第9章 中心对称图形（基础卷）——2022-2023学年八年级下册数学单元卷（苏科版）（原卷版+解析版）

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第9章  中心对称图形（A卷·知识通关练）

核心知识1. 图形的旋转

1．如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转 　   　°后能与原来的图形重合．

2．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE．若∠E＝65°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为 　   　．

3．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝　   　．

4．如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A'B'C'．若点B′恰好落在BC边上，则∠CB'C'的度数为 　   　．

5．如图，△ABC中A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．

（1）将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；

（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；

（3）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；

（4）在△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3中，△　   　与△　   　成轴对称，对称轴是　   　；△　   　与△　   　成中心对称，对称中心的坐标是　   　．

核心知识2．中心对称与中心对称图形

1．以下图形中：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；中心对称图形有 　   　（填序号）．

2．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转180°，得到的数字是 　   　．

3．如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 　   　处（填写区域对应的序号）．

4．在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有　   　个．

5．如图，是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是　   　．

6．如图的四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是　   　．

7．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 　   　cm2（用n的代数式表示）．

8．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是　   　cm2．

9．由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示，请你用一条割线（可以是折线）将它分割成两个图形，使之关于某一点成中心对称，要求给出两种不同的方法．

10．如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：

（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；

（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；

（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．

核心知识3．平行四边形的判定与性质

1．在平行四边形ABCD中，如果∠A+∠C＝200°，那么∠A的度数是 　   　度．

2．▱ABCD中，若∠A：∠B＝2：3，则∠C＝　   　．

3．已知▱ABCD的周长为12，若AB＝2BC，则CD的长为 　   　．

4.  如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝58°，则∠BAD＝　   　．

5．平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为　   　．

6．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为 　   　．

7．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ的最小值为 　   　．

8．如图所示，在▱ABCD中E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是　   　，

①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．

9．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，问图中有多少个平行四边形？　   　．

10．如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC边的中点，求证：BE∥DF．

11．已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．

求证：（1）△ABF≌△CDE．

（2）四边形AECF是平行四边形．

12．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．

求证：（1）△ABE≌△CDF；

（2）四边形AECF是平行四边形．

13．如图：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，AM⊥BE，CN⊥DF，垂足分别为M、N，且AM＝CN．求证：四边形BEDF是平行四边形．

核心知识4．菱形的判定与性质

1．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是　   　．

2．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，AB＝6，则四边形ABCD的周长为 　   　．

3．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正确的结论的序号是　   　．

4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为 　   　．

5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若FG＝5，CF＝6，则四边形BDFG的面积为　   　．

6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF

（1）证明：四边形ADBF是菱形．

（2）若AB＝3，AC＝4，求菱形ADBF的面积．

7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝2，求平行四边形ABCD的面积．

8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．

9．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB，BD＝2，求OE的长．

核心知识5．矩形的判定与性质

1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知∠AOB＝60°，AC＝6，则AB的长为 　   　．

2．如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PA，PC．若BE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为 　   　．

3．如图，在矩形ABCD中，若AB＝7，∠DBC＝30°，则AC的长为 　   　．

4．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为　   　．

5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　   　．

6．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为　   　．

7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是　   　．

8．如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．

（1）求证：四边形OCEB是矩形；

（2）如果设AC＝12，BD＝16，求OE的长．

9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．

（1）求t为何值时，四边形ABQP是矩形；

（2）求t为何值时，四边形AQCP是菱形．

核心知识6．正方形的判定与性质

1．已知正方形的对角线长为6，则它的面积为 　   　．

2．如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是　   　．

3．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为 　   　度．

4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　   　．

5．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．

（1）求证：四边形BECF是菱形；

（2）当∠A＝　   　°时，四边形BECF是正方形；

（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 　   　．

6．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

7．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．

（1）求证：四边形BFEG是矩形；

（2）求四边形EFBG的周长；

（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？

8．已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN＝45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H

（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；

（2）如图2，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，CD＝3，求AD的长；

小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？

核心知识7．三角形中位线

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E，F，D分别是AB，BC，CA的中点，若CE＝5，则线段DF的长是 　   　．

2．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若BC＝6cm，则线段DE＝　   　cm．

3．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，则AB+BC的长为　   　．

4．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN．若AB＝5，BC＝8，则MN＝　   　．

5．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝140°，E、F分别是AB，AD的中点，且∠AFE＝50°，若BC＝10，CD＝6，则EF＝　   　．

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是 　   　．

7．如图，△ABC的周长为28，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长是 　   　．

8．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是CD、AB、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝80°，则∠FEG＝　   　．

9．已知：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，M、N分别是AB、CD的中点．

求证：MD＝MC，MN⊥CD．

10．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．

11．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．

（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF（AC﹣AB）；

（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．

12．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF＝∠CQF．

核心知识8．四边形翻折问题

1．如图，已知矩形ABCD，点E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，连接B′C．

（1）求证：AE∥B′C．

（2）若AB＝8，BC＝12，求线段B′C的长．

2．如图，将长方形ABCD纸片沿MN折强，使A、C两点重合．点D落在点E处，MN与AC交于点O．

（1）求证：△AMN是等腰三角形；

（2）若BM＝4，∠BAM＝30°．求MN的长．

3．在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．

（1）求证：B'E＝DE；

（2）求证：B'D∥AC；

（3）在平行四边形ABCD中，已知：BC＝4，∠B＝60°，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．若以A、C、D、B'为顶点的四边形是矩形，求AC的长．

4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点（靠近点A），点F为线段CD的三等分点（靠近点C），且CE⊥AB．将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC＝DG．

（1）证明：四边形AECF为矩形；

（2）求平行四边形ABCD的周长．

5．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB'E，延长AB'与直线CD交于点M．

（1）求证：AM＝MF；

（2）当点E是边BC的中点时，求CM的长；

（3）当CF＝4时，求CM的长．

6．如图，已知正方形ABCD的边长为12cm，E为边AB上一点且AE长为2cm，动点P从点B出发以每秒2cm的速度沿射线BC方向运动．在点P的运动过程中，把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处．设运动时间为t秒．

（1）当t＝　   　时，∠B'PC为直角；

（2）是否存在某一时刻t，使得点B'到直线CD的距离为6cm？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．

核心知识9．函数与四边形综合问题

1．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数yx+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的一个动点．

（1）求得b＝　   　；

（2）连结OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：5，求点M的坐标；

（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．

2．已知，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．

（1）以点B为坐标原点，将矩形ABCD放在平面直角坐标系中，点C、A分别在x轴、y轴上（如图1），沿对角线BD折叠该矩形，点A落在点E处，DE交x轴于点F，求过点F并将矩形面积平分的直线所对应的一次函数表达式；

（2）以对角线BD为边长作正方形DBQP，并将该正方形绕点D旋转，记作正方形DB1Q1P1（如图2），DB1交边BC于点M，B1Q1、Q1P1分别交DC、BC的延长线于点H、N．

①求证：MN＝DH；

②正方形DBQP在旋转过程中，当点B对应的点B1恰好落在线段QP1的上时，求线段QP1的长．（0°＜旋转角＜180°）

3．如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），四边形ABCD是正方形．

（1）求b的值和点D的坐标；

（2）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）．

①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；

②探索在x轴上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．

4．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x﹣6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）．

（1）写出点B的坐标是（ 　   　，　   　）；

（2）当S四边形BEGF时，求点E的坐标；

（3）在点E的整个运动过程中，

①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标；

②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为 　   　．（请直接写出答案）

5．如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．

（1）请直接写出点C的坐标；

（2）如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；

（3）如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的解析式；若不存在，请说明理由．