第一章 直角三角形的边角关系（基础卷）——2022-2023学年九年级数学下册单元卷（北师大版）（原卷版+解析版）

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第一章 直角三角形的边角关系（A卷·知识通关练）班级 姓名 学号 分数 核心知识1 理解正弦、余弦、正切的概念 核心知识2 求角的正弦值、余弦值、正切值 核心知识3 在网格中求角的正弦值、余弦值、正切值核心知识4 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 核心知识5 求特殊角的三角函数值 核心知识6 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 核心知识7 利用三角函数解决实际问题 核心知识1 理解正弦、余弦、正切的概念 例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据锐角三角函数的定义解答．【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，则．故选：C．【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．【变式训练】1．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）已知在中，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定义解答，正弦定义是在中，，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．【详解】解：∵中，，，，∴,故选A．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正弦，解决问题的关键是熟练掌握正弦的定义．2．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．【详解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴cosB=，故A不符合题意；B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意；C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=，∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠，故C符合题意；D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键．3．（2021·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　）A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝【答案】D【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，则cosA＝＝，故A错误；sinB＝＝，故B错误；tanA＝，故C错误；tanB＝＝，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键．4．（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．=cosA，不符合题意；B．=tanA，不符合题意；C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意；D．=sin∠DBC=sinA，符合题意；故选： D．【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．5．（2022·上海·九年级单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中成立的是（　　）A．sinA＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanA＝【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义逐项进行判断即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，由锐角三角函数的定义可得，A.sinA＝，故选项错误，不符合题意；B. cosB＝，故选项正确，符合题意；C. tanB＝，故选项错误，不符合题意；D.tanA＝，故选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．6．（2022·广西贺州·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正切的定义解答即可．【详解】解：tanA=．故答案为A．【点睛】本题主要考查了正切的定义，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA．核心知识2 求角的正弦值、余弦值、正切值 例题：（2022·上海·九年级专题练习）在中，．下列四个选项，正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义判断即可．【详解】解：如图，根据勾股定理得：BC===3，=，=，=，=，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，要注意．【变式训练】1．（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区北大培文学校九年级阶段练习）矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，依据∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，∴∠BCF+∠BFC＝90°，根据折叠的性质得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，∴∠AFE+∠BFC＝90°，∴∠AFE＝∠BCF，在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，由勾股定理得：BF＝＝＝6，则tan∠BCF＝＝，∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键．2．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）已知Rt△ABC中，∠C=90°，，则tanA=_____．【答案】【分析】通过勾股定理先求出邻边的长，再求出tanA即可．【详解】解：∵，在直角三角形ABC中，∠C=90°，设CB=a，则AB=4a，在直角三角形ABC中，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查利用三角函数解直角三角形，能够通过三角函数值求出三边长是解题关键．3．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，正方形中，点是边的中点，，则______．【答案】【分析】依题意设AE=x， 则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【详解】设AE=x， 则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x， ∴，，，∴，∴△CEM是直角三角形，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据题意，确定△CEM是直角三角形以及熟练掌握正弦等于对边比斜边是解题的关键．4．