2022年广东省汕头市金平区汕樟中学九年级数学一模试卷（含答案）

这是一份2022年广东省汕头市金平区汕樟中学九年级数学一模试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广东省汕头市金平区汕樟中学九年级数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列实数中最小的数是（      ）
A．2 B．0 C． D．
2．世界卫生组织2022年5月9日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例达5.17亿，数据“5.17亿”可用科学记数法表示为（  ）
A．5.17×109 B．5.17×108 C．0.517×1010 D．0.517×109
3．下列图形中具有稳定性的是（    ）
A．平行四边形 B．三角形 C．长方形 D．正方形
4．如图，直线，，则（　　）

A． B． C． D．
5．如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（    ）

A． B． C．1 D．2
6．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
7．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（    ）

A．百 B．党 C．年 D．喜
8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ）
A．    B． C．    D．
9．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）

A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
10．如图，已知二次函数，它与轴交于、，与的负半轴交于，顶点在第四象限，纵坐标为，则下列说法：①若抛物线的对称轴为，则；②；③为定值；④．其中正确的结论个数有（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题
11．若，，则______________．
12．方程的解为________．
13．在函数y=中，自变量x的取值范围是_________．
14．在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些求除颜色外其余完全相同，摇匀后     随机摸出一个，摸出红球的概率是，则的值为__________．
15．已知一个多边形每一个外角都是，则它是 _____边形．
16．为解决停车问题，某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长6m，宽2.4m，矩形停车位与道路成60°角，则在这一路段边上最多可以划出______个车位．（参考数据：）

17．如图，在中，，，，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是______．


三、解答题
18．计算：( 2﹣π)0+ + |﹣9|﹣tan30°
19．先化简，再求值：，其中．
20．北京2022年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣．某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：

(1)求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数；
(2)求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数；
(3)该校共有1200名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数．
21．如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．

22．某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
(1)求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，且AE=AF．

(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若AF=3，BF=5，求BE的长．
24．如图，抛物线y=﹣x2+bx +2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．连接AC，BC．

(1)若点A的坐标为（﹣1，0）．
①求抛物线的表达式；
②点P在第一象限的抛物线上运动，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为以PF为腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
(2)抛物线y=﹣x2+bx +2的顶点在某个y关于x的函数图像上运动，请直接写出该函数的解析式．
25．如图，点E为正方形ABCD边AD上一动点（不与A、D重合）．连接BE交AC于点F，PQ经过点F，分别与AB、CD交于点P、Q，且PQ=BE．

(1)求证：BE⊥PQ；
(2)求证：FP=FE；
(3)若CQ=，求AC﹣2AF的长．

参考答案：
1．D
【分析】正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】∵,
∴所给实数中，最小的是-2．
故选：D．
【点睛】此题了考查了比较实数的大小，解此题的关键是明确，正实数>0>负实数，负实数绝对值大的反而小．
2．B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3．B
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性可得结论．
【详解】解：三角形具有稳定性；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，比较简单．
4．B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的有关性质．
5．D
【分析】利用中位线的性质：平行三角形的第三边且等于第三边的一半即可求解．
【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，
∵BC=4，
∴DE=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键．
6．A
【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
【详解】将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．
故选A．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
7．B
【分析】正方体的表面展开图“一四一”型，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方体，“迎”与“党”是相对面，“建”与“百”是相对面，“喜”与“年”是相对面．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
8．D
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴被开方数x+2为非负数，
∴x+20，
解得：x-2
在数轴上表示为：

故答案选D
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件．
9．D
【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．
【详解】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．

【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
10．A
【分析】把顶点坐标（1，-4）代入求解即可判断①②；二次函数可以看做是二次函数向右平移得到的，即可求出AB即可判断③④；
【详解】解：①若抛物线的对称轴为，则抛物线顶点坐标为（1，-4），
∴，
∴，
故①正确；
②∵当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③∵二次函数解析式为且顶点纵坐标为-4，
∴二次函数可以看做是二次函数向右平移得到的，
令，则，
解得，
∴，
故③正确；
④∴，
故④正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象的平移、二次函数与x轴的交点问题等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
11．3
【分析】根据完全平方公式，把a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=（a+b）2-2ab，再代入求得数值即可．
【详解】解：∵（a+b）2=7，ab=2，
∴a2+b2
=a2+2ab+b2-2ab
=（a+b）2-2ab
=7-2×2
=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了完全平方公式，根据公式把a2+b2整理成已知条件的形式是解题的关键．
12．
【分析】直接去分母化为整式方程求解即可．
【详解】解：
去分母，得，
解得，
检验：经检验是原分式方程的解，
∴原方程的解为，
故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程，要熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意：解分式方程一定要验根．
13．x≤5
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，求出不等式的取值范围即可．
【详解】若使函数y＝有意义，
∴5−x≥0，
即x≤5．
故答案为x≤5．
【点睛】本题主要考查了函数自变量取值范围的知识点，注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14．8
【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可
【详解】解：∵摸到红球的概率为
∴
解得n=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
15．六
【分析】根据多边形外角和直接计算即可．
【详解】∵一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，
∴这个多边形的边数是：．
∴这个多边形是六边形．
故答案为：六
【点睛】此题考查多边形外角和，解题关键是外角和为．
16．9
【分析】先算出左侧第一个车位的左侧距离，再算出两个车位之间的距离，然后再算出右侧最后一个车位的右侧距离，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：

