  抛物线的对称轴为，开口向上时，到对称轴的距离越大函数值越大，

所以y1＜y3，y1＜y2＜y3，也可求出b＝2，分别求出y1，y2，y3的值再比较大小．

11．【答案】或；

【解析】当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为2，将y＝2得，所以，从而圆心P的坐标为或．

12．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1；  

【解析】图象顶点坐标为（2，1）

可以设函数解析式是y=a（x﹣2）2+1

又∵形状与抛物线y=﹣2x2相同即二次项系数绝对值相同

则|a|=2

因而解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1.

13．【答案】②③；

【解析】由图象知，抛物线与x轴交于点(-1，0)，(5，0)，于是可确定抛物线的对称轴为，

则，∴  4a+b＝0，故③是正确的；

又∵  抛物线开口向上，∴  a＞0，b＝-4a＜0，

∴  ①是错误的；又∵  ，即x＝1和x＝3关于对称轴x＝2对称，其函数值相等，

∴  ②是正确的；根据抛物线的对称性知，当y＝-2时，x的值可取0或4．

∴  ④是错误的．

14．【答案】(2，-4)或(-1，-4)；

【解析】∵  ，∴  |AB|＝5．

           又∵  抛物线的对称轴为直线，∴  A、B两点的坐标为(2，0)和(3，0)．

           设抛物线的解析式为，则   解得

           ∴  抛物线的解析式为．

           当y＝-4时，，∴  ，∴  x1＝-2，x2＝-1．

          ∴  M点坐标为(2，-4)或(-1，-4)．

15．【答案】③④⑤；

   【解析】由题意可知a＜0，c＞0，，即b＞0，∴  abc＜0．由图象知x＝2在抛物线与x轴两个交点之间，当x＝-1时，a-b+c＜0，∴  b＞a+c．当x＝2时，4a+2b+c＞0．又由对称性知9a+3b+c＜0，且，∴  ，∴  2c＜3b．当x＝1时，，而m≠1，当时，，由知，

∴  ，故③④⑤正确．

16．【答案】 (1)(1，2)；  (2)2；  (3)向上；  (-1，-2)； 

【解析】抛物线向右平移1个单位，则顶点由(0，2)移到(1，2)．利用割补法，阴影部分面积恰好为两个正方形的面积．若将抛物线y2绕原点O旋转180°，则抛物线y2的顶点与点(1，2)关于原点对称．

三、解答题

17.【答案与解析】

 解：（1）y=，

（2）在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000；

10＜x≤30时，y=﹣3x2+130x，

当x=21时，y取得最大值，

∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408．

∵1408＞1000，

∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．

18.【答案与解析】

    (1)先令，得x1＝0，x2＝2． ∴  点A的坐标为(2，0)．△PCA是等腰三角形．

    (2)存在OC＝AD＝m，OA＝CD＝2．

    (3)当0＜m＜2时，如图所示，作PH⊥x轴于H，设．

    ∵  A(2，0)，C(m，0)，∴  AC＝2-m，

    ∴  ．∴  ．

    把代入，得．

    ∵  CD＝OA＝2，∴  ．

当m＞2时，如图所示，作PH⊥x轴于H，设．

    ∵  A(2，0)，C(m，0)，∴  AC＝m-2．∴  ．

    ∴  ．

    把代入，得．

    ∵  CD＝OA＝2，∴  ．

19.【答案与解析】

    (1)设抛物线的解析式为(a≠0)．

∵  抛物线经过点A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)，

∴    解得

    ∴  抛物线的解析式为．

    (2)过点M作MD⊥x轴于点D． 设M点的坐标为(m，n)，则AD＝m+4，

    ，．

∴ 

      ．

∴  当时，．

(3)满足题意的Q点的坐标有四个，

分别是：(-4，4)、(4，-4)、、．

20.【答案与解析】

解：（1）由题意解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．

（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．

∴顶点坐标（1，），

∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．

（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，

当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，

∴b=，

当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，

当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，

∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，

∴＜b≤3．