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形中，、相交于点，过点作，且，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，当，，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义得，则，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．（1）证明：四边形是菱形，，，，，，，四边形是平行四边形，又，平行四边形是矩形；（2）解：如图，四边形是菱形，，，，在中，，，，，，由（1）可知，四边形是矩形，，，．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．核心知识3 在网格中求角的正弦值、余弦值、正切值例题：（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接AC后，利用勾股定理求出所需的线段长度即可．【详解】解：如图，连接AC在Rt△BEC中，BC= ∵AD⊥BC，∴×BC×AD=8，即 ， 解得 ，在Rt△ADB中， ， 故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数值的求解，能够构造直角三角形并用勾股定理求出线段长度是解题关键．【变式训练】1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（    ）A．3 B．2 C．2 D．【答案】A【分析】过C作CM∥AB，过D作DN⊥MC于N，从而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理求出CN、DN的值，最后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，∴，∴tan∠DCN＝＝＝3，∴∠APD的正切值为：3，故选：A．【点睛】本题考查锐角三角函数与勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、勾股定理的应用、正切函数的概念是解题关键 ．2．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（        ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】先根据圆周角定理可得，然后求出∠AED的正切值即可．【详解】解：由圆周角定理得：，∴tan∠AED=tan∠ABD=．故选：D．【点睛】本题主要考查了正切三角函数、圆周角定理等知识点，利用圆周角定理得出是解答本题的关键．3．（2022·山东潍坊·九年级阶段练习）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 _____．【答案】【分析】连接，根据格点特点得出，，，即可得出答案．【详解】解：连接，如图所示：根据方格纸的特点可知，，，∴，∴，∵，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．4．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是______．  【答案】1【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．【详解】解：连接AB，由勾股定理得：AB＝，AO＝，OB＝，∴AB＝AO，，∴△ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形，∴，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．5．（2022·上海市罗山中学九年级期中）如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是 _____．【答案】【分析】设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，根据平行线分线段成比例定理得出，由勾股定理求出BD、DC、AC，求出DE和CE，过C作CF⊥BD于F，根据三角形的面积得出，求出CF，根据勾股定理求出EF，再解直角三角形求出答案即可．【详解】解：设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，∵，∴∴，由勾股定理得：，，，则，，过C作CF⊥BD于F，∵△BCD的面积，∴△DCE的面积为，∴，∴ ，∴，由勾股定理得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识点，能求出CF的长是解此题的关键．6．（2021·四川乐山·三模）如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，图中的点C是该弧与网格线的交点．则sin∠BAC的值等于_____．【答案】【分析】利用CDAB，得到∠BAC=∠DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，可得sin∠ACD==，从而可得答案．【详解】如图：∵CDAB，∴∠BAC＝∠DCA．∵同圆的半径相等，∴AC＝AB＝3．在中，sin∠ACD＝．∴sin∠BAC＝sin∠ACD＝．故答案为：．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用图形的性质进行角的等量代换．7．（2022·福建·莆田擢英中学九年级期末）如图所示，∠1是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠1的值是_____．【答案】【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC直角三角形，然后利用正弦的定义求解．【详解】解：如图，∵，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴．故答案为．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数．也考查了勾股定理的逆定理．8．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则tanB＝__________．【答案】【分析】先利用格点和勾股定理计算AB、AC、BC，再判断△ABC的形状，最后求出tanB．【详解】解：连接A、C，则AB=，AC=，BC=，∵AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形．∴tanB=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理和勾股定理的逆定理是解决本题的关键．核心知识4 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长例题：（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（    ）A．6 B．7.5 C．8 D．12.5【答案】A【分析】根据题意画出图形，然后根据三角函数的知识进行解答即可．【详解】解：如图∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知正弦的定义：对边比斜边，是解本题的关键．【变式训练】1．（2021·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， ，则BC＝___．【答案】5【分析】根据，可设BC=5x，则AB=13x，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：∵，，∠C＝90°，∴，设BC=5x，则AB=13x，∵，∴，解得：x=1或-1（舍去），∴BC=5．故答案为：5【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）已知中，，，，则的长为___________．