在Rt△ABC中，AB＝6m，∠CAB＝60°，
∴AC＝ABcos60°＝6×=3（m），
在Rt△DHG中，HG＝2.4m，∠HDG＝60°，
，
∵∠GDE＝90°，
∴∠FDE＝180°−∠HDG−∠GDE＝30°，
∵∠DFE＝90°，
∴∠DEF＝90°−∠FDE＝60°，
在Rt△DFE中，DE＝2.4m，
∴DF＝DEsin60°＝2.4×，
∴


∴在这一路段边上最多可以划出9个车位，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出左侧第一个车位的左侧距离，再算出两个车位之间的距离，然后再算出右侧最后一个车位的右侧距离是解题的关键．
17．2
【分析】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，分别利用三角形中位线定理可求得OD和OP的长，则可求得PQ的最小值．
【详解】解：当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，如图所示：
∵AC为圆的切线，
∴OD⊥AC，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴ODBC，
O为AB中点，
，
为中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD＝BC＝6，
同理可得PO＝AC＝8，
∴PQ＝OP−OQ＝8−6＝2，
故答案为：2．

【点睛】本题主要考查切线的性质及直角三角形的判定，先确定出当PQ最得最小值时点P的位置是解题的关键．
18．10
【分析】根据零指数幂的计算法则、二次根式化简、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
19．，11
【分析】利用平方差公式约分，再合并同类项即可；
【详解】解：原式=，
将a=5代入得：原式=2×5+1=11.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式是解题关键．
20．(1)参加这次调查的学生总人数为40人，选择“冰壶”的人数为12人
(2)扇形统计图中“高山滑雪”对应的扇形的圆心角度数是36°
(3)该校共有1200名学生，估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数为540人

【分析】（1）用最喜欢冰球的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数，再根据喜欢冰壶的学生所占的百分比可得喜欢冰壶的学生人数；
（2）先算出喜欢“高山滑雪”的人数所占的百分比，再用360°乘百分比可得圆心角；
（3）用总人数乘以最喜欢短道速滑的学生所占的百分比，即可得出答案．
【详解】（1）学生总人数（人）
选择“冰壶”的人数（人）
故参加这次调查的学生总人数为40人，选择“冰壶”的人数为12人；
（2）“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数
故扇形统计图中“高山滑雪”对应的扇形的圆心角度数是36°；
（3）最喜欢“短道速滑”的学生人数（人）
故该校共有1200名学生，估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数为540人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．见解析
【分析】根据角平分线的性质得，再用HL证明．
【详解】证明：∵，
∴为的角平分线，
又∵点P在上，，，
∴，，
又∵（公共边），
∴．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．
22．(1)y＝﹣10x+540；
(2)当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元

【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由销售单价为28元时，每天的销售量为260个；销售单价为30元时，每天的销量为240个；列方程组求解即可；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，再由二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设一次函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）解：由题意可得：
w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，二次函数开口向下，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．(1)证明过程见详解
(2)

【分析】（1）先证△AED≌△AFD，得到∠DAE=∠DAF，DE=DF，根据圆周角定理可得∠DBC=∠DAC=∠DAF，再根据切线的性质证明∠FAD=∠ABD，即可得证；
（2）证明△BFA∽△AFD，即有，即可求出DF，结合DE=DF即可求出BE．
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠ADB=90°，
∴∠F+∠FAD=90°，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AED≌△AFD，
∴∠DAE=∠DAF，DE=DF，
∴∠DBC=∠DAC=∠DAF，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB=90°，
∴∠F+∠ABD=90°，
∵∠F+∠FAD=90°，
∴∠FAD=∠ABD，
∵∠DBC=∠FAD，
∴∠DBC=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵∠FAD=∠ABD，∠F=∠F，
∴△BFA∽△AFD，
∴，
∵BF=5，AF=3，
即，
在（1）中已证得DE=DF，
∴BE=BF-DE-DF=5-=．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、角平分线的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键．
24．(1)①
②，
(2)

