初一数学人教版春季班 第10讲 不等式及不等式组--尖子班 试卷

第9讲  二元一次方程组的应用

知识点1 利润问题

1．利润的计算方法

利润=卖出价-进价

利润=进价×利润率（盈利百分数）

注意：“利润”和“利润率”是不同的两个概念

2．二元一次方程组的应用

列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．

（4）求解．

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．

注意：列二元一次方程组，需要设两个未知数，列两个方程．

【典例】

例1（2020春•淇县期中）某超市投入1380元资金购进甲、乙两种矿泉水共50箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：

（1）该超市购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？

（2）全部售完50箱矿泉水，该超市共获得利润多少元？

【方法总结】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

例2 （2020春•新蔡县期中）某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元，求每台型电脑和每台型电脑的销售利润．

【方法总结】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•魏都区校级月考）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按八折出售，这样商店共获利104元，问甲、乙两件服装的成本各是多少元？

2．（2020春•肇源县期末）列方程组解应用题

某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑、白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花2400元购买了黑、白两种颜色的文化衫100件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：

（1）学校购进黑、白文化衫各几件？

（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．

知识点2 行程问题

行程问题

路程=速度×时间

行程问题

1.追击问题：它的特点是同向而行，这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析，其等量关系式是：两者的行程差=开始时两者相距的路程．

2.相遇问题：它的特点是相向而行，这类问题也比较直观，因而也画线段帮助理解与分析，其等量关系是：双方所走路程之和=总路程．

3.航行问题：①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；

②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；

③顺水速度-逆水速度=2×水速．

【典例】

例1 （2020春•南岗区校级期中）、两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，则这艘轮船在静水中的速度是每小时　　千米．

【方法总结】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

例2 （2020春•巍山县期末）列方程组解应用题：甲、乙两人相距6千米，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可追上乙．

（1）根据题意画出示意图，分为相向而行、同向而行两种；

（2）求两人的平均速度各是多少？

【方法总结】

本题考查的是追及与相遇的问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．

【随堂练习】

1．（2020春•大兴区校级期中）列二元一次方程组解应用题：

地至地的航线长1200千米，一艘轮船从地顺水开往地需30小时，它逆水走同样的航线需要40小时．求轮船在静水中的平均速度和水速．

2．（2020•长春模拟）为提高学生综合素质，亲近自然，励志青春，某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时；原路返回时，以每小时5千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了4小时，问平路和坡路各有多远．

知识点3 数字问题

数字问题：个位数上的数字为a，十位数上的数字是b，则这个两位数表示为10b+a．

1.解答数字问题的应用题，不能直接设这两位数（或者三位数）是为x，而是设这两位数十位上数字为x，个位上数字为y，则这个两位数为：10x+y，如果这个两位数个位与十位交换后，则得到新的两位数为：10y+x，然后根据题目所给条件进行解答．

2.常见已知数位上的数字，表示数的形式

①个位数上的数字为a，十位数上是数字是b，则这个两位数表示为10b+a；

②个位数上的数字为a，十位数上是数字是b，百位数上的数字为c，则这个三位数表示为100c+10b+a；

③个位数上的数字为a，十位数上是数字是b，百位数上的数字为c，千位数上的数字为d，则这个四位数表示为1000d+100c+10b+a．

【典例】

例1 （2020春•孟津县期中）一个两位数，两个数位上的数字一个是另一个的2倍，若把此两位数的两个数字对调，所得新数比原数大27，则此两位数是　　．

【方法总结】

此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．

例2 （2020春•岱岳区期末）已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字和是3，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数是　　．

【方法总结】

本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的

等量关系，列方程组求解．

【随堂练习】

1．（2019秋•东湖区期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果把个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为　　．

2．（2020春•寿光市期中）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是　　．

知识点4 配套问题

配套问题

解这问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例．

解答这类问题的关键是要弄清基本等量关系，总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例．如常见的工人生产螺母和螺栓（一个螺栓两个螺母配成一套），每天生产出多少产品配成最多套问题，这里面的等量关系为：生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数=工人总人数；生产的螺栓的数量×2=生产的螺母的数量．

【典例】

例1 （2020春•卫辉市期中）某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应怎样分配工人，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？

【方法总结】

此题考查了二元一次方程组的应用，解决此类题目需仔细分析题意，利用方程组即可解决问

题，但应注意配套问题中零件数目的关系．

例2 （2020春•新野县期末）实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方

体的侧面30个，或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现

有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余？

【方法总结】

此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，

找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下

题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•肇州县期末）用白铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或8个桶底，而1个桶身1个桶底正好配套做1个水桶，现在有63张这样的铁皮，则需要多少张做桶身，多少张做桶底正好配套？

2．（2020春•南安市期中）（用方程或方程组解答本题）

根据小敏、小聪、小东、小强四人的对话内容，请你设计一下，分别安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套？

知识点5 几何问题

几何问题

列方程组解几何图形应用题，通常主要考查边、角、周长、面积等问题．解决这类问题的基本关系式有关于几何图形的性质、周长、面积等计算公式．

列方程组解几何图形应用题的关键：

  ①从题干所给关键文字信息去找等量关系；

②从图形中找等量关系：找拼接线（用不同方式拼接）

  如下图所示：

③当题出现不规则摆放时，可将小长方形进行平移

   如下图所示：

【典例】

例1（2020春•赣榆区期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是　　．

【方法总结】

本题考查了运用列三元一次方程组解决实际问题的运用及方程组的解法的运用，在解答时设参数建立方程是关键．

例2 （2020春•海珠区校级月考）如图，周长为的长方形被分成7个相同的矩形，求长方形的面积．

【方法总结】

考查了二元一次方程组的应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．注意要弄清小长方形的长、宽与大长方形长、宽的关系．

【随堂练习】

1．（2020春•拱墅区月考）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为　　

A． B． C． D．

2．（2020•越秀区校级一模）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为　　

A． B． C． D．

   综合运用

1．（2020春•黄陂区期末）将如图左侧所示的6个大小、形状完全相同的小长方形放置在右侧的大长方形中，所标尺寸如图所示（单位：，则图中含有阴影部分的总面积为　　．

2．（2020秋•南开区校级月考）一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成．如果木料可以做方桌的桌面5个或做桌腿30条，现在有木料，那么用多少木料做桌面、多少木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？

3．（2020春•甘南县期中）某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎样调配劳力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？

4．（2020•商河县一模）目前节能灯在城市已基本普及，今年安徽省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3800元购进甲、乙两种型号的节能灯共120只，两种灯的进价和售价如下表．

（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？

（2）全部售完120只节能灯后，该商场获利润多少元？

5．（2020•长清区一模）某体育用品商店购进了足球和排球共20个，一共花了1360元，进价和售价如表：

（1）购进足球和排球各多少个？

（2）全部销售完后商店共获利润多少元？

6．（2020秋•昌图县期末）已知，从小明家到学校，先是一段上坡路，然后是一段下坡路，且小明走上坡路的平均速度为每分钟走，下坡路的平均速度为每分钟走，他从家里走到学校需要，从学校走到家里需要，求小明家到学校有多远．

7．（2020春•博白县期末）甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲、乙两人每分钟各跑多少圈？