人教版九年级上册21.1 一元二次方程课时练习

第二十一章一元二次方程（人教版）

选拔卷

（考试时间：90分钟  试卷满分：120分）

一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2021·台州市路桥实验中学九年级月考）如果关于的方程是一元二次方程，那么的值为：（    ）

A． B． C． D．都不是

2．（2021·山东省初三期中）已知4是关于x的方程x2－（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（    ）

A．7 B．10 C．11 D．10或11

3．（2020·湖北鄂州市·中考真题）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·湖北荆州市·中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ）

A．且 B．        C．且      D．

5．（2020·湖北随州市·中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·江苏省初三月考）定义为不大于实数x的最大整数，如，

．函数的图象如图所示，则方程的解为（    ）

A．0或 B．0 C． D．0或

7．（2020·浙江丽水初二期末）若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

9．（2021·河南平顶山市·九年级期末）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（    ）

A． B．或 C． D．

10．（2021·杭州市建兰中学九年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（　　）个．①方程x2+5x+6＝0是倍根方程：②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程；③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0；

④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。

11．（2021·湖北十堰市·中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．

12．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为_____．

13．（2021·绵阳市初三期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，则实数m的值为         ．

14．（2020·浙江初三期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于x的一元二次方程和互为“友好方程”，则m的值为_______．

15．（2021·浙江杭州市·九年级期末）关于x的方程的解是（均为常数，），则方程的解是_____________．

16．（2021·浙江九年级月考）如图，甲、乙两点分别从直径的两端点，出发以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为.则甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是______.

17.（2021.成都市外国语实验学校初三月考）已知实数m，n满足，，则.

18．（2021·浙江九年级期中）已知是关于x的方程的两个实数根．则：（1）两实数根的和是__________；（2）若恰是一个直角三角形的两直角边的边长，那么这个直角三角形面积的最大值是_______．

三、解答题：本题共8个小题，19-24每题10分，25-26每题10分，共66分。

19．（2021·海门市东洲中学初二期中）用指定的方法解下列方程：

（1）用配方法解方程：；    （2）用公式法解方程：5x2+2x﹣1＝0；

（3）用因式分解法解方程：

20．（2021·绵阳市九年级期中）阅读理（解析）解：

定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个方程的“对称方程”．

请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程的“对称方程”是______．

（2）若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．

21．（2021·山东菏泽市·中考真题）列方程（组）解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

22．（2021·浙江九年级期中）如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．

23．（2021·四川成都市·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：对于任意实数a，方程恒有两个实数根

（2）设，是该方程的两个根，若，求a的值．

24．（2021·河北九年级其他模拟）阅读理解：

对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解．解决问题：（1）因式分解：___________（2）求方程的解

25．（2021·绵阳市九年级期中）阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程在的两根分别可表示为，．那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．

利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题：

（1）已知方程的两根分别为、，求与的值．

（2）已知方程的两根分别、，若，求与的值．

（3）已知一元二次方程的一根大于2，另一根小于2求a的取值范围．

26．（2021·山东青岛市·九年级一模）问题提出：

如果在一个平面内画出条直线，最多可以把这个平面分成几部分？

问题探究：为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．

探究一：如图1，当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为．

探究二：如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可记为．

探究三：当在平测内而2条使线，若两条直线平行（如图3），该平面被分成3部分；若两条直线相变（如图4），交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，该平面分成4部分，因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可记为，我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多

探究四：当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图 5），该平面被分成6部分；若3条直线的交点都不相同时（如图6），第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3 部分，该平面被分成7部分．因此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为．我们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部分就越多．所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．

探究五：当在平面内画4条直线（如图7），第4条直线与前3条直线有3 个交点，该直线被3个交点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11分．因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为．

探究六：在平面内面5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）__________

问题解决：如果在一个平面内画出条直线，最多可以把这个平面分成          部分．

应用与拓展：（1）如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至多被分成       个部分．（2）如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有      条．（3）一个正方体蛋糕切5刀，被分成的块数至多为      块．