【分析】（1）①将A点坐标代入即可求解；②设PH交AB于点M，坐标原点为O，AP交y轴于点N，先求得A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)，设点P的坐标为，且，即可表示出OM、PM、BM、AM，采用待定系数法求出直线BC、AP的解析式，即可求出N点、F点、H点坐标，则可求出ON、HM、CN，接下来分情况讨论：第一种情况：PF=HF时，证明△PMA∽△HMB，即有，即可求得a值，此时P点坐标可求；第二种情况：PF=PH时，先证明CN=NF，根据N点、F点坐标，利用勾股定理求出NF，再根据CN=NF列关于a的方程，解方程即可求出a，此时P点坐标可求；
（2）将将配成顶点式为：，则抛物线的顶点坐标为：，即有，消去b，即可求解问题．
【详解】（1）①∵抛物线过A(-1,0)点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为：，
②设PH交AB于点M，坐标原点为O，AP交y轴于点N，如图，
令y=0,即有，
解得，，
∴B点坐标为(4,0)，
令x=0，得y=2，
∴C点坐标为(0,2)，
∵A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)，
∴AO=1，OB=4，OC=2，
∵P点为在第一象限的抛物线上的点，
∴设点P的坐标为，且，
∴OM=a，，
∴BM=OB-OM=4-a，AM=AO+OM=1+a，
∵B(4,0)、C(0,2)，
∴设直线BC的解析式为，
∴有，解得：，
直线BC的解析式为，
同理求得直线AP的解析式为：，
∴直线AP与y轴的交点N的坐标为，
∴，即，
∵PH⊥x轴，
∴H点横坐标与P点横坐标相等均为a，且∠HMB=90°=∠PMA，
∴当x=a时，，
∴H点坐标为，
∴H点坐标为，
∵AP与BC交于点F，
∴联立，解得：，
∴F点坐标为，
分情况讨论：
第一种情况：PF=HF时，
∵PF=HF，
∴∠FPH=∠FHP，
∵∠MHB=∠PHF，
∴∠FPH=∠MHB，
∵∠HMB=90°=∠PMA，
∴△PMA∽△HMB，
∴，
即有：，
解得：a=3，
则，
此时P点坐标为(3,2)；
第二种情况：PF=PH时，
∵PF=PH，
∴∠PFH=∠PHF，
∵∠PFH=∠CFN，∠BHM=∠PHF，
∴∠CFN=∠BHM，
∵PM⊥AB，
∴，
∴∠BHM=∠NCF，
∴∠CFN=∠NCF，
∴NF=CN，
∵F点坐标为，N的坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得：，
则，
此时P点坐标为；
综上：P点坐标为(3,2)、；

（2）将配成顶点式为：，
则抛物线的顶点坐标为：，
∴有，
∴消去b，得，
∴顶点在二次函数的图像上运动，
∴该函数的解析式为：．
【点睛】本题考查了用待定系数法求解一次函数、二次函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、将抛物线解析式配成顶点式等知识．解答本题需要注意分类讨论的思想．
25．(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
(3)2

【分析】（1）过Q点作QM⊥AB于点M，先证△ABE≌△MQP，得到∠MPQ=∠AEB，即可证明；
（2）连接FD，先证△BCF≌△DCF，FD=BF，∠FDC=∠FBC，再证∠FDC=∠BEA=∠MPQ=∠PQD，即有FQ=FD，即有FP=PQ-FQ=BE-FB=FE，则问题得证；
（3）设MQ交BE于N点，交AC于T点，先证△BPF≌△QNF，得到FN=FP，再证∴△FNT≌△FEA，得到TF=AF，即有AC-2AF=AC-AF-TF=CT，在Rt△CQT中，，则问题得解．
【详解】（1）证明：过Q点作QM⊥AB于点M，如图，

在正方形ABCD中，有∠ABC=∠BCD=90°，BC=AB=AD=CD，，，
∵MQ⊥AB，
∴∠BMQ=90°=∠PMQ，
∴四边形MBCQ是矩形，
∴MQ=BC=AB，
∵BE=PQ，∠PMQ=∠BAE，
∴△ABE≌△MQP，
∴∠MPQ=∠AEB，
∵在Rt△ABE中，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠MPQ+∠ABE=90°，
∴∠PFB=90°，
∴PQ⊥BE；
（2）证明：连接FD，如图，

在正方形ABCD中，AC平分∠BCD，，，
∴∠BCF=∠DCF，
∵BC=CD，CF=CF，
∴△BCF≌△DCF，
∴FD=BF，∠FDC=∠FBC，
∵，
∴∠BEA=∠FBC，
∴∠FDC=∠BEA，
∵在（1）中已经证明∠MPQ=∠AEB，
∴∠FDC=∠AEB，
∵，
∴∠MPQ=∠PQD，
∴∠FDC=∠BEA=∠MPQ=∠PQD，
∴FQ=FD，
∴FQ=FB，
∵BE=PQ，
∴FP=PQ-FQ=BE-FB=FE，
∴FP=FE，
问题得证；
（3）设MQ交BE于N点，交AC于T点，如图，

在（1）中已证得∠PBE=∠MQP，∠BFP=∠BFQ，
在（2）中已证得FQ=FB，
∴△BPF≌△QNF，
∴FN=FP，
根据（2）结论有FP=FE，
∴FN=FE，
∵四边形MBCQ是矩形，，∠CQM=90°，
∴，即，CQ=MB，
∴∠TNF=∠AFE，
∵∠AFE=∠TFN，
∴△FNT≌△FEA，
∴TF=AF，
∴AC-2AF=AC-AF-TF=CT，
∵正方形中对角线AC平分∠BCD，，
∴∠CTQ=∠BCT，
∴∠QCT=45°=∠CTQ，
∴CQ=QT=，
∵∠CQM=90°，
∴Rt△CQT中，，
∴AC-2AF=CT=2．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行的性质等知识．构造全等三角形是解答本题的关键．