2相似（学生版） 教案

这是一份2相似（学生版），共25页。
个性化教学辅导教案
学生姓名

年 级
初三
学 科
数学
上课时间
年 月 日
教师姓名

课 题
相似
教学目标
1、知道图形相似的判定条件，会用图形相似的性质解题；
2、熟记三角形相似的判定定理和性质，并会运用做题；
3、会用三角形相似的性质解决实际问题和位似运用.
教学过程
教师活动
学生活动

1、如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（ ）
A．5 B．6 C．25 D．32
2、如图所示，正五边形ABCDE的边长为10cm，则对角线AD=_________cm．




（第1题图） （第2题图）
3、已知扇形的弧长为4π，半径为48，则此扇形的圆心角为_________度．
4、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC.OD分别交AB于点E.F，且OE=OF．
求证：AE=BF．





5、如图，在△OAC中，以点O为圆心.OA长为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于点B，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OA=10，OD=2，求线段AC的长．
















1、下列四组图形中，一定相似的图形是（ ）
A．各有一个角是30°的两个等腰三角形
B．有两边之比都等于2：3的两个三角形
C．各有一个角是120°的两个等腰三角形
D．各有一个角是直角的两个三角形
2、若x.y为非零线段的长，则下列说法错误的是（　 　）
A．若，则 B．若2x﹣5y=0，则
C．若线段，则 D．若线段，则
3、如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①AFFD=12；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（　 　）

A． ①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③

4、已知线段a，b，c满足，且，则=_______．

5、如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为__________．

6、如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=22，BD=3，则AB的长为
_______．


（第5题图） （第6题图）
7、如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF=1.8m，小华的身高MN=1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF=1.8m，CN=1.5m，且两人相距4.7m，则路灯AD的高度是_______．

8、如图，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD的位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是____________．




（第7题图） （第8题图）
9、已知a.b.c为△ABC的三边长，且，，求△ABC三边的长．








10、如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．














11、如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP=∠BAN．
（1）求证：△ABC为等腰三角形．
（2）求证：AM•CP=AN•CB．


















对应知识点：
1、相似图形的概念；
2、线段比例；
3、相似三角形的判定；
4、相似三角形的性质；
5、相似三角形的实际应用；6.位似的概念和性质；7.位似的应用；


知识点一：相似图形和线段比例
相似多边形的概念：若两个多边形的角分别相等，边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等.
比例的基本性质：比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么两个内项之积等于两个外项之积．反之亦真．即ad=bc(a，b，c，d不为零)．
利用比例性质计算的常用方法：（1）结合比例式.等式.分式的性质进行变形；（2）设参数列等式计算出参数，求出线段长度.
平行线分线段成比例需注意：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图：

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
知识点二：相似三角形的判定和性质
1、判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为： 两角对应相等，两三角形相似．
2、判定定理 2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
3、判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述 为：三边对应成比例，两三角形相似．



4.、常见相似模型
（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）



(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”.“反A共角共边型”. “蝶型”）


（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”.“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）



(4) 如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等.
(2)相似三角形的对应边成比例.
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(4)相似三角形的周长比等于相似比.
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2


1、下列说法正确的是（　 　）
A．所有的矩形都是相似形
B．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
C．对应角相等的两个多边形相似
D．对应边成比例的两个多边形相似
2、已知线段x，y满足（x+y）：（x﹣y）=3：1，那么x：y等于（　　）
A．3：1 B．2：3 C．2：1 D．3：2
3、如图，甲.乙两盏路灯杆相距20米，一天晚上，当小明从灯甲底部向灯乙底部直行16米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部．已知小明的身高为1.6米，那么路灯甲的高为（　　）

A．7米 B．8米 C．9米 D．10米
4、如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为__________．
5、在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，AC.DE交于点F，则AF：FC=__________．




（第4题图） （第5题图） （第6题图）
6、如图，在边长为9的等边△ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则CE的长为　2　．