【答案】【分析】由锐角三角函数定义可知，在直角三角形中，正切是该角的对边与邻边的比．利用正切函数得出两直角边的关系，再由勾股定理即可求出另一直角边的长．【详解】解：在中，，，∴，∵，根据勾股定理：，（负值舍去）．故答案为：．【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的计算是解答本题的关键．3．（2022·安徽宿州·一模）如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长．【答案】【分析】首先根据求出AC，再根据勾股定理求出答案即可．【详解】∵∠B＝90°，∴．∵AB＝10，∴AC＝14，∴．∴BC的长为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦值求出AC是解题的关键．4．（2022·河北·邢台市第六中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=，求：(1)CD的长(2)cosB的值【答案】(1)4(2)【分析】（1）直接在Rt△ADC中根据正切的定义求解即可；（2）先求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后根据余弦的定义求解即可．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵在Rt△ADC中，，∴；（2）解：由（1）得CD=4，∴BD=BC-CD=8，在Rt△ABD中，由勾股定理得：，∴．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出CD的长是解题的关键．5．（2023·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级开学考试）如图，在平行四边形中，于点，于点，平行四边形的周长为28，面积为40，．求：(1)的长；(2)的值．【答案】(1)5(2)【分析】（1）先根据平行线的性质得到，再由，求出，，再根据平行四边形面积公式求解即可；（2）先证明，在中，，则．（1）解：∵平行四边形中，，，平行四边形的周长为28，∴，又∵，∴，，∵，∴；（2）解：∵在四边形中，，，，∴，又∵在平行四边形中，，∴，在中，，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，求角的正弦值，四边形内角和定理等等，熟知平行四边形的性质是解题的关键．核心知识5 求特殊角的三角函数值 考点四 求特殊角的三角函数值例题：（2022·山东·济南阳光100中学九年级阶段练习）计算：(1)(2)．【答案】(1)(2)2【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘方，再计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）首先计算绝对值、零指数幂、二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】（1）解：．（2）解：．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【变式训练】1．（2022·山东·乳山市乳山寨镇中心学校九年级阶段练习）在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（         ）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先求出∠C=30°，再求出的值即可．【详解】解：△ABC中，∵∠A=105°，∠B=45°，∴∠C=180°-105°-45°=30°，∴故选：A【点睛】本题主要考查三角形内角和公式，正弦定理，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）计算：．【答案】9【分析】根据负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂的法则进行计算便可．【详解】解：原式【点睛】本题主要考查了实数的运算，关键是熟记负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂的法则．3．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）计算：【答案】【分析】根据零指数幂和负整数指数幂法则，特殊角三角函数值以及绝对值的代数意义计算即可得解．【详解】解： ．【点睛】本题考查实数的运算及特殊三角函数值，熟练掌握各自的运算法则是解题的关键．4．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）计算：【答案】【分析】先化简各个项，再计算即可．【详解】解：原式=．【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据乘方、绝对值、特殊三角函数值、零指数幂先进行化简．5．（2022·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）计算：．【答案】1【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案．【详解】解：原式＝3﹣2×﹣1＝3﹣1﹣1＝1．【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．6．（2022·广东·深圳市光明区公明中学九年级阶段练习）计算：sin45°﹣|﹣3|+（2022﹣π）0+（）﹣1．【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值，幂的运算，负整数指数幂，二次根式的运算将各项化简，然后计算求解．【详解】原式＝＝1﹣3+1+2＝1．【点睛】此题考查实数的运算，熟练掌握实数的相关各种运算法则是解题的关键．7．（2022·广东北江实验学校三模）计算：．【答案】【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简各数，然后即可求解．【详解】解：原式＝．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，掌握二次根式的性质是解题的关键．核心知识6 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 例题：（2022·海南·九年级专题练习）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，(1)求的距离；(2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，）【答案】(1)16cm(2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG⊥EF，，证明EF=EG+QC+CP，再分别运用解直角三角形求出EG、QC、CP即可．（1）∵，，AB=32cm∴(cm)（2）如图，作DG⊥EF于点G，过点C作，交DG于点Q，交AB于点P， ∵DG⊥EF，AF⊥EF，∴DG⊥PQ，AF⊥PQ， ∴四边形FPQG是矩形，FG=PQ，∴(cm)，(cm)，∵∴∠EDG=75°-60°=15°∴(cm)∴EF=EG+FG=EG+PQ=EG+CQ+PC=(cm)故E到地面的距离EF为105cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形，作辅助线构造相等线段，熟练运用解直角三角形求线段长度是解题关键．【变式训练】1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）【答案】点B到桌面得距离为28.78cm【分析】点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，在Rt△ABC中，解直角三角形求得AB，继而求得，在Rt△AOD中，解直角三角形求得OD，继而即可求解．