第一章 直角三角形的边角关系（培优卷）——2022-2023学年九年级数学下册单元卷（北师大版）（原卷版+解析版）

第一章 直角三角形的边角关系（B卷·能力提升练）

班级              姓名             学号             分数         

考试范围：全章；  考试时间：120分钟；  总分：120分

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．（2022·广东梅州·九年级期末）2sin60°的值等于（　　）

A． B． C． D．

2．（2022·山东·泰山外国语学校九年级阶段练习）如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（   ）

A． B． C． D．

3．（2022·黑龙江大庆·九年级阶段练习）若，是一个三角形的两个锐角，且满足.则此三角形的形状是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定

4．（2022·重庆八中九年级阶段练习）如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠BAC等于（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）某游乐场一个不等臂跷跷板AB长 5.6 米，支撑柱 OH 垂直地面，如图 1，当 AB的一端A着地时，AB与地面的夹角的正切值为；如图2，当AB 的另一端 B 着地时，AB 与地面夹角的正弦值为，则支撑柱 OH的长为（     ）

A．0.4 米 B．0.8 米 C．米 D．1.2 米

6．（2022·河北保定·九年级期末）小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（  ）

A．米 B．米 C．米 D．米

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（2022·云南玉溪·九年级期末）计算：4tan45°＝________．

8．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级期末）如果，那么锐角的度数为________°．

9．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）在中，，，则_____________．

10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔项部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是______m（，，结果保留一位小数）．

11．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图，折线—中，，将折线—绕点A按逆时针方向旋转，得到折线—，点B的对应点落在线段上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接，若，则_____．

12．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，），D为线段AB上一动点（D点不与A、B重合），沿OD折叠，点A恰好落在△ABO的边上，则D点坐标是__________．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）计算：．

14．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）已知：如图，在中，求的值．

15．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，一艘渔船以海里的速度由西向东追赶鱼群，在处测得小岛在船的北偏东方向；后，渔船行至处，此时测得小岛在船的北偏东方向．已知以小岛为中心，周围海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？

16．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图，在中，，点D是BC边上的一点，，，．

(1)求AC和AB的长；

(2)求的值．

17．（2022·浙江·九年级专题练习）把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'．

(1)求∠B'EE'的度数；

(2)求∠DAC的正切值．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）．

(1)求，两点的高度差；

(2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：）

19．（2022·上海黄浦·二模）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于点E．

(1)求证：ABCD；

(2)已知BC＝6，AB＝10，求的值．

20．（2021·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学九年级阶段练习）已知操场上旗杆PQ的高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，在BQ延长线上的A处测得点P的仰角为45°．

(1)试求A、B两点之间的距离；

(2)小唐同学正在放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处．此时，B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上，在A处小唐同学背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，求A、C两点之间的距离．（结果可保留根号）

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（2022·浙江·九年级专题练习）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得FA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．

(1)椅面CE的长度为 　  　cm．

(2)如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值 时，A，B两点间的距离为 　   　cm（结果精确到0．1cm）．（参考数据： ， ， ）

22．（2023·上海市民办明珠中学九年级阶段练习）已知，在中，，，点P是边上的一个动点，连接，以为一边，在外作，交的延长线于点D．

(1)当平分时，求的面积；

(2)当时，求的正弦值；

(3)设，，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.

六、（本大题共12分）

23．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）把大小不同的两个等腰直角△ABC与△DEC的直角顶点C重合，两个直角边也重合，按如图1所示的位置摆放，然后将△DEC绕点C逆时针旋转，如图2，连接AD，BE，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．

(1)若0°＜α＜180°，求证：△ACD≌△BCE；

(2)如图3，当点E在线段AD上时，

①求∠AEB的度数；

②若CD＝，BC＝5，求tan（α﹣90°）的值；

(3)直接写出当△ACD的面积最大时α的值．