7、如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是　__________．

8、已知，求下列算式的值．
（1）； （2）．






9、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．
（1）画出△ABC，并将它绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并计算△A2B2C2的面积．











10、如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD.CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△PBD∽△DCA；
（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．













【查漏补缺】
1、下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似；③任意两个菱形一定相似；其中正确的个数是（　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如果线段a.b.c.d满足ad=bc，则下列各式中不成立的是（　 　）
A． B． C． D．

3、如图，在△ABC中，D.E分别为AB.AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（　 　）
A． B． C．D．
4、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（　 　）
A．18 B．1095 C．965 D．253
5、如图，在平行四边形ABCD 中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为__________．



（第3题图） （第4题图） （第5题图）
6、如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB.AC上，则这个正方形零件的边长为_________
7、已知图中的每个小正方格都是边长为1的小正方形，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在小正方形顶点上，则它们的位似中心的坐标是_____________．




（第6题图） （第7题图）
8、如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD.AC于G.E，若EF=32，GE=8，求BE．








9、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
（2）画出△ABC绕C点逆时针旋转90°后得到的△A2B2C．









10、如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．
（1）求证：PT2=PA•PB；
（2）若PT=TB=3，求图中阴影部分的面积．












【举一反三】
1、下列四组图形中，一定相似的图形是（　 　）
A．两个直角三角形
B．各有一个角是20°的两个等腰三角形
C．各有一个角是110°的两个等腰三角形
D．有两边之比都等于2：3的两个三角形
2、如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE•OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE=1316，其中正确结论的个数是（　 　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　 　）
A．52 B．83 C．103 D．154





（第2题图） （第3题图） （第4题图）
4、如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=0.5米，A.B.C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（　 　）
A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米
5、若x是m.n的比例中项，则=______________．


6、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=__________．

（第6题图） （第7题图）
7、如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点 （不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosa=45．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD为8或252；
④CD2=CE•CA．
其中正确的结论是__________（把你认为正确结论的序号都填上）
8、如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．











9、如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．
（1）求证：△ACD∽△BAD；
（2）求证：AD是⊙O的切线．







1、下列判断中，正确的个数有（　 　）
（1）全等三角形是相似三角形 （2）顶角相等的两个等腰三角形相似
（3）所有的等边三角形都相似 （4）所有的矩形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　 　）
3、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（　 　）
A．6 B．8 C．10 D．12
4、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（　 　）
A．3米 B．4米 C．4.5米 D．6米




（第2题图） （第3题图） （第4题图）
5、如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=_________．
6、如图，在直角三角形 ABC中（∠ C=90°），放置边长分别3，4， x的三个正方形，则 x的值为__________．



（第5题图） （第6题图） （第7题图）
7、如图，小军.小英之间的距离为3m，他们在同一盏路灯下的影长均为1.8m，1.8m，已知小军.小英的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为__________m．
8、如图，延长△ABC的边BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．求EC：AC的值．







9、如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=5-12，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）求证：BC2=AC•CD；
（2）求∠ABD的度数．










第1天作业
1、“相似的图形”是（　 ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
2、下列线段中，能成比例的是（　　）
A．3cm，6cm，8cm，9cm B．3cm，5cm，6cm，9cm
C．3cm，6cm，7cm，9cm D．3cm，6cm，9cm，18cm
3、如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上．量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为___________．
4、如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长．
















第2天作业
1、下列各组图形一定相似的是（　　）
A．两个矩形 B．两个等边三角形
C．各有一角是80°的两个等腰三角形 D．任意两个菱形
2、如果线段a.b.c.d满足，那么=__________．
3、如图，点E为▱ABCD中AD边上一点，且AE=12DE，AC与BE相交于点F，则AFFC=_____________．


4、如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一个侧画出△A2B2C2．使ABA2B2=12，并写出A2.B2.C2的坐标．