【详解】如图，过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，由题意可知：OD⊥AC，AC=10cm，，∵∠AOM=160°，∴∠AOD=20°，∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，∴∠OAD=70°，∵∠OAB=115°，∴∠BAC=45°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∴AC=BC=10cm，在Rt△ABC中，cos∠BAC=，∴，∵，∴，在Rt△AOD中，cos∠AOD=，∴，∴点B到桌面的距离为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，熟练掌握并应用三角函数定义．2．（2022·重庆·模拟预测）翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘，且、之间的距离为30米，经测量，，长度为42米．（参考数据：，）(1)求空地边缘的长度；（结果精确到1米）(2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度为2米的园林卵石步道，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？【答案】(1)空地边缘的长度为64米；(2)此次修建费用足够【分析】（1）过作交于，过作交的延长线于，证得四边形是矩形，从而，分别在和中，利用正切三角函数求得AK、BH的值，即可求解；（2）分别求出和梯形ABCD的面积，从而，再求出总费用，比较即可.（1）解：（1）如图，过作交于，过作交的延长线于，，，，，，，∴四边形是矩形，，，在中，，，，，在中，，，，（米）答：空地边缘的长度为64米．（2）解：由题得，四边形为平行四边形，，，，∴总花费为：（元），答：此次修建费用足够．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造出含有特殊角的直角三角形，属于中考常考题型．3．（2022·上海·九年级专题练习）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，）【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm．【分析】过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，由平行线的性质可得，得出，在与中，分别利用锐角三角函数求解得出，，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出．【详解】解：如图所示：过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，∵，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为．【点睛】题目主要考查平行线的性质，利用锐角三角函数解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用锐角三角函数是解题关键．4．（2022·浙江绍兴·一模）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得，求的长度．(结果精确到)（参考数据：）【答案】【分析】过点作交于点．构造直角三角形，在中，计算出，在中， 计算出.【详解】解：如图所示：过点作交于点．在中， 又∵在中， 答：的长度为【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5．（2022·浙江·九年级专题练习）小甬要外出参加“建党100周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，图②分别是他上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．(1)求DE的长度（结果保留根号）；(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．【答案】(1)（20+20）cm(2)（20+20）cm【分析】（1）过点F作FH⊥CD，垂足为H，在Rt△DFH中，求出FH，DH，再在Rt△CFH中，求出CH，从而求出CD，进而求出CE，然后进行计算即可解答；（2）过点A作AG⊥ED，交ED的延长线于点G，根据题意可得AC＝40+40，然后在Rt△AGC中，利用锐角三角函数求出AG即可解答．（1）解：过点F作FH⊥CD，垂足为H，在Rt△DFH中，∠D＝30°，DF＝30，∴FH＝DF＝15cm，DH＝DFcos30°＝30×＝15cm，在Rt△CFH中，∠DCF＝45°，∴CH＝FH＝15cm，∴CD＝CH+DH＝（15+15）cm，∵CE：CD＝1：3，∴CE＝CD＝（5+5）cm，∴DE＝CE+CD＝（20+20）cm，∴DE的长度为（20+20）cm；（2）解：过点A作AG⊥ED，交ED的延长线于点G，由题意得：AB＝BC＝ED＝20+20，∴AC＝AB+BC＝40+40，在Rt△AGC中，∠ACG＝45°，∴AG＝ACsin45°＝（40+40）×＝（20+20）cm，∴拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为（20+20）cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学九年级期中）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点，底座米，底座与支架所成的角，点在支架上，篮板底部支架.于点，已知米，米，米.(1)求篮板底部支架与支架所成的的度数．(2)求篮板底部点到地面的距离，（精确到0.1米）（参考数据：，）【答案】(1)篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；(2)篮板底部点E到地面的距离约为2.2米【分析】（1）在Rt△HEF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）延长FE交直线BC与点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，根据题意易证四边形ABMG是矩形，从而得AB=GM，然后在Rt△AGF中求出FG，从而求出EG，最后在Rt△ABC中，求出AB，进行计算即可解答．（1）∵EF⊥EH，∴∠HEF=90°，在Rt△HEF中，HF=米，HE=米，∴∴∠FHE=45°，∴篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交直线BC与点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，∴∠AGM=∠AGF=90°，∵ ，∴FM⊥BC，∴∠BMG=90°，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴四边形ABMG是矩形，∴AB=GM，∵，∴∠FHE=∠FAG=45°，∴（米），（米），∴EG=FG-EF=（米），在Rt△ABC中，（米），∴GM=AB=（米），∴EM=EG+GM=（米），∴篮板底部点E到地面的距离为2.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．核心知识7 利用三角函数解决实际问题 例题:（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）李威在A处看一棵大树的顶端D处的仰角是30°，向树的方向前进30米到B处看树顶D处的仰角是60°，李威的眼睛离地面高米，已知，E、F、G在一条直线上，求树高 是多少？（结果保留根号）【答案】树的高是米【分析】先证明得到，解直角三角形求出的长即可得到答案．【详解】解：由题意可知：，∴，∴（米），在中，∵，∴米，∴米，答：树的高是米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，求出的长是解题的关键．【变式训练】1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后在地面上沿CB向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．求楼房AB高度．（结果保留根式）【答案】（15+5）米【分析】)过点D作DF⊥BC，垂足为F，设AB=x，AG=x-5，则， ，根据DG＝FC+CE+BE，列出方程，即可求解.【详解】解：过D作DF⊥BC，垂足为F，∵i＝1：，∴DF：FC＝1：，CD＝10，∴DF＝5，CF＝5，过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AB＝x，则AG＝x﹣5，在Rt△ABE中， ，在Rt△ADG中，，由DG＝FC+CE+BE得，（x﹣5）＝5+10+x，解得，x＝15+5，答：AB的高度为（15+5）米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，根据特殊角的三角函数的定义，列出方程是解题的关键．2．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．【答案】(1)167.79米(2)能，理由见解析【分析】（1）过点M作，交AC的延长线于D，设．解，得，解，得，进而可得，解方程即可；（2）作，交l于点F．解求出DF，进而求出AF，与AB比较大小即可．（1）解：过点M作，交AC的延长线于D，设．∵在中，，又∵在中，，∴，∵，∴． ∴（米）．即轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．（2）解：作，交l于点F．在中，有：（米），∴．∴该轮船能行至码头靠岸．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．3.（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求点B距水平面AE的高度BH．(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414 ,≈1.732 ）【答案】(1)点B距水平面AE的高度BH是2米(2)广告牌CD的高度约为2.1米【分析】（1）根据山坡AB的坡度为i=1：3，可设BH=a,则AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，则BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再在Rt△BFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答．【详解】（1）解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，∴设BH=a,则AH=3a，∵AB=2，由勾股定理得BH=2，答:点B距水平面AE的高度BH是2米；（2）解：在Rt△ABH中, BH=2，∴AH =6，在Rt△ADE中, tan∠DAE=.，即DE=tan60 ·AE=8 ，如图,过点B作BF⊥CE ,垂足为F，BF= AH + AE=6+8 =14，DF= DE- EF= DE- BH =8—2，在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，∴ CF= BF= 14, ∴CD=CF- DF =14—（8—2）= 14—8+2≈2.1答:广告牌CD的高度约为2.1米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=≈1．73）(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为___________．（结果保留根号）(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内此时的CD，并求此时CD的长．（结果保留根号）【答案】(1)60°，(2)【分析】（1）设正午 12 点时， 太阳光线与地面的夹角为 ，由题意可知，没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为：（2）根据，求得，，根据，即可求解．（1）设正午 12 点时， 太阳光线与地面的夹角为 ，由题意可知∶ ，， 正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为 由题意可知：没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为∶ 没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为 ，故答案为： ；（2）由题意可知∶，，，，， 此时 的长为 ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．5．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）【答案】(1)点P到海岸线l的距离为（-1）km；(2)点C与点B之间的距离为km．【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=1km，再解Rt△BCF，得出BC即可．（1）解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，∴BD=PD=xkm．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，∴AD=PD=xkm．∵BD+AD=AB，∴x+x=2，x=-1，∴点P到海岸线l的距离为（-1）km；（2）解：如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=1km．在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC=BF=km，∴点C与点B之间的距离为km．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．6．（2022·山东·乳山市乳山寨镇中心学校九年级阶段练习）如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：(1)坝底AB的长；(2)坡BC的长；(3)迎水坡BC的坡度．【答案】(1)米(2)9米(3)【分析】（1）过D点作DE⊥AB于E点，先证明四边形CDEF是矩形，即有CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，根据∠B=30°，背水坡AD的坡度比为1:1.2，可得，AE=1.2DE=5.4，则问题得解；（2）根据即可求解；（3）利用坡比的定义，即可得出迎水坡BC的坡比的值．（1）解：过D点作DE⊥AB于E点，如图，根据题意有：，，∠B=30°，∵，∴四边形CDEF是矩形．∴CF=DE，EF=CD，∵CF=4.5，CD=2.5，∴CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，∵CF=4.5，CD=2.5，∠B=30°，背水坡AD的坡度比为1:1.2，∴，AE=1.2DE=5.4，∴AB=BF+EF+AE=+2.5+5.4=+7.9（米），故坝底AB的长为：米；（2）∵∠B=30°，CF=4.5，∴（米），即坡BC长为9米；（3）∵CF=4.5，，∴迎水坡BC的坡度为：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了坡度与坡角问题，通过构造直角三角形，矩形，利用直角三角形的性质和矩形的性质，锐角三角函数的概念求解是